Activités – Les nombres 2de Un peu de lecture : l`avènement des

Activités – Les nombres 2de
Activité 1 : Ensemble de nombres
« Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l’oeuvre de l’Homme. »
Kronecker (1823 - 1891)
–Somme et différence
1. Résoudre les équations : x+ 2 = 5 et x+ 10 = 7.
2. Résoudre l’équation : x+a=boù aet bsont des entiers naturels.
Le résultat est-il toujours un entier naturel ?
–Partage : produit et quotient
1. Résoudre les équations : 6x= 18 ;−7x= 42 ;5x= 13 ;3x=−8;2x= 0 ;−35x= 14.
2. Résoudre l’équation bx =a, où aet bsont des entiers relatifs.
Le résultat existe-il toujours ? Est-ce toujours un entier relatif ?
–Puissances et radicaux
1. Résoudre les équations : x2= 9 ;x3= 27 ;x2=−4.
2. Résoudre l’équation x2=a, où aest un nombre entier ou fractionnaire.
Le résultat existe-il toujours ? Est-ce toujours un entier ou une fraction ?
Un peu de lecture : l’avènement des nombres irrationnels (partie 1)
Le passage qui suit est extrait de « Le Théorème du perroquet » de Denis GUEDJa.
M. Ruche annonça :
– Deuxième acte. L’arrivée de la diagonale de côté 1.
Il était trop tard pour confectionner des transparents. Sur une feuille de papier, M. Ruche dessina
un carré et l’une de ses diagonales. Levant la feuille au-dessus de sa tête afin que tous puissent voir,
il annonça... Mais captant le sourire de Perrette, il s’interrompit.
– Oui, je sais : « Ne lève pas les bras si haut », je vous fatigue, peut-être ?
– Pas du tout ! hurla Albert. C’est extra, continuez M. Ruche ! (Se tournant vers l’assemblée :)
Ceux qui sont fatigués peuvent aller se coucher !
Quolibets et sifflets accueillirent son intervention.
M. Ruche, levant à nouveau le papier au-dessus de sa tête, ramena le silence. il annonça :
– Côté et diagonale, les deux segments remarquables d’un carré !
Quelle est la longueur de sa diagonale ? Coupons-le en deux, on obtient deux triangles rectangles
isocèles égaux. L’hypoténuse commune des triangles est la diagonale du carré.
Qu’affirme le théorème du Pythagore ?
Ce n’était pas une question mais une clause de style et pourtant tous en choeur, il répondirent :
– Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
– Si l’on se souvient que 1 au carré est égal à 1, reprit M. Ruche, la formule donne : carré de
l’hypoténuse, c’est-à-dire carré de la diagonale, égale
Carré de la diagonale = 12+ 12= 2.
Voilà l’information capitale : la longueur de la diagonale est un nombre dont le carré est 2 !
M. Ruche fit rouler son fauteuil au bas de l’estrade et, s’approchant de l’assistance, longea les
premiers rangs pour mieux dramatiser la question qu’il allait poser :
– Quel est ce nombre ? C’est peu dire que les Grecs le cherchèrent. Aucun nombre ne convenait !
Aucun entier, aucune fraction ! La question surgit alors : ce nombre existe-t-il ? Et s’il n’existe pas,
comment s’en assurer ?
Pour s’assurer qu’une chose existe, il suffit de l’exhiber. Mais quand elle n’existe pas, hein ?... Difficile
d’exhiber la non-existence ! Alors ? la seule façon d’affirmer qu’une chose n’existe pas, c’est de prouver
qu’elle NE PEUT PAS EXISTER. C’est-à-dire l’assurance qu’il faut passer de l’impuissance à trouver
la chose en question à l’assurance que cette chose n’existe pas. Ce passage a un prix fort, il exige
une démonstration. Une démonstration d’impossibilité !
Pour cette fameuse démonstration, se référer à la fin de l’Activité 2...
aAu passage, ce très bon roman avec des vrais morceaux de maths dedans est disponible au CDI !

