ANGLES ET TRIGONOMETRIE 1 Angles orientés

ANGLES ET TRIGONOMETRIE
1Anglesorient´es
1.1 Rep´erage d’un point sur le cercle trigonom´etrique
π
2
I
M
J
0
α
+
D´efinition 1.1 Une unit´e de longueur ´etant fix´ee, on
appelle cercle trigonom´etrique tout cercle de centre
O, de rayon 1 muni d’une origine Aet d’un sens de
parcours (sens direct).
L’usage veut que le sens direct soit le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
L’usage est de choisir un rep`ere (O; i, j) orthonorm´e
tel que −→ OI =−→ i,−→ OJ = j,etonsed´eplace de Ivers J
dans le sens direct.
L’enroulement de la droite des r´eels sur le cercle trigonom´etrique permet : d’associer `achaque
r´eel α,unpointMsur le cercle. Inversement de rep´erer tout point Mdu cercle au moyen de r´eels
xmesurant l’arc orient´eIM
D´efinition 1.2 Une mesure, en radians, de l’arc orient´e IM ou de l’angle orient´e( 
−→
OI, −−→ OM)=( 
−→
i,
−−→
OM)
est la longueur αdu chemin parcouru pour aller de I`a Mdans le sens direct.
Exemple 1.1
Dans le plan orient´e, on consid`ere un cercle Cde centre Oet d’origne I.PlacerlespointsB,C,D
tels que : (−→ i;−−→ OB)=π
3;(−→
i;−−→ OD)=−7π
4et (−→
i;−−→ OC)=21π
5
Remarque :Ce r´eel αn’est pas unique, il existe une infinit´eder´eels permettant de rep´er´eM.En
effet tout les r´eels α+2kπ avec k∈Zrep´erent le mˆeme point M.
on a donc (−→ i;−−→ OM)=α+2kπ avec k∈Z.
Propri´et´e1.1 Si αest une mesure en radians de l’arc orient´e IM ou de l’angle orient´e( 
−→
i,
−−→
OM),
alors toutes les mesures en radians de cet arc sont de la forme α+2kπ o`ukest un nombre entier
relatif.
1.2 Mesure principale
D´efinition 1.3 On appelle mesure principale l’unique valeur α0,parmilesr´eels α+2kπ avec
k∈Z, appartenant `a l’intervalle ]−π;π].
Notation :
Pour abr´eger l’´ecriture des mesures des angles, (u;v)=α+2kπ avec k∈Zse notera (u;v)=α[2π]
et on dira l’angle (u;v)apourmesureα”modulo 2π.
Exemple 1.2
1

Mesures principales
α1=21π
2=π 2+5×2×π;
α2=5π
3=−π 3+2π
α2=13π
3=π
3+2π
O
α1=π
2[2π]
α2=π
3[2π]
α3=−π
3[2π]
+
D´efinition 1.4 Soit u et v deux vecteurs non nuls et Cle
cercle trigonom´etrique de centre Omuni d’une origine I.
•Mun point du cercle Ctel −−→ OM soit colin´eaire `av.
•Nun point du cercle Ctel −−→ ON soit colin´eaire `au.
Les mesures en radian de l’angle orient´e(u;v)sont les r´eels
β−α,o`uαet βsont des mesures en radian des angles
orient´es (−→ OI;−−→ OM)et (−→ OI;−−→ ON).
I
M(α)
N(β)
0
+u
v
1.3 Propri´et´es des angles orient´es
On ne peut pas parler de l’angle de deux vecteurs lorsque l’un des vecteurs est le vecteur nul.
On ne consid´erera donc que des vecteurs non nuls.
Propri´et´e1.2
•(u;u)=0
•(−u;u)=(u;−u)=π
•u et v sont colin´eaires de mˆemes sens si, et seulement (u;v)=0.
•u et v sont colin´eaires de sens contraires si, et seulement (u;v)=π.
Propri´et´e1.3 Relation de Chasles
Etant donn´e trois vecteurs u,v et w on a : (u;v)+(v;w)=(u;w)
Cons´equences :
•angles oppos´es :
(v;u)=−(u;v)
+ +
u
v
u
v
•angles ´egaux
(−u;−v)=(u;v)
+
−u
−v
u
v
•angles suppl´ementaires :
(u;−v)=(u;v)+π
+
−v
u
v
2

