Chapitre 3 Partie Algèbre Les nombres complexes

Chapitre 3
Partie Algèbre
Les nombres complexes
vv Objectifs vv
L’objectif de ce chapitre est de consolider et d’approfondir les notions sur les
nombres complexes acquises en classe de Terminale. Le programme combine
les aspects suivants :
ûL’étude algébrique du corps C, équations algébriques (équations du se-
cond degré, racines nièmes d’un nombre complexe) .
ûL’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des
nombres complexes en géométrie plane .
ûL’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017

1 - Le corps des nombres complexes.
1.1 - Construction de l’ensemble des nombres complexes.
◦Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres complexes, noté C, est donc l’en-
semble R2.
◦On peut alors écrire : C={(x,y)/x,y∈R}ou encore : ∀z∈C∃x,y∈Rtels que : z= (x,y).
◦De plus les réels xet ysont uniques. Le réel xest appelé partie réelle de znoté Re(z)et le réel yest appelé
partie imaginaire de znoté Im(z).
Définition 1.1.
Opérations sur les complexes :
On définit dans Cdeux lois de compositions internes. Pour z= (x,y)et z0= (x0,y0)deux complexes :
1. La somme de zet z0, notée z+z0, est définie par : z+z0= (x+x0,y+y0). On vérifie que cette loi possède des
propriétés analogues à celles de l’addition des réelles, à savoir :
(a) L’associativité : ∀z,z0,z”∈C:(z+z0) + z”=z+ (z0+z”)
(b) La commutativité : ∀z,z0∈C:(z+z0=z0+z
(c) ∀z∈C:z+ (0, 0) = (0, 0) + z=z(0, 0)est dit l’élément neutre de l’addition.
(d) Tout z= (x,y)possède un opposé (noté −z) qui est (−x,−y):z+ (−z) = (−z) + z= (0, 0).
2. Le produit de zet z0, noté z×z0, est définie par : z×z0= (xx0−yy0,xy0+x0y). On vérifie que cette loi possède
des propriétés analogues à celles de la multiplication des réelles, à savoir :
(a) La commutativité,l’associativité.
(b) Existence de l’élément neutre qui est (1, 0).
(c) Tout z= (x,y)6= (0; 0)possède un inverse ,noté z−1ou 1
z, donné par : z−1=x x2+y2,−y x2+y2.
(d) Distributivité da la multiplication par rapport à l’addition.
On résume l’ensemble des propriétés de ces deux lois en disant que le triplet (C,+,×)est un corps
commutatif .
Définition 1.2.
Notation algébrique des complexes :
1. Plongement de Rdans C:
(a) L’application f:R→Cdéfinie par : f(x) = (x, 0)est une injection de Rvers Cqui vérifie :
Pour tous x,y∈Ron a : f(x+y) = f(x) + f(y),f(x×y) = f(x)×f(y)
(b) Ret f(R)sont équipotents,on identifie alors tout réel xavec on image f(x)en écrivant x= (x, 0)et on
conclut que R⊂C(on dit que l’on a plongé Rdans C).
2. Notation algébrique : On pose : i= (0, 1)on a :
(a) i2=−1.
(b) ∀z∈C∃!(x,y)∈R2:z=x+iy dite forme algébrique de z.
3. Propriétés : On pose iR={iy/y∈R}appelé ensemble des imaginaires purs.
(a) z=z0⇐⇒ (Re(z) = Re(z0)et Im(z) = Im(z0)).
(b) z∈R⇐⇒ Im(z) = 0.
(c) z∈iR⇐⇒ Re(z) = 0.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017

(d) Si z=x+iy et z0=x0+iy0avec x,y,x0,y0∈Ralors :
z+z0= (x+x0) + i(y+y0),z.z0= (xx0−yy0) + i(xy0+yx0),1
z=x x2+y2+−y x2+y2.
1. Déterminer xet yde Rtels que : 18i(x+i2y) = 5+i8.
2. Donner la forme algébrique des complexes suivants :
z1= (1+i)(1+2i)(1+3i),z2=2+3i
3+4i,z3=1 (1+i)(2+3i).
3. Calculer : inpour n∈N.
4. Calculer : (1−i)2011
5. Résoudre dans Cles équations suivantes :
2z−1+iz =6−i+ (1+i)z,z2+z+1=0, z3=1.
Exercice .1.
1.2 - Conjugué et module d’un complexe.
Soit z=x+iy ( avec x,y∈R) un complexe. On appelle :
◦Conjugué de z, le complexe noté z, donné par : z=x−iy
◦Module de z, le réel positif noté |z|, donné par : |z|=qx2+y2.
Définition 1.3.
Propriétés : Soient zet z0deux complexes. On a les propriétés suivantes :
1. z+z0=z+z0,zz0=zz0,z=z,z
z0=z
z0,z
z0=zz0 |z0|2,(z06=0)
2. Re(z) = z+z
2, Im(z) = z−z 2i,z∈R⇐⇒ z=z,z∈iR⇐⇒ z=−z.
3. |z.z0|=|z|.|z0|,|zn|=|z|n(∀n∈Z∗),|z+z0|6|z|+|z0|,|z|=|z|.
Soient zet z0deux complexes non nuls. Montrer que :
1. |z+z0|6|z|+|z0|et ||z|−|z0|| 6|z−z0|6|z|+|z0|.
2. q(a+b)2+ (c+d)26pa2+b2+pc2+d2pour tous a,b,c,dde R.
3. |z+z0|=|z|+|z0|si et seulement si ∃α>0 tel que : z0=αz.
Exercice .2.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017

