Chapitre 3 Partie Algèbre Les nombres complexes

Chapitre
3
Partie Algèbre
Les nombres complexes
vv Objectifs vv
L’objectif de ce chapitre est de consolider et d’approfondir les notions sur les
nombres complexes acquises en classe de Terminale. Le programme combine
les aspects suivants :
û L’étude algébrique du corps C, équations algébriques (équations du second degré, racines nièmes d’un nombre complexe) .
û L’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des
nombres complexes en géométrie plane .
û L’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017
1 - Le corps des nombres complexes.
1.1 - Construction de l’ensemble des nombres complexes.
Définition 1.1.
◦ Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres complexes, noté C, est donc l’ensemble R2 .
◦ On peut alors écrire : C = {( x, y)/ x, y ∈ R} ou encore : ∀ z ∈ C ∃ x, y ∈ R tels que : z = ( x, y).
◦ De plus les réels x et y sont uniques. Le réel x est appelé partie réelle de z noté Re( z) et le réel y est appelé
partie imaginaire de z noté Im( z).
Opérations sur les complexes :
On définit dans C deux lois de compositions internes. Pour z = ( x, y) et z0 = ( x0 , y0 ) deux complexes :
1. La somme de z et z0 , notée z + z0 , est définie par : z + z0 = ( x + x0 , y + y0 ). On vérifie que cette loi possède des
propriétés analogues à celles de l’addition des réelles, à savoir :
(a) L’associativité : ∀ z, z0 , z” ∈ C : ( z + z0 ) + z” = z + ( z0 + z”)
(b) La commutativité : ∀ z, z0 ∈ C : ( z + z0 = z0 + z
(c) ∀ z ∈ C : z + (0, 0) = (0, 0) + z = z (0, 0) est dit l’élément neutre de l’addition.
(d) Tout z = ( x, y) possède un opposé (noté − z) qui est (− x, − y) : z + (− z) = (− z) + z = (0, 0).
2. Le produit de z et z0 , noté z × z0 , est définie par : z × z0 = ( xx0 − yy0 , xy0 + x0 y). On vérifie que cette loi possède
des propriétés analogues à celles de la multiplication des réelles, à savoir :
(a) La commutativité,l’associativité.
(b) Existence de l’élément neutre qui est (1, 0).
1
−y
x
−1
−1
(c) Tout z = ( x, y) 6= (0; 0) possède un inverse ,noté z ou , donné par : z =
,
.
z
x2 + y2 x2 + y2
(d) Distributivité da la multiplication par rapport à l’addition.
Définition 1.2.
On résume l’ensemble des propriétés de ces deux lois en disant que le triplet (C, +, ×) est un corps
commutatif .
Notation algébrique des complexes :
1. Plongement de R dans C :
(a) L’application f : R → C définie par : f ( x) = ( x, 0) est une injection de R vers C qui vérifie :
Pour tous x, y ∈ R on a : f ( x + y) = f ( x) + f ( y), f ( x × y) = f ( x) × f ( y)
(b) R et f (R) sont équipotents,on identifie alors tout réel x avec on image f ( x) en écrivant x = ( x, 0) et on
conclut que R ⊂ C (on dit que l’on a plongé R dans C ).
2. Notation algébrique : On pose : i = (0, 1) on a :
(a) i2 = −1.
(b) ∀ z ∈ C ∃!( x, y) ∈ R2 : z = x + iy dite forme algébrique de z.
3. Propriétés : On pose iR = { iy/ y ∈ R } appelé ensemble des imaginaires purs.
(a) z = z0 ⇐⇒ (Re( z) = Re( z0 ) et Im( z) = Im( z0 )).
(b) z ∈ R ⇐⇒ Im( z) = 0.
(c) z ∈ iR ⇐⇒ Re( z) = 0.
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(d) Si z = x + iy et z0 = x0 + iy0 avec x, y, x0 , y0 ∈ R alors :
z + z0 = ( x + x0 ) + i ( y + y0 ),
z.z0 = ( xx0 − yy0 ) + i ( xy0 + yx0 ),
1
x
−y
= 2
+ 2
.
2
z
x +y
x + y2
Exercice .1.
1. Déterminer x et y de R tels que : 18i ( x + i2y) = 5 + i8.
2. Donner la forme algébrique des complexes suivants :
z1 = (1 + i )(1 + 2i )(1 + 3i ),
z2 =
2 + 3i
,
3 + 4i
3. Calculer : in pour n ∈ N.
4. Calculer : (1 − i )2011
5. Résoudre dans C les équations suivantes :
2z − 1 + iz = 6 − i + (1 + i ) z,
z3 =
1
.
