Examen de Noel Physique 2h

Examen de Noel Physique 2h
Théorie
1/ Définir le vecteur vistesse moyenne et le vecteur vitesse instantané. Illustrer sur un
trajet faisant un arc de cercle.
2/ Dessiner et construire sur une chronophotographie des vecteurs position, vitesse
moyenne, vitesse instantanée et accélération.
3/ Ecrire l'équation vectorielle de la position d'un objet en fonction du temps. Décomposer
le vecteur position en composantes horizontale (i) et verticale (j). Que valent ces
composantes dans le cas d'un tir horizontal ? Que valent ces composantes dans le cas d'un tir
avec angle ?
3/ Dans un tir avec angle, démontrer que x = v 2 sin 2Θ / g
0
4/ Dans un tir avec angle, démontrer que la hauteur maximale atteinte est y = v 2 sin2Θ /
0
2g
5/ Démontrer que l'accélération centripète vaut a = v2/R
6-7-8/ Définir les 3 lois de Newton.
9/ Définir la loi de la gravitation
10/ Définir le poids, l'écliptique, les tropiques, l'équateur, le satellite, le satellite
géostationnaire...
Exercices
Exercice 1 :
Deux vecteurs sont dans le plan (x,y). Le vecteur A est de longueur 10 unités et il est
orienté de 30° au dessus de l’axe des x positifs (horizontale). Le vecteur B est de longueur
15 unités et il est orienté de 45° au dessus de l’axe des x positifs. Quelle est la résultante
de ces 2 vecteurs ? A résoudre graphiquement et algébriquement.
Indications : 1. R = A + B : dessiner l'addition des deux vecteurs. 2. Calculer la taille du
vecteur avec la loi des cosinus si les triangles sont non rectangle ou avec un simple sinus ou
cosinus ou tangente si on a un triangle rectangle.
Loi des cosinus : R2 = A2 + B2 - 2ABcosβ
Exercice 2 :
Un dirigeable a une vitesse de 180 km/h vers le Nord par rapport à l’air. Le vent souffle à
une vitesse de 100 km/h dans la direction du sud-est à 45°. Quelle est sa vitesse par rapport
au sol ? Quelle est sa vraie direction de vol ? Quelle est la distance parcourue en 3h de vol ?
Indications : Addition de vecteurs : v
=v
+v
DirigeableTerre
DirigeableAir
AirTerre
Distance = vitesse . temps
Exercice 3:
Un ferry-boat a une vitesse de 10 km/h par rapport à l’eau. Son pilote maintient le cap au
Nord dans un fleuve qui coule vers l’est avec une vitesse de 5 km/h. La traversée dure 2
heures. Quelle est la longueur du fleuve ? A quel endroit arrive-t-il à quai ?
Indications : Addition de vecteurs :v
=v
+v
BateauTerre
BateauEau
EauTerre
Exercice 4 :
La photo ci-contre représente la chronophotographie la chute d’un volant de badmington.
La durée entre 2 prises de vues est de 0.2 s. Calcule la norme du vecteur vitesse en position
3 et en position 10. Trace ces deux vecteurs.
Pourquoi peut-on dire qu’il y a accélération entre ces deux positions ? Construis le vecteur
accélération sur base de ces 2 vecteurs vitesses. Mesure la grandeur de l’accélération
moyenne entre ces 2 positions.
Indications : vitesse (m/s)= deplacement (m) / 0.2 (s) et vitesse
3
3
(m) /0.2 (s)
accélération = (vitesse
10
- vitesse ) (m/s) / ((10-3) . 0.2) (s)
3
10
(m/s) = deplacement
10
Résolution :
Ci-dessus, on voit en rouge les vecteurs déplacement, en bleu les vecteurs vitesse, en
magenta le vecteur variation de vitesse, en vert le vecteur accélération.
Pour connaître la norme du vecteur vitesse en 3, on mesure la norme du déplacement de la
position 3 à la position 4 : déplacement = .... mm. (norme de la flèche rouge)
La norme du vecteur vitesse en 3 = .... mm / 0.2s = .... mm/s.