2 - Forme trigonométrique d’un complexe non nul .
2.1 - Nombres complexes de module 1.
On note U={z∈C/|z|=1}. On vérifie les propriétés suivantes : Pour tous zet z0de Uon a :
z6=0z×z0∈U1
z,−z,z∈U∃θ∈Rtel que : z=cos(θ) + isin(θ)
Définition 2.1. L’ensemble U
Notation eiθ.
Pour tout θde R, on pose : eiθ=cos(θ) + isin(θ). On a alors : Pour tous α,β∈Ret n∈Z:
eiα×eiβ=ei(α+β(eiα)n=einα(eiα) = (e−iα)eiα=eiβ⇐⇒ α≡β[2π]
Soit z∈C?. il existe un réel θ, unique à 2πprès, tel que : z=|z|eiθ. Un tel réel θest appelé un argument
de zet noté arg(z).
L’écriture z=|z|ei. arg(z)est appelé l’écriture trigonométrique (ou exponentielle) de z.
Définition 2.2. Forme trigonométrique
Soient zet z0deux nombres complexes non nuls.
→z=z0⇐⇒ (|z|=|z0|et arg(z)≡arg(z0)[2π]).
→z∈R⇐⇒ arg(z)≡0[π]et z∈iR⇐⇒ arg(z)≡π
2[π].
→arg(−z)≡arg(z) + π[2π]et arg(z)≡ −arg(z)[2π].
→arg(z.z0)≡arg(z) + arg(z0)[2π]et arg z
z0≡arg(z)−arg(z0)[2π].
→arg(zn)≡n. arg(z)[2π],∀n∈Z.
Proposition 2.1.
Soient θet θ0deus réels, donner la forme trigonométrique de :
z1=sin(θ) + icos(θ)z2=1+cos(θ) + isin(θ)z3=1+cos(θ)−isin(θ)
z4=1−cos(θ) + isin(θ)z5=−sin(θ) + icos(θ)z6=eiθ+eiθ0.
Exercice .3.
2.2 - Formules de Moivre et Euler.
Pour tout θde Ret tout nde Zon a :
(cos(θ) + isin(θ))n=cos(nθ) + isin(nθ)Formule de Moivre.
cos(θ) = eiθ+e−iθ
2et sin(θ) = eiθ−e−iθ 2iFormules d’Euler.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017

1. Linéariser cos3(2x)et sin4x, puis donner des primitives des fonctions x7→ cos3(2x)et x7→ sin4x
2. (a) Exprimer cos(5x)en fonction de cos x.
(b) Résoudre dans Rl’équation suivante :16x5−20x3+5x=0
(c) Calculer cos π
10 et cos π 5
Exercice .4.
Soient aet bdeux réels et n∈N?.Simplifier les expressions suivantes :
A=
n
∑
k=0
cos(ak +b)B=
n
∑
k=0
sin(ak +b)C=
n
∑
k=0n
kcos(ak +b)D=
n
∑
k=0n
ksin(ak +b)
Exercice .5.
2.3 - Racines nième d’un complexe non nul.
Soit nun entier naturel tel que n>2. Un complexe zest dit racine nième de l’unité si zn=1.
On pose : Un={z∈C/zn=1}l’ensemble des racines nième de l’unité.
Définition 2.3.
→Un={ei2kπ
n/k∈ {0, 1, ..., n−1}} ={wk/k∈ {0, 1, ..., n−1}} avec w=ei2π n.
→La somme des racines nième de l’unité est nulle .
→Le produit des racines nième de l’unité est égal à (−1)n−1.
Proposition 2.2.
1. Résoudre dans Cl’équation : (z−i)2013 = (z+i)2013.
2. Résoudre dans Cl’équation : (z+1)n=e2ina avec a∈Ret n∈Net simplifier n−1
∏
k=0
sin a+kπ
n.
Exercice .6.
Soit a∈C?. Un complexe zest dit racine nième de asi et seulement si zn=a.
Définition 2.4.
Soit a=r.eiθavec r>0. on a :
→zn=asi et seulement si z=n
√r.ei(θ+2kπ
n)avec k∈{0, 1, ..., n−1}.
→La somme des racines nièmes de aest nulle .
→Le produit des racines nièmes de aest égal à (−1)n−1a.
Proposition 2.3.
Cas particulier : n=2 : z2=a⇐⇒ z=√r.eiθ
2ou z=−√r.eiθ 2
2.4 - Exponentielle complexe.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017