(1 + i)(2 + 3i)
z2 + z + 1 = 0,
z3 = 1.
1.2 - Conjugué et module d’un complexe.
Définition 1.3.
Soit z = x + iy ( avec x, y ∈ R ) un complexe. On appelle :
◦ Conjugué de z , le complexe noté z, donné par : z = x − iy
q
◦ Module de z, le réel positif noté | z|, donné par : | z| = x2 + y2 .
Propriétés : Soient z et z0 deux complexes. On a les propriétés suivantes :
z
z
,
z0
z
zz0
= 0 2,
0
z
|z |
( z0 6= 0)
1. z + z0 = z + z0 ,
zz0 = zz0 ,
z+z
,
2
3. | z.z0 | = | z|.| z0 |,
z−z
, z ∈ R ⇐⇒ z = z ,
z ∈ iR ⇐⇒ z = − z.
2i
| zn | = | z|n (∀n ∈ Z∗ ), | z + z0 | 6 | z| + | z0 |, | z| = | z|.
2. Re( z) =
z=z,
z0
=
Im( z) =
Exercice .2.
Soient z et z0 deux complexes non nuls. Montrer que :
1. | z + z0 | 6 | z| + | z0 | et || z| − | z0 || 6 | z − z0 | 6 | z| + | z0 |.
q
p
p
2.
( a + b)2 + (c + d)2 6 a2 + b2 + c2 + d2 pour tous a, b, c, d de R.
3. | z + z0 | = | z| + | z0 | si et seulement si ∃α > 0 tel que : z0 = αz.
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2 - Forme trigonométrique d’un complexe non nul .
2.1 - Nombres complexes de module 1.
Définition 2.1. L’ensemble U
On note U = { z ∈ C/ | z| = 1}. On vérifie les propriétés suivantes : Pour tous z et z0 de U on a :
1
z 6= 0 z × z0 ∈ U
, − z , z ∈ U ∃θ ∈ R tel que : z = cos(θ ) + i sin(θ )
z
Notation eiθ .
Pour tout θ de R, on pose : eiθ = cos(θ ) + i sin(θ ). On a alors : Pour tous α, β ∈ R et n ∈ Z :
eiα × eiβ = ei(α +β
(eiα )n = einα
(eiα ) = (e−iα )
eiα = eiβ ⇐⇒ α ≡ β[2π ]
Définition 2.2. Forme trigonométrique
Soit z ∈ C? . il existe un réel θ, unique à 2π près, tel que : z = | z|eiθ . Un tel réel θ est appelé un argument
de z et noté arg( z).
L’écriture z = | z|ei. arg(z) est appelé l’écriture trigonométrique (ou exponentielle) de z .
Proposition 2.1.
Soient z et z0 deux nombres complexes non nuls.
→ z = z0 ⇐⇒ (| z| = | z0 | et arg( z) ≡ arg( z0 ) [2π ]).
π
[ π ].
2
→ arg(− z) ≡ arg( z) + π [2π ] et arg( z) ≡ − arg( z) [2π ].
z
→ arg( z.z0 ) ≡ arg( z) + arg( z0 ) [2π ] et arg 0 ≡ arg( z) − arg( z0 ) [2π ].
z
→ arg( zn ) ≡ n. arg( z) [2π ], ∀n ∈ Z.
→ z ∈ R ⇐⇒ arg( z) ≡ 0 [π ] et
z ∈ iR ⇐⇒ arg( z) ≡
Exercice .3.
Soient θ et θ 0 deus réels, donner la forme trigonométrique de :
z1 = sin(θ ) + i cos(θ )
z4 = 1 − cos(θ ) + i sin(θ )
z2 = 1 + cos(θ ) + i sin(θ )
z5 = − sin(θ ) + i cos(θ )
z3 = 1 + cos(θ ) − i sin(θ )
0
z6 = eiθ + eiθ .
2.2 - Formules de Moivre et Euler.
Pour tout θ de R et tout n de Z on a :
(cos(θ ) + i sin(θ ))n = cos(nθ ) + i sin(nθ )
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
cos(θ ) =
et sin(θ ) =
2
2i
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Formule de Moivre.
Formules d’Euler.
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Exercice .4.
1. Linéariser cos3 (2x) et sin4 x, puis donner des primitives des fonctions x 7→ cos3 (2x) et x 7→ sin4 x
2. (a) Exprimer cos(5x) en fonction de cos x.
(b) Résoudre dans R l’équation suivante :16x5 − 20x3 + 5x = 0
π
π
et cos
(c) Calculer cos
10
5
Exercice .5.