La norme du vecteur vitesse en 10 = déplacement de 10 à 11 / 0.2s = ..... / 0.2s = .... mm/s
Le vecteur variation de vitesse peut également se mesurer : HV = .... mm / s
Enfin l'accélération = HV (mm/s) / 1.4 (s) = .... mm/s2
On peut dire qu'il y a accélération car le vecteur accélération trouvé n'est pas nul.
Exercice 5 :
Un bouchon de champagne est lancé à une vitesse de 10 m/s et un angle de 40 ° avec
l’horizontale. On néglige les frottements Après combien de temps le bouchon atteint-il sa
hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? Quelle est la portée du tir ? Quelle est la
vitesse du bouchon au point d’impact ? Quelle est la vitesse du bouchon après 0,1 s ?
Résolution :
hauteur max => vitesse verticale nulle => v sin(Θ) - gt = 0 => t = 10 . sin(40) / 9.81 = 0.655 s
0
mettre ce temps dans y = v . sin(Θ) . t - gt2 / 2 pour obtenir la hauteur :
0
y = 10 . sin(40) . 0.655 - 9,81 . 0.6552 / 2 = 2.1 m
durée du tir
y = 0 = v . sin(Θ) . t - gt2 / 2 => 0 = t . (v . sin(Θ) - gt/ 2)
0
0
=> t = 0 ou t = 2 v . sin(Θ) / g = 1.31 s
0
portée du tir
x = v . cos(Θ) . t = 10 m ou x = v 2 sin 2Θ / g = 10 m
0
0
vitesses
vitesse = sqrt( v 2 + v 2) = sqrt ( (v . cos(Θ))2 + (v . sin(Θ) - gt)2 )
x
y
0
0
vitesse d'impact ( avec t = durée du tir )
v
v
= sqrt ( (v . cos(Θ))2 + (v . sin(Θ) - g . 2 v . sin(Θ) / g)2 )
impact
0
0
0
= sqrt ( (v . cos(Θ))2 + (- v . sin(Θ) )2 ) = sqrt ( v 2 (cos2(Θ) + sin2(Θ) ) = v
impact
0
0
0
vitesse après 0.1s = sqrt ( (v . cos(Θ))2 + (v . sin(Θ) - g . 0.1)2 )
0
v
0.1s
0
= sqrt ( (v . cos(40))2 + (v . sin(40) - g . 0.1)2 )
0
0
0
v
= sqrt ( 7,662 + (6,42 - 0.981)2 ) = 9,9 m/s
0.1s
Exercice 6 :
Un jeune lance une pierre horizontalement à une vitesse de 3,6 km/h d’un pont de 50 m audessus d’un fleuve. On négligera la résistance de l’air. Quel temps faut-il pour que la pierre
tombe dans l’eau ? A quelle distance du pont tombe-t-elle ? Quelle sera alors sa vitesse ?
Indication : - h = - gt2/2 => t = ... => x = v . t et v = - g.t (vitesse négative car vers le bas)
x
y
Résolution :
Dans un tir horizontal on cherche d'abord le temps du tir :
- h = - gt2/2 <=> -50 = -gt2/2 =>t = sqrt(2 . 50 / 9,81) = 3,2 s
On trouve ensuite le déplacement horizontal :
x = v . t = 1 m/s . 3,2 s = 3,2 m
x
La norme de la vitesse ( = sa valeur scalaire = son intensité = sa taille ... ) : v = sqrt(v 2+v 2)
x
Avec v = - g.t = -9,81 (m/s2). 3,2(s) = 31.4 (m/s), on trouve
y
v = sqrt((1 (m/s))2+ (31,4)2) = sqrt(1+ 985) = 31,4 m/s
y
Exercice 7 :
Pour un objet qui se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse scalaire constante. (La
vitesse scalaire est la norme (intensité) du vecteur vitesse)
l’accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse instantanée
le vecteur vitesse est constant
le vecteur accélération est constant
l’accélération est nulle
aucune des réponses précédentes
Justifiez chacune des affirmations
Résolution :
l’accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse instantanée : vrai : dans le cas
d'un mouvement circulaire à vitesse constante, le vecteur vitesse instantanée est
toujours tangente à la trajectoire et le vecteur accélération est centripète : ces deux
vecteurs sont donc perpendiculaires.
