ANGLES ET TRIGONOMETRIE
1Anglesorient´es
1.1 Rep´erage d’un point sur le cercle trigonom´etrique
π
2
I
M
J
0
α
+
efinition 1.1 Une unit´e de longueur ´etant fix´ee, on
appelle cercle trigonom´etrique tout cercle de centre
O, de rayon 1 muni d’une origine Aet d’un sens de
parcours (sens direct).
L’usage veut que le sens direct soit le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
L’usage est de choisir un rep`ere (O;
i,
j) orthonorm´e
tel que
OI =
i,
OJ =
j,etonsed´eplace de Ivers J
dans le sens direct.
L’enroulement de la droite des r´eels sur le cercle trigonom´etrique permet : d’associer `achaque
eel α,unpointMsur le cercle. Inversement de rep´erer tout point Mdu cercle au moyen de r´eels
xmesurant l’arc orient´eIM
efinition 1.2 Une mesure, en radians, de l’arc orient´e
IM ou de l’angle orient´e(
OI,
OM)=(
i,
OM)
est la longueur αdu chemin parcouru pour aller de I`a Mdans le sens direct.
Exemple 1.1
Dans le plan orient´e, on consid`ere un cercle Cde centre Oet d’origne I.PlacerlespointsB,C,D
tels que : (
i;
OB)=π
3;(
i;
OD)=7π
4et (
i;
OC)=21π
5
Remarque :Ce r´eel αn’est pas unique, il existe une infinit´eder´eels permettant de rep´er´eM.En
effet tout les r´eels α+2avec kZrep´erent le mˆeme point M.
on a donc (
i;
OM)=α+2avec kZ.
Propri´et´e1.1 Si αest une mesure en radians de l’arc orient´e
IM ou de l’angle orient´e(
i,
OM),
alors toutes les mesures en radians de cet arc sont de la forme α+2o`ukest un nombre entier
relatif.
1.2 Mesure principale
efinition 1.3 On appelle mesure principale l’unique valeur α0,parmilesr´eels α+2avec
kZ, appartenant `a l’intervalle ]π;π].
Notation :
Pour abeger l’´ecriture des mesures des angles, (u;v)=α+2avec kZse notera (u;v)=α[2π]
et on dira l’angle (u;v)apourmesureαmodulo 2π.
Exemple 1.2
1
Mesures principales
α1=21π
2=π
2+5×2×π;
α2=5π
3=π
3+2π
α2=13π
3=π
3+2π
O
α1=π
2[2π]
α2=π
3[2π]
α3=π
3[2π]
+
efinition 1.4 Soit u et v deux vecteurs non nuls et Cle
cercle trigonom´etrique de centre Omuni d’une origine I.
Mun point du cercle Ctel
OM soit colin´eaire `av.
Nun point du cercle Ctel
ON soit colin´eaire `au.
Les mesures en radian de l’angle orient´e(u;v)sont les r´eels
βα,o`uαet βsont des mesures en radian des angles
orient´es (
OI;
OM)et (
OI;
ON).
I
M(α)
N(β)
0
+u
v
1.3 Propri´et´es des angles orienes
On ne peut pas parler de l’angle de deux vecteurs lorsque l’un des vecteurs est le vecteur nul.
On ne consierera donc que des vecteurs non nuls.
Propri´et´e1.2
(u;u)=0
(u;u)=(u;u)=π
u et v sont colin´eaires de mˆemes sens si, et seulement (u;v)=0.
u et v sont colin´eaires de sens contraires si, et seulement (u;v)=π.
Propri´et´e1.3 Relation de Chasles
Etant donn´e trois vecteurs u,v et w on a : (u;v)+(v;w)=(u;w)
Cons´equences :
angles oppos´es :
(v;u)=(u;v)
+ +
u
v
u
v
angles ´egaux
(u;v)=(u;v)
+
u
v
u
v
angles suppl´ementaires :
(u;v)=(u;v)+π
+
v
u
v
2
1.4 Configurations
Somme des angles d’un triangle.
Dans tout triangle ABC :
(
AB;−→
AC)+(
BC;−−
BAC)+(
−→
CA;
CB)=π[2π]
On dit que le triangle ABC est un triangle direct lorsque l’on rencontre les points A,Bet
Cdans cet ordre, en parcourant dans le sens direct le cercle circonscrit `aABC.