Soient a et b deux réels et n ∈ N? .Simplifier les expressions
suivantes :
n
n
n n
A = ∑ cos( ak + b) B = ∑ sin( ak + b) C = ∑
cos( ak + b)
k
k=0
k=0
k=0
n
n
D= ∑
sin( ak + b)
k
k=0
2.3 - Racines nième d’un complexe non nul.
Définition 2.3.
Soit n un entier naturel tel que n > 2. Un complexe z est dit racine nième de l’unité si zn = 1.
On pose : Un = { z ∈ C / zn = 1} l’ensemble des racines nième de l’unité.
Proposition 2.2.
2π
2kπ
→ Un = {ei n / k ∈ {0, 1, ..., n − 1}} = {wk / k ∈ {0, 1, ..., n − 1}} avec w = ei n .
→ La somme des racines nième de l’unité est nulle .
→ Le produit des racines nième de l’unité est égal à (−1)n−1 .
Exercice .6.
1. Résoudre dans C l’équation : ( z − i )2013 = ( z + i )2013 .
n
2. Résoudre dans C l’équation : ( z + 1) = e
2ina
n−1
kπ
avec a ∈ R et n ∈ N et simplifier ∏ sin a +
.
n
k=0
Définition 2.4.
Soit a ∈ C? . Un complexe z est dit racine nième de a si et seulement si zn = a.
Proposition 2.3.
Soit a = r.eiθ avec r > 0. on a : √
θ +2kπ
→ zn = a si et seulement si z = n r.ei( n ) avec k ∈ {0, 1, ..., n − 1}.
→ La somme des racines nièmes de a est nulle .
→ Le produit des racines nièmes de a est égal à (−1)n−1 a .
Cas particulier : n = 2 : z2 = a ⇐⇒ z =
√
√ θ
θ
r.ei 2 ou z = − r.ei 2
2.4 - Exponentielle complexe.
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Définition 2.5.
Soit z = x + iy avec x, y ∈ R. On appelle exponentielle de z , noté e z , le complexe défini par :
e z = e x .eiy .
Proposition 2.4.
Soient z et z0 deux complexes et n ∈ Z . On a :
e z 6= 0,
0
0
e z .e z = e z+z ,
(e z )n = enz ,
ez
z− z0
,
0 = e
z
e
ez = ez
Exercice .7.
1. Résoudre dans C les équations suivantes :
e z = 1,
e z = 2.i,
(
2. Résoudre dans C2 le système suivant : ( S)
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e z = 1 + i,
e z + e−z + 1 = 0.
z0
e z + e = −1
0
e z+ z = 1
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3 - Applications à la trigonométrie.
3.1 - Formules usuelles de trigonométrie.
On passe aux parties réelle et imaginaire dans l’égalité eia eib = ei(a+b) et on obtient les formules suivantes :
Formules d’addition et de duplication
cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos 2a = cos2 a − sin2 a
= 2 cos2 a − 1
= 1 − 2 sin2 a
sin( a + b)
= sin a cos b + cos a sin b sin 2a
tan( a + b) =
1 − tan a tan b
tan a + tan b
= 2 sin a cos a
tan 2a =
1 − tan2 a
2 tan a
Remarque : Les formules de soustraction donnant cos( a − b), sin( a − b) et tan( a − b) s’obtiennent en changeant b en −b et en utilisant la parité et l’imparité des fonctions cos et sin.
3.2 - Linéarisation.
Méthode Linéarisation de cosm θ sinn θ
Il s’agit d’exprimer cosm θ sinn θ comme une combinaison linéaire de cos kθ et sin kθ avec k ∈ N. On utilise
pour cela les relations d’Euler. On écrit
cosm θ sinn θ =
eiθ + e−iθ
2
m eiθ − e−iθ
2i
n
puis on développe et on regroupe les termes conjugués.
Exercice .8.
Linéariser sin4 θ et cos6 θ.
3.3 - Développement.
Méthode Développement de cos nθ et sin nθ
Il s’agit d’exprimer cos nθ ou sin nθ en fonction de puissances de cos θ et sin θ. On utilise pour cela la
formule de Moivre. On écrit
cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ )n
puis on développe et on considère les parties réelle et imaginaire.
Exercice .9.
Développer cos 5θ et sin 5θ.
3.4 - Factorisation.
Il s’agit d’exprimer des sommes de cosinus ou de sinus sous forme d’un produit. L’idée est d’exprimer cos θ
ou sin θ comme la partie réelle ou imaginaire de eiθ et de faire appel à la méthode ultra-classique suivante.