Activité 2 : Arithmétique
Les Grecs ont étudié les propriétés des entiers naturels : nombres pairs et impairs, diviseurs et
multiples, nombres premiers entre eux...
Cette branche des mathématiques est appelée arithmétique (du grec arithmos signifiant nombre)
1. Pour chacun des entiers de 2à10, trouver la liste de leurs diviseurs.
Parmi eux, quels sont ceux qui ne possèdent que deux diviseurs distincts ? Ces nombres sont dits premiers.
Justifier que tout entier supérieur ou égal à 2possède au moins deux diviseurs.
2. (a) Écrire 60 sous la forme d’un produit dont tous les facteurs sont des nombres premiers. (On peut
retrouver plusieurs fois le même nombre)
Cette écriture est la décomposition de 60 en facteurs premiers. Utiliser-la pour donner la liste des
diviseurs de 60.
(b) Donner la décomposition en facteurs premiers de 126 et la liste de ses diviseurs.
3. En utilisant les décompositions trouvées au 2, donner sous forme de fractions irréductibles les nombres
60
126 et 1 60
−
1
126 .
Un peu de lecture : l’avènement des nombres irrationnels (partie 2)
Toujours extrait de « Le Théorème du perroquet » de Denis GUEDJ.
M. Ruche poursuivit :
– [...] L’Histoire retiendra que la première démonstration mathématique fut une démonstration
d’impossibilité !
– Cela n’a pas dû être facile à démontrer, songea Perrette tout haut.
– Détrompez-vous, Perrette. Eu égard à l’importance des conséquences que cette démonstration
a eues, elle est plutôt facile.
[...]
– Démonstration par l’absurde de l’irrationalité de racine de 2, annonça Léa d’une voix forte en
tirant le petit tableau que Max utilisait à l’école primaire.
[...]
– Supposons qu’il existe une fraction a /bdont le carré soit égal à 2, susurra Jonathan en se
penchant vers l’assistance d’un air comploteur.
– Donc a2 /b2= 2, enchaîna Léa, l’écrivant sur le tableau.
– Prenons la plus petite fraction, la fraction irréductible, ayant cette forme. Ses termes, aet b,
sont premiers entre eux. C’est-à-dire qu’aucun nombre ne les divise tous les deux à la fois.
– Donc aet bne peuvent être tous les deux pairs, j’insiste ! déclara Léa.
– Et si a2 /b2= 2, tout naturellement a2= 2b2.
– Donc a2est pair, puisqu’il est égal à un double, annonça Léa.
Qu’est-ce qui leur prend ? Perrette les regardait effarée.
– Or seul le carré d’un pair est pair, informa Jonathan, lançant un coup d’oeil furtif à sa mère.
– Donc aest pair, j’insiste ! déclara Léa.
– Donc aest un double. Celui d’un nombre c, par exemple : a= 2c. Jonathan l’écrivit sur le
tableau.
– Pas si vite, cria M. Ruche qui jouait à vouloir suivre.
– Reprenons l’égalité du début : a2= 2b2. Remplaçons apar 2c.(2c)2= 2b2. Donc 4c2= 2b2,
donc 2c2=b2.
–b2étant égal à un double...
– Vous écrivez comme des cochons et pourtant j’ai une bonne vue, maugréa M. Ruche.
– Je reprends, annonça Jonathan : b2étant égal à un double, b2est pair.
– Même chose que tout à l’heure ! Donc best pair, j’insiste ! déclara Léa.
– Reprenons les trois « j’insiste » qui constituent le raisonnement par l’absurde. D’une part a
et bne peuvent pas être pairs tous les deux à la fois, d’autre part aet bsont tous les deux pairs !
Impossible ! Qui est cause de cette absurdité ? demanda Jonathan en fixant l’assistance d’un regard
inquisiteur.
[...]
– Mon hypothèse, avoua Léa, baissant la tête.
– Répétez-la, cette hypothèse fautive ! commanda Jonathan.
– Il existe une fraction dont le carré est égal à 2, balbutia Léa.
– Balayons-la ! rugit Jonathan.