Alignement.
Trois points M,Aet B,deux`a deux distincts, sont align´es si, et seulement si :
(
MA;
MB)=0[2π]ou(
MA;
MB)=π[2π]
2 Cosinus et sinus d’un angle orient´edevecteurs:
Propri´et´e2.1 Soit le rep`ere orthonorm´e(O;
i,
j).Sixesigne une mesure en radians d’un angle
orient´e(u;v), il existe un point Mappartenant au cercle trigonom´etrique tel que (
i;
OM)=x.
efinition 2.1
Soit xun r´eel quelconque et Ml’unique point
de (C)tel que xsoit une mesure en radians
de (
i,
OM)
Le cosinus de x,not´ecos x, est l’abscisse
de Mdans le rep`ere (O;
i,
j)
Le sinus de x,not´esin x, est l’ordonn´ee
de Mdans le rep`ere (O;
i,
j)
I
M
x
cos x
sin x
0
j
i
+
Le point Ma pour abscisse cos(x) et pour ordonee sin(x).
2.1 Lignes trigonom´etriques associ´ees :
1.
cos(x+2π)=cos(x)
sin(x+2π)=sin(x)
2.
cos(x)=cos(x)
sin(x)=sin(x)
3.
cos(πx)=cos(x)
sin(πx)=sin(x)
4.
cos(π+x)=cos(x)
sin(π+x)=sin(x)
5.
cos(π
2x)=sin(x)
sin(π
2x)=cos(x)
6.
cos(π
2+x)=sin(x)
sin(π
2+x)=cos(x)
Les constructios suivantes permettent de retrouver ces formules.
3
x
x
πx
π+x
+
x
x
π
2x
π
2+x
+
Sinus et Cosinus remarquables :
Les valeurs remarquables pour les angles aigus sont `a connaˆıtre parfaitement.
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x) 0 1
2
2
2
3
21 0
cos(x) 1 3
2
2
2
1
20 1
Il est aussi n´ecessaire de savoir placer les angles et les valeurs et d’en d´eduire les valeurs des angles
sym´etriques.
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2
2
2
3
2
0
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
2.2 Equations trigonom´etriques :
cos a=cosb⇐⇒ a=b+2,kZou a=b+2kπ,kZ
Les solutions de cette ´equations repesent´es sur un cercle sont sym´etriques par rapport `a l’axe des
abscisses.
sin a=sinb⇐⇒ a=b+2,kZou a=πb+2kπ,kZ
Les solutions de cette ´equations repesent´es sur un cercle sont sym´etriques par rapport `a l’axe des
ordonn´ees.
4
3R´ep´erage. Coordonn´ees Polaires
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct (O;
i,
j), tout point Mdistinct de Opeut ˆetre
rep´er´epar:
l’angle orient´eθ=(
i;
OM)
la distance r=OM.θ
M
r
0
j
i
En effet le point M est l’intersection du cercle de centre Oet de rayon ravec le demi-droite [Oz).
efinition 3.1 Pour tout point Mdistinct de l’origine O, un couple (r;θ)tel que r=OM et
θ=(
i;
OM)est un couple de coordon´ees polaires de M.OnnoteM(r;θ).
Lien coordon´ees cart´esiennes et coordonn´ees polaires :
Propri´et´e3.1 Dans un rep`ere orthonormal direct (O;
i,
j),unpointMdistinct de Oayant pour
coordonn´ees cart´esiennes (x;y)et pour coordonn´ees polaires (r;θ)alors on a :
r=x2+y2
x=rcos θ
y=rsin θθ
M
r
rcos θ
rsin θ
0
j
i
Propri´et´e3.2
Si A(r;θA)et B(r;θB)alors Aet Bsont sur un mˆeme cercle de centre Oet de rayon r.
Si A(rA;θ)et B(rB;θ)alors Aet Bsont align´es avec l’origine Odu rep`ere.
Exemple :
Calculer les coordonn´ees cart´esiennes de A(2; π
4)
Calculer les coordonn´ees polaires de A(1; 3)
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