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Formules de factorisation
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2
cos a − cos b = −2 sin
sin a + sin b = 2 sin
a−b
a+b
sin
2
2
a+b
a−b
cos
2
2
sin a − sin b = −2 cos
a+b
a+b
sin
2
2
Exercice .10.
Écrire sous forme de produit : sin x + sin 2x + sin 7x + sin 8x.
3.5 - Paramétrage rationnel du cercle trigonométrique.
θ
θ
1 + it
Soit θ ∈ R tel que θ 6≡ π [2π ]. On pose t = tan . On a
= ei 2 . Par conséquent,
2
|1 + it|
iθ
e =
1 + it
|1 + it|
2
=
1 − t2 + 2it
1 + t2
On en tire les relations suivantes :
cos θ =
1 − t2
1 + t2
sin θ =
2t
1 + t2
tan θ =
2t
1 − t2
Ainsi pour tout point M du cercle unité distinct de A(−1, 0), il existe t ∈ R tel que M ait pour coordonnées
1 − t2
2t
1 − t2
2t
,
. Réciproquement, tout point de coordonnées
,
où t ∈ R est un point du cercle
1 + t2 1 + t2
1 + t2 1 + t2
1 − t2
2t
unité distinct de A. Les expressions
et
étant des fractions rationnelles (i.e. des quotients de poly2
1+t
1 + t2
nômes), on dit qu’on a une paramétrage rationnel du cercle unité.
Exercice .11.
Faire un dessin
3.6 - Pour nos amis physiciens.
Proposition 3.1.
Soient a, b ∈ R. On écrit z = a + ib sous forme trigonométrique : z = reiψ . Alors
∀θ ∈ R, a cos θ + b sin θ = r cos(θ − ψ)
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4 - Equations du second degré dans C .
4.1 - Racine carrée d’un complexe.
Définition 4.1.
Un complexe a est dit racine carrée d’un complexe b si et seulement si a2 = b.
Proposition 4.1.
Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées.
Exemple : Déterminer les racines carrées de z = −45 + 28i et z = −16 + 30i.
4.2 - L’équation : az2 + bz + c = 0 dans C.
Proposition 4.2.
Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0. L’équation az2 + bz + c = 0 possède exactement deux solutions complexes
−b + δ
−b − δ
qui sont : z1 =
et z2 =
avec δ une racine carrée de ∆ = b2 − 4ac (dit discriminant de
2a
2a
l’équation).
Remarques :
b
c
→ On a : z1 + z2 = − et z1 × z2 = .
a
a
→ Si a, b et c sont des réels et ∆ < 0 alors z2 = z1 .
Exercice .12.
Résoudre dans C les équations suivantes :
(1) z2 − (4 + 3i) z + 13 − i = 0
et
(2) (1 − i) z2 − (5 − i) z + 10 = 0
Théorème 4.1. Théorème de D’Alembert -admis-
Toute équation polynômiale dans C admet au moins une solution dans C .
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5 - Nombres complexes et géométrie plane euclidienne .
→
→
Par définition , le plan complexe est le plan euclidien P muni d’un repère orthonormé direct noté R = (O, −
e1 , −
e 2 ).
5.1 - Affixe d’un point,d’un vecteur .
Définition 5.1.
◦ A tout point M( x, y) du plan P , on associe le complexe z = x + iy appelé l’affixe de M, noté z M . (On dit
aussi que M est l’image de z dans le plan complexe)
→
→
→
◦ A tout vecteur −
w ( x, y), on associe le complexe z = x + iy appelé l’affixe de −
w , noté z−
w . (On dit aussi
−
→
que w est l’image vectorielle de z)
Remarques : Soit M un point du plan complexe d’affixe z.
→
→
1. z ∈ R si et seulement si M ∈ D (O, −
e1 ). L’axe D (O, −
e1 ) est dit l’axe des réels.
−
→
→
2. z ∈ iR si et seulement si M ∈ D (O, e2 ). L’axe D (O, −
e2 ) est dit l’axe des imaginaires.
Proposition 5.1.
→ et −
→ deux vecteurs , α ∈ R et A, B deux points du plan P . on a :
Soient −
w
w
1
2
→
−
→
→+−
→
→ = zα.−
→
→ z−
+
z
et
α.z−
w1
w2 = z −
w
w
w
1 w2
1
1
→
−→ = z B − z A .
→ z A = z−
et
z
OA
AB
→.−
→ = Re( z−→ .z−→ ) et det(−
→, −
→) = Im( z−→ .z−→ )
→ −
w
w
w
w
1
2
w1
w2
1
2
w1
w2
5.2 - Distances et angles orientés.
Proposition 5.2.
