ANGLES ET TRIGONOMETRIE 1 Angles orientés

ANGLES ET TRIGONOMETRIE
1
1.1
Angles orientés
Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
π
2
+
J
α
M
Définition 1.1 Une unité de longueur étant fixée, on
appelle cercle trigonométrique tout cercle de centre
O, de rayon 1 muni d’une origine A et d’un sens de
parcours (sens direct).
I
L’usage veut que le sens direct soit le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
L’usage est de choisir un repère (O;i, j) orthonormé
−→ −
→ −→
tel que OI = i , OJ = j, et on se déplace de I vers J
dans le sens direct.
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet : d’associer à chaque
réel α, un point M sur le cercle. Inversement de repérer tout point M du cercle au moyen de réels
x mesurant l’arc orienté IM
0
→
−−→
−−→
→
−
ou de l’angle orienté (−
Définition 1.2 Une mesure, en radians, de l’arc orienté IM
OI, OM )=( i , OM )
est la longueur α du chemin parcouru pour aller de I à M dans le sens direct.
Exemple 1.1
Dans le plan orienté, on considère un cercle C de centre O et d’origne I. Placer les points B,C,D
→ −−→
−
→ −−→
−
→ −−→
−
21π
tels que : ( i ; OB) = π3 ; ( i ; OD) = − 7π
4 et ( i ; OC) = 5
Remarque :Ce réel α n’est pas unique, il existe une infinité de réels permettant de repéré M . En
effet tout les réels α + 2kπ avec k ∈ Z repérent le même point M .
→ −−→
−
on a donc ( i ; OM ) = α + 2kπ avec k ∈ Z.
−−→
→
ou de l’angle orienté (−
Propriété 1.1 Si α est une mesure en radians de l’arc orienté IM
i , OM ),
alors toutes les mesures en radians de cet arc sont de la forme α + 2kπ où k est un nombre entier
relatif.
1.2
Mesure principale
Définition 1.3 On appelle mesure principale l’unique valeur α0 , parmi les réels α + 2kπ avec
k ∈ Z, appartenant à l’intervalle ] − π; π].
Notation :
Pour abréger l’écriture des mesures des angles, (u; v ) = α + 2kπ avec k ∈ Z se notera (u; v ) = α[2π]
et on dira l’angle (u; v ) a pour mesure α ”modulo 2π.
Exemple 1.2
1
α1 =
π
2 [2π]
α2 =
+
Mesures principales
π
21π
= +5×2×π;
2
2
π
5π
α2 =
= − + 2π
3
3
13π
= π3 + 2π
α2 =
3
π
3 [2π]
α1 =
O
α3 = − π3 [2π]
Définition 1.4 Soit u et v deux vecteurs non nuls et C le
cercle trigonométrique de centre O muni d’une origine I.
N (β)
M (α)
+
−−→
• M un point du cercle C tel OM soit colinéaire à v .
−−→
• N un point du cercle C tel ON soit colinéaire à u.
0
u
I
Les mesures en radian de l’angle orienté (u; v ) sont les réels
β − α, où α et β sont des mesures en radian des angles
−→ −−→
−→ −−→
orientés (OI; OM ) et (OI; ON ).
1.3
v
Propriétés des angles orientés
On ne peut pas parler de l’angle de deux vecteurs lorsque l’un des vecteurs est le vecteur nul.
On ne considérera donc que des vecteurs non nuls.
Propriété 1.2
• (u; u) = 0
• (−u; u) = (u; −u) = π
• u et v sont colinéaires de mêmes sens si, et seulement (u; v ) = 0.
• u et v sont colinéaires de sens contraires si, et seulement (u; v ) = π.
Propriété 1.3 Relation de Chasles
Etant donné trois vecteurs u, v et w
on a : (u; v ) + (v ; w)
= (u; w)
Conséquences :
• angles opposés :
(v ; u) = −(u; v )
+
• angles égaux
(−u; −v ) = (u; v )
+
v
+
v
u
• angles supplémentaires :
(u; −v ) = (u; v ) + π
+
v
u
−u
v
u
−v
u
−v
2
1.4
Configurations
• Somme des angles d’un triangle.
Dans tout triangle ABC :
−−→ −→
−−→ −−−→
−→ −−→
(AB; AC) + (BC; BAC) + (CA; CB) = π[2π]
On dit que le triangle ABC est un triangle direct lorsque l’on rencontre les points A, B et
C dans cet ordre, en parcourant dans le sens direct le cercle circonscrit à ABC.
• Alignement.
Trois points M , A et B, deux à deux distincts, sont alignés si, et seulement si :
−−→ −−→
−−→ −−→
(M A; M B) = 0[2π] ou (M A; M B) = π[2π]
2
Cosinus et sinus d’un angle orienté de vecteurs :
Propriété 2.1 Soit le repère orthonormé (O;i, j). Si x désigne une mesure en radians d’un angle
−−→
orienté (u; v ), il existe un point M appartenant au cercle trigonométrique tel que (i; OM ) = x.
Définition 2.1
+
Soit x un réel quelconque et M l’unique point
de (C) tel que x soit une mesure en radians
−−→
de (i, OM )
• Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse
de M dans le repère (O;i, j)
• Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée
de M dans le repère (O;i, j)
M
sin x
j
x i
0
cos x
I
Le point M a pour abscisse cos(x) et pour ordonnée sin(x).
2.1
Lignes trigonométriques associées :