NB : pour être rigoureux l'affirmation aurait dû être : "le vecteur accélération est
perpendiculaire au vecteur vitesse instantanée"
le vecteur vitesse est constant : faux : il change constament d'orientation. Par contre
sa norme reste constante.
le vecteur accélération est constant : faux : il change constament d'orientation. Par
contre sa norme reste constante.
l’accélération est nulle : faux : l'accélération est nulle si R est infini, c'est à dire
quand le mouvement n'est plus vraiment circulaire mais plutôt linéaire.
Exercice 8 :
Un cycliste de 70 kg tourne sur une piste de vélodrome à la vitesse de 45 km/h. Quelle
inclinaison doit-on donner à la piste si le rayon de la piste est de 120 m ?
Indications : a = v2 / R et tg (Θ) = a / g
c
c
Résolution :
Cf exercice suivant ... Θ = 7,5°
Exercice 8bis :
Un circuit circulaire de course automobile est relevé d’un angle de façon qu’aucun
frottement entre la piste et les pneus ne soit nécessaire si une voiture de 800 kg roule à 90
km/h. Déterminer l'angle si le rayon de la piste est de 400 m.
Indications : a = v2 / R et tg (Θ) = a / g
c
c
Résolution :
Ici l'accélération centripète doit être le résultat de l'inclinaison seule du tournant et non lié
à des forces de frottement. L'image suivante permet de relier l'accélération centripète à
celle dûe à la gravitation.
En effet les seules forces s'appliquant à un véhicule sur un virage relevé est son poids (P =
mg), la force normale de réaction de la surface et, éventuellement, une force de
frottement. Or ici on aimerait que le frottement soit nul. Restent deux forces, qui,
appliquées à une même masse donnent les deux vecteurs accélérations correspondants g et
n (deuxième loi de Newton, une accélération est le résultat d'une force appliquée à une
masse : a = F/m). Et on aimerait que le résultat de ces deux accélérations soit l'accélération
centripète a qui va causer la rotation de l'objet : a = g + n. Cettte accélération centripète
c
c
doit être horizontale et vers le centre du tournant.
La seule construction qui permet d'obtenir cette accélération est de tracer un vecteur n
(dont on ne connait à priori pas la taille) consécutif à g et de limiter sa taille de manière à
avoir g + n horizontal.
Soit v la vitesse du véhicule v = 90 (km/h) / 3.6 ((m/s) / (km/h)) = 25 (m/s)
tg (Θ) = a / g = v2/ R.g = 252/ (400 . 9,81) = 0.159 => Θ = tg-1(0.159) = 9°
c
Exercice 9 :
Sur une chaussée sèche et en bon état, les pneus d'une voiture de tourisme permettent une
accélération centripète maximale d'environ 1g ( 9,81 m/s2 ). Si le rayon d'une courbe est de
50 m, quelle est la vitesse maximale à laquelle un véhicule peut la négocier sans déraper ?
Indications : a = v2 / R = 9,81 m/s2
c
Résolution :
v = sqrt (9,81 . 50) = 22,14 m/s
Exercice 10 :
Une voiture sur une piste ciculaire a une accélération centripète de 5 m/s2. Quelle sera son
accélération centripète si elle triple sa vitesse.
Indications : proportionallité
Exercice 11 :
Que vaut l’intensité de la force d’attraction entre deux sphères de masse 300 kg et 600 kg
dont les centres sont distants de 5 m ? Comparer cette force aux poids des sphères sur
Terre. Que devient l’intensité de cette force d’attraction si la distance est portée à 20 m ?
Indications :
F =G.
m .m
A
B
r2
P =m .g;P =m .g
A
A
B
B
Si on quadruple la distance... cf proportionnalité.
Résolution :
F = 6,67 10-11 . 300 . 600 / 5 = 2,4 10-6 N
Le poids des sphère est de
P = m . g = 300 . 9,81 = 2,94 103 soit 1,2 109 x plus grand (2,94 103/2,4 10-6) que la force
A
A
entre les sphères.
P = m . g = 600 . 9,81 = 5,88 103soit 2.4 109 x plus grand (5,88 103/2,4 10-6) que la force
B
B
entre les sphères.
La force est inversément proportionnelle au carré de la distance. Ainsi si on quadruple la
distance on divise la force par le carré du quadruple, ç-à-d par 42.