1.4 Configurations
•Somme des angles d’un triangle.
Dans tout triangle ABC :
(−−→ AB;−→ AC)+(
−−→
BC;−−−→ BAC)+(
−→
CA;−−→ CB)=π[2π]
On dit que le triangle ABC est un triangle direct lorsque l’on rencontre les points A,Bet
Cdans cet ordre, en parcourant dans le sens direct le cercle circonscrit `aABC.
•Alignement.
Trois points M,Aet B,deux`a deux distincts, sont align´es si, et seulement si :
(−−→ MA;−−→ MB)=0[2π]ou(
−−→
MA;−−→ MB)=π[2π]
2 Cosinus et sinus d’un angle orient´edevecteurs:
Propri´et´e2.1 Soit le rep`ere orthonorm´e(O; i, j).Sixd´esigne une mesure en radians d’un angle
orient´e(u;v), il existe un point Mappartenant au cercle trigonom´etrique tel que ( i;−−→ OM)=x.
D´efinition 2.1
Soit xun r´eel quelconque et Ml’unique point
de (C)tel que xsoit une mesure en radians
de ( i, −−→ OM)
•Le cosinus de x,not´ecos x, est l’abscisse
de Mdans le rep`ere (O; i, j)
•Le sinus de x,not´esin x, est l’ordonn´ee
de Mdans le rep`ere (O; i, j)
I
M
x
cos x
sin x
0
j
i
+
Le point Ma pour abscisse cos(x) et pour ordonn´ee sin(x).
2.1 Lignes trigonom´etriques associ´ees :
1.
cos(x+2π)=cos(x)
sin(x+2π)=sin(x)
2.
cos(−x)=cos(x)
sin(−x)=−sin(x)
3.
cos(π−x)=−cos(x)
sin(π−x)=−sin(x)
4.
cos(π+x)=−cos(x)
sin(π+x)=−sin(x)
5.
cos(π
2−x)=sin(x)
sin(π
2−x)=cos(x)
6.
cos(π
2+x)=−sin(x)
sin(π
2+x)=cos(x)
Les constructios suivantes permettent de retrouver ces formules.
3

x
−x
π−x
π+x
+
x
−x
π
2−x
π
2+x
+
Sinus et Cosinus remarquables :
Les valeurs remarquables pour les angles aigus sont `a connaˆıtre parfaitement.
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x) 0 1
2
√2
2
√3
21 0
cos(x) 1 √3
2
√2
2
1
20 1
Il est aussi n´ecessaire de savoir placer les angles et les valeurs et d’en d´eduire les valeurs des angles
sym´etriques.
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
−π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2
√2
2
√3
2
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
1
2
√2
2
√3
2
−1
2
−√2
2
−√3
2
2.2 Equations trigonom´etriques :
cos a=cosb⇐⇒ a=b+2kπ,k∈Zou a=−b+2kπ,k∈Z
Les solutions de cette ´equations repr´esent´es sur un cercle sont sym´etriques par rapport `a l’axe des
abscisses.
sin a=sinb⇐⇒ a=b+2kπ,k∈Zou a=π−b+2kπ,k∈Z
Les solutions de cette ´equations repr´esent´es sur un cercle sont sym´etriques par rapport `a l’axe des
ordonn´ees.
4

3R´ep´erage. Coordonn´ees Polaires
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct (O; i, j), tout point Mdistinct de Opeut ˆetre
rep´er´epar:
•l’angle orient´eθ=( i; OM)
•la distance r=OM.θ
M
r
0
j
i
En effet le point M est l’intersection du cercle de centre Oet de rayon ravec le demi-droite [Oz).
D´efinition 3.1 Pour tout point Mdistinct de l’origine O, un couple (r;θ)tel que r=OM et
θ=( i; OM)est un couple de coordon´ees polaires de M.OnnoteM(r;θ).
Lien coordon´ees cart´esiennes et coordonn´ees polaires :
Propri´et´e3.1 Dans un rep`ere orthonormal direct (O; i, j),unpointMdistinct de Oayant pour
coordonn´ees cart´esiennes (x;y)et pour coordonn´ees polaires (r;θ)alors on a :
r=x2+y2
x=rcos θ
y=rsin θθ
M
r
rcos θ
rsin θ
0
j
i
Propri´et´e3.2
•Si A(r;θA)et B(r;θB)alors Aet Bsont sur un mˆeme cercle de centre Oet de rayon r.
•Si A(rA;θ)et B(rB;θ)alors Aet Bsont align´es avec l’origine Odu rep`ere.
Exemple :
•Calculer les coordonn´ees cart´esiennes de A(2; π
4)
•Calculer les coordonn´ees polaires de A(1; −√3)
5