1 - Le corps des nombres complexes.
1.1 - Construction de l’ensemble des nombres complexes.
◦Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres complexes, noté C, est donc l’en-
semble R2.
◦On peut alors écrire : C={(x,y)/x,y∈R}ou encore : ∀z∈C∃x,y∈Rtels que : z= (x,y).
◦De plus les réels xet ysont uniques. Le réel xest appelé partie réelle de znoté Re(z)et le réel yest appelé
partie imaginaire de znoté Im(z).
Définition 1.1.
Opérations sur les complexes :
On définit dans Cdeux lois de compositions internes. Pour z= (x,y)et z0= (x0,y0)deux complexes :
1. La somme de zet z0, notée z+z0, est définie par : z+z0= (x+x0,y+y0). On vérifie que cette loi possède des
propriétés analogues à celles de l’addition des réelles, à savoir :
(a) L’associativité : ∀z,z0,z”∈C:(z+z0) + z”=z+ (z0+z”)
(b) La commutativité : ∀z,z0∈C:(z+z0=z0+z
(c) ∀z∈C:z+ (0, 0) = (0, 0) + z=z(0, 0)est dit l’élément neutre de l’addition.
(d) Tout z= (x,y)possède un opposé (noté −z) qui est (−x,−y):z+ (−z) = (−z) + z= (0, 0).
2. Le produit de zet z0, noté z×z0, est définie par : z×z0= (xx0−yy0,xy0+x0y). On vérifie que cette loi possède
des propriétés analogues à celles de la multiplication des réelles, à savoir :
(a) La commutativité,l’associativité.
(b) Existence de l’élément neutre qui est (1, 0).
(c) Tout z= (x,y)6= (0; 0)possède un inverse ,noté z−1ou 1
z, donné par : z−1=x
x2+y2,−y
x2+y2.
(d) Distributivité da la multiplication par rapport à l’addition.
On résume l’ensemble des propriétés de ces deux lois en disant que le triplet (C,+,×)est un corps
commutatif .
Définition 1.2.
Notation algébrique des complexes :
1. Plongement de Rdans C:
(a) L’application f:R→Cdéfinie par : f(x) = (x, 0)est une injection de Rvers Cqui vérifie :
Pour tous x,y∈Ron a : f(x+y) = f(x) + f(y),f(x×y) = f(x)×f(y)
(b) Ret f(R)sont équipotents,on identifie alors tout réel xavec on image f(x)en écrivant x= (x, 0)et on
conclut que R⊂C(on dit que l’on a plongé Rdans C).
2. Notation algébrique : On pose : i= (0, 1)on a :
(a) i2=−1.
(b) ∀z∈C∃!(x,y)∈R2:z=x+iy dite forme algébrique de z.
3. Propriétés : On pose iR={iy/y∈R}appelé ensemble des imaginaires purs.
(a) z=z0⇐⇒ (Re(z) = Re(z0)et Im(z) = Im(z0)).
(b) z∈R⇐⇒ Im(z) = 0.
(c) z∈iR⇐⇒ Re(z) = 0.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017