Exercice 12 :
Que devient la vitesse de rotation d’un satellite en orbite à 500 km autour de la Terre si on
double sa masse et que l’on double le rayon de satellisation ?
Indications : Satellite => m
v2 / R = G . m
Sat
Sat
. m / R2
T
avec R = R + h = 6370 km + 500 km = 6.87 106 m ( rayon de satellisation = rayon terre +
T
altitude )
=> v = sqrt (G . m / R )
T
Résolution :
Dans le cas d'un satellite, la force d'attraction qui l'attire à la terre est la force
gravitationnelle ET cette force est centripète, ç-à-d est orientée vers le centre de la terre :
2
m .m
m v = G. S T
S
R
R2
(noel 15.1)
La vitesse du satellite se trouve donc ainsi :
v2 / R = G . m
Sat
. m / R2 => v = sqrt(G . m / R) = sqrt(G . m ) / sqrt(R)
T
T
T
La vitesse n'est pas liée à la masse du satellite. Doubler la masse ne change donc pas la
vitesse.
La vitesse est inversément proportionnelle à la racine carré du rayon de satellisation. Ainsi
si on double le rayon, la vitesse et divisée par la racine du double, ç-à-d divisée par 1,4142.
Exercice 13 :
La Lune décrit autour de la Terre une trajectoire quasi circulaire dont le rayon est d'environ
60 fois celui de la Terre. Si la période de révolution de la Lune autour de la Terre est de
27,3 jours, déterminez son accélération. (Données : rayon de la terre = 6370 km)
Indications : a = v2/R = (2πR/T)2 / R = 4π2R/T2
Résolution :
Application directe du mouvement circulaire. On ne doit même pas utiliser la gravitation.
En effet, dans le cas d'un pouvement centripète (ce qui est le cas des satellites puisqu'ils
tournent bien autour d'un centre), l'accélération centripète est liée à la vitesse et au rayon
de la circonférence.
a = v2/R
Or la vitesse est bien une distance parcourue par unité de temps :
Ici, vitesse = circonférence / période de révolution = 2πR/T.
Soit R = distance de la lune au centre de la terre : R = 60 . 6,37 106 m = 3,8 108 m
a = v2/R = (2πR/T)2 / R = 4π2R/T2 = 4π2 . 3.8 108 / (27,3 . 86000)2 = 0,0027 (m/s)
Exercice 14 :
Un satellite géostationnaire paraît immobile dans le ciel car sa période de révolution autour
de la Terre est la même que le temps que met la Terre pour faire un tour sur elle même. Si
un tel satellite se trouve sur une orbite dont le rayon est de 6,6 fois le rayon terrestre,
quelle est l'accélération de ce satellite ? (Données : rayon de la terre = 6370 km)
Indications : a = v2/R = (2πR/T)2 / R = 4π2R/T2 avec R = 6,6 x 6,37 106m et T = 1j = 86400 s
Résolution 1:
Application directe du mouvement circulaire. On ne doit même pas utiliser la gravitation.
En effet, dans le cas d'un pouvement centripète (ce qui est le cas des satellites puisqu'ils
tournent bien autour d'un centre), l'accélération centripète est liée à la vitesse et au rayon
de la circonférence.
a = v2/R
Or la vitesse est bien une distance parcourue par unité de temps :
Ici, vitesse = circonférence / période de révolution = 2πR/T.
Vu que le satellite est géostationnaire, sa période de révolution est de 1 jour :
T = 1 j x 86400 s/j = 86400 s
a = v2/R = (2πR/T)2 / R = 4π2R/T2 = 4π2(6,6 . 6,37 106) / (86400)2 = 0,22 (m/s)
Résolution 2:
Soit m la masse du satellite, v sa vitesse, r sa distance par rapport au centre de la terre.
S
Soit G, la constante gravitationnelle : G = 6.67 10-11 m3.kg-1.s-2
Soit m la masse de la terre.
T
Accélération centripète (début) :
Dans le cas d'un satellite, la force d'attraction qui l'attire à la terre est la force
gravitationnelle ET cette force est centripète, ç-à-d est orientée vers le centre de la terre :
m a = G.