Soient A,B,C et D quatres points ,deux à deux distincts, du plan complexe P . On a :
→ AB = | z B − z A |
−→
−→ −→
−→ −→
zC − z A
z D − zC
−
→
→ ( e1 , OA) ≡ arg( z A )[2π ] ( AB, AC ) ≡ arg
[2π ] ( AB, CD ) ≡ arg
[2π ]
zB − z A
zB − z A
Applications : Soient A, B, C et D quatres points ,deux à deux distincts, du plan complexe P . On a :
zC − z A
∈R
1. A,B et C sont alignés ⇐⇒
z B −z A
zC − z A
⇐⇒ arg
≡ 0[π ]
zB − z A
z − zB
zD − z A
≡ arg D
[π ]
2. A,B,C et D sont cocycliques ou alignés ⇐⇒ arg
zC − z A
zC − z B
z − zA
z − zB
⇐⇒ D
× C
∈ R.
zC − z A
zD − zB
Ce dernier produit est appelé le birapport des points A,B,C et D.
z D − zC
3. ( AB)//(CD ) ⇐⇒ arg
≡ 0[π ]
z B − z A z − zC
π
( AB) ⊥ (CD ) ⇐⇒ arg D
≡ [π ]
zB − z A
2
5.3 - Quelques transformations affines.
Transformations élémentaires.
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Théorème 5.1.
Soit M un point du plan complexe d’affixe z.
→
→
• Soit −
w un vecteur d’affixe w. L’image de M par la translation de vecteur −
w a pour affixe le complexe
z + w.
• Soient λ ∈ R∗ et Ω un point d’affixe w. L’image de M par l’homothétie de centre Ω et de rapport λ a
pour affixe λ ( z − w) + w.
• Soient θ ∈ R et Ω un point d’affixe w. L’image de M par la rotation de centre Ω et d’angle θ a pour affixe
eiθ ( z − w) + w.
Interprétation géométrique de l’application : z 7→ a.z + b.
Soient a et b deux nombres complexes avec a 6= 0, on considère les applications :
f : C −→ C
et F :
P
−→ P
z 7−→ f ( z) = az + b
M( z) 7−→ M0 ( z0 )/ z0 = f ( z).
Proposition 5.3.
→
→ Si a = 1 alors F est la translation de vecteur −
w d’affixeb.
→ Si (| a| = 1 et a 6= 1) alors F est la rotation de centre Ω
b
1−a
et d’angle arg( z).
b
→ Si | a| 6= 1 alors F est la composée de la rotation de centre Ω
et d’angle arg( z) et l’homothétie
1−a
de même centre et de rapport | a|.
F est, alors, la similitude de centre Ω,de rapport | a|, et d’angle arg( z).(voir DL sur les similitudes et
isometries).
Exercice .13.
1. Identifier géométriquement l’application f : z 7→ iz + 4 et construire l’image du point M(1 + i ).
2. Identifier géométriquement l’application f : z 7→ (2 + 2i ) z − (7 + 4i ) et construire,géométriquement
l’image du point M(1 − i ).
Similitudes et Isometries .
Définition 5.2.
Soit λ > 0. on appelle similitude (plane) de rapport λ toute application f du plan dans lui même telle que
pour tous points M et N, on a : f ( M) f ( N ) = λ.MN.
Si λ = 1 , f est dite une isométrie (plane).
Théorème 5.2. Caractérisations
• Les similitudes planes sont exactement toutes les applications planes de la forme M( z) 7→ M0 ( z0 ) avec
z0 = az + b ou z0 = az + b où a, b ∈ C et a 6= 0.
• Les isometries planes sont exactement toutes les applications planes de la forme M( z) 7→ M0 ( z0 ) avec
z0 = az + b ou z0 = az + b où a, b ∈ C et | a| = 1.
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Définition 5.3.
◦ Toute similitude plane de la forme M( z) 7→ M0 ( az + b) avec a, b ∈ C et a 6= 0 préserve les angles orientés
de vecteurs. Une telle similitude est dite directe
◦ Toute similitude plane de la forme M( z) 7→ M0 ( az + b) avec a, b ∈ C et a 6= 0 transforme tout angle
orienté de vecteurs en son opposé. Une telle similitude est dite indirecte
Théorème 5.3. Classification
• Toute similitude plane directe f est soit une translation, soit la composée d’une homothétie - de rapport
λ > 0 et de centre Ω - et d’une rotation - de même centre et d’angle θ -. On dit que f est la similitude
directe de centre Ω, de rapport λ et d’angle θ.
• Toute isométrie plane directe est soit une translation soit une rotation.
Exercice .14.
Donner les résultats analogues pour les similitudes et les isometries indirectes.
F ii n
n