 cos(x + 2π) = cos(x)
1.

 sin(x + 2π) = sin(x)


 cos(−x) = cos(x)
2.

 sin(−x) = −sin(x)


 cos(π − x) = −cos(x)
3.

 sin(π − x) = −sin(x)


 cos(π + x) = −cos(x)
4.

 sin(π + x) = −sin(x)

π

 cos( 2 − x) = sin(x)
5.

 sin( π − x) = cos(x)
2

π

 cos( 2 + x) = −sin(x)
6.

 sin( π + x) = cos(x)
2
Les constructios suivantes permettent de retrouver ces formules.
3
x
π−x
π
2
+
π
2
+x
−x
+
x
−x
π+x
−x
Sinus et Cosinus remarquables :
Les valeurs remarquables pour les angles aigus sont à connaı̂tre parfaitement.
x
0
sin(x)
0
cos(x)
1
π
6
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√3
3
2
1
2
π
2
π
1
0
0
1
Il est aussi nécessaire de savoir placer les angles et les valeurs et d’en déduire les valeurs des angles
symétriques.
2π
3
3π
4
π
2
√
3
√2
2
2
1
2
5π
6
√
−π
− 23−
√
2
2
− 12
7π
6
π
4
π
6
1
2
√
2
2
√
3
2
4π
3
Equations trigonométriques :
√
2
√2
− 23
−
3π
2
0
11π
6
− 12
5π
4
2.2
0
π
3
5π
3
7π
4
cos a = cos b ⇐⇒ a = b + 2kπ, k ∈ Z ou a = −b + 2k π, k ∈ Z
Les solutions de cette équations représentés sur un cercle sont symétriques par rapport à l’axe des
abscisses.
sin a = sin b ⇐⇒ a = b + 2kπ, k ∈ Z ou a = π − b + 2k π, k ∈ Z
Les solutions de cette équations représentés sur un cercle sont symétriques par rapport à l’axe des
ordonnées.
4
3
Répérage. Coordonnées Polaires
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O;i, j), tout point M distinct de O peut être
repéré par :
)
• l’angle orienté θ = (i; OM
M
r
• la distance r = OM .
j
0
θ
i
En effet le point M est l’intersection du cercle de centre O et de rayon r avec le demi-droite [Oz).
Définition 3.1 Pour tout point M distinct de l’origine O, un couple (r; θ) tel que r = OM et
) est un couple de coordonées polaires de M . On note M (r; θ).
θ = (i; OM
Lien coordonées cartésiennes et coordonnées polaires :
Propriété 3.1 Dans un repère orthonormal direct (O;i, j), un point M distinct de O ayant pour
coordonnées cartésiennes (x; y) et pour coordonnées polaires (r; θ) alors on a :


 r = x2 + y 2
x = r cos θ

 y = r sin θ
r sin θ
r
j
0
M
θ
i
r cos θ
Propriété 3.2
• Si A(r; θA ) et B(r; θB ) alors A et B sont sur un même cercle de centre O et de rayon r.
• Si A(rA ; θ) et B(rB ; θ) alors A et B sont alignés avec l’origine O du repère.
Exemple :
• Calculer les coordonnées cartésiennes de A(2; π4 )
√
• Calculer les coordonnées polaires de A(1; − 3)
5