S c
m .m
S
T
(noel 14.1)
r2
Ce qui permets de déterminer l'accélération du satellite :
a = G . m / (6.6 . 6370000)2 (m/s2)
c
T
Il nous manque la masse de la terre ... On peut la trouver comme pour l'execice 15 ainsi :
Masse de la terre :
2
m .m
m v = G. S T
S
r
r2
Or la vitesse d'un satellite est liée à sa période de révolution T :
v = distance parcourue pendant une révolution / temps de révolution = 2πr/T
Ainsi pour un satellite à une distance r et ayant une période de révolution T:
(noel 15.1)
(2πr/T)2 = G. mT
r
r2
(noel 15.2)
En mettant les variables d'un côté de l'égalité et les constantes de l'autre (noel 15.2)
devient :
r3 = G. mT
2
T
4π
(noel 15.3)
2
On constate que r3/T2 est une constante pour tous les satellites d'un même astre.
On calcule cette constante avec les données du satellite:
r 3/T 2 = (6.6 . 6370000)3 / (1 * 86400)2 = 9.9 1012 (s3/m2)
SG
SG
Masse de la terre :
Ce qui permet de trouver la masse de la terre m = 9.9 1012 . 4π2 / G = 6 1024 kg
T
Accélération centripète (fin) :
a = G . m / r2 = 6.67 10-11 . 6 1024 / (6.6 . 6370000)2 = 0.22 (m/s2)
c
T
Exercice 15 :
La lune est à 384000 km de la terre et a une période de révolution de 27,3 jours. Quelle est
la masse de la terre ? Quelle est l'altitude d'un satellite géostationaire ? Quelle est sa
vitesse ?
Indications : Kepler : g = G.m / r2 = 4π2r/T2 => r3/T2 = G.m / 4π2 = constante pour tous les
T
T
satellites d'un même astre.
Résolution :
Soit m la masse du satellite, v sa vitesse, r sa distance par rapport au centre de la terre.
S
Soit G, la constante gravitationnelle : G = 6.67 10-11 m3.kg-1.s-2
Soit m la masse de la terre.
T
Dans le cas d'un satellite, la force d'attraction qui l'attire à la terre est la force
gravitationnelle ET cette force est centripète, ç-à-d est orientée vers le centre de la terre :
2
m .m
m v = G. S T
S
r
r2
(noel 15.1)
Or la vitesse d'un satellite est liée à sa période de révolution T :
v = distance parcourue pendant une révolution / temps de révolution = 2πr/T
Ainsi pour un satellite à une distance r et ayant une période de révolution T:
(2πr/T)2 = G. mT
r
r2
(noel 15.2)
En mettant les variables d'un côté de l'égalité et les constantes de l'autre (noel 15.2)
devient :
r3 = G. mT
2
T
4π
(noel 15.3)
2
On constate que r3/T2 est une constante pour tous les satellites d'un même astre.
Soit r = la distance de la lune au centre de la terre = 384000 km, T = la période de
L
L
révolution de la lune = 27,3 j, r = la distance d'un satellite géostationnaire au centre de la
SG
terre, T = la période de révolution de ce satellite géostationnaire = 1 j :
SG
r 3
L
T
L
2
r 3
= SG
T 2
SG
= G.
m
T
4π
2
On calcule cette constante avec les données de la lune :
(noel 15.4)
r 3/T 2 = (384 106)3 / (27.3 * 86400)2 = 1.02 1013 (s3/m2)
L
L
Masse de la terre :
Ce qui permet de trouver la masse de la terre m = 1.02 1013 . 4π2 / G = 5.97 1024 kg
T
Altitude satellite géostationnaire :
Ce qui permet aussi de trouver le rayon d'un satellite geostationnaire avec T
SG
= 1 (j) x
86400 (s/j) :
r 3= 1.02 1013 . T 2 = 75.9 1021 m => r
SG
SG
SG
= 42,3 106 m = 42343 km
Son altitude vaut sa distance au centre de la terre diminuée du rayon de la terre :
altitude = 42343 km - 6370 km = 35973 km.
Vitesse satellite :
La vitesse se trouve aussi avec (noel 15.1)
v
SG
m/s
= sqrt (G . m / r
T
SG
) = sqrt(6.67 10-11 . 5.97 1024 / 42,3 106) = sqrt(9.4 106) m/s = 3066