TDportrait.dvi (TDportrait.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 1 et 2
T.D. No1 de m´ecanique
1 Freinage
Deux voitures se suivent `a une distance D`a la meme vitesse V0= 108 km/h. A un certain moment, la
premi`ere voiture commence `a freiner avec une d´ec´el´eration a1= 6 m.s−2, la seconde voiture ne commence
`a freiner qu’avec un retard τ= 1 set une d´ec´el´eration a2= 5 m.s−2. A quelle condition doit satisfaire D
pour que la seconde voiture s’arrete sans heurter la premi`ere?
R´eponse : D > 45 m
2 Mouvement rectiligne
Un mobile est astreint `a se d´eplacer sur une droite. A l’instant t= 0, il poss`ede la vitesse V0= 20 m/s et
l’acc´el´eration a0= 2 m/s2. Le mobile a un mouvement d´ec´el´er´e tel que a=−kV o`u kest une constante
que l’on calculera en pr´ecisant son unit´e.
1. D´eterminer sa vitesse et sa position en fonction du temps.
2. Au bout de combien de temps s’arrˆete-t-il ? quelle distance a-t-il alors parcourue ?
3. Quel est le temps t1au bout duquel il a parcouru l1. Quelle est alors sa vitesse ?
3 Mouvement circulaire de deux points
Deux points M1et M2tournent d’un mouvement uniforme sur un cercle de rayon Ravec des vitesses
respectivement ´egales `a V1et V2=kV1(kentier naturel >1). Sachant qu’`a l’instant initial les deux points
se trouvent au mˆeme endroit, d´eterminer leur point de rencontre lorsque :
1. les deux points tournent dans le mˆeme sens ;
2. les deux points tournent en sens inverse.
3. Application: A quelles dates les 2 aiguilles d’une montre sont-elles superpos´ees?
R´eponses : 1 - θp=p2π
k−12 - θp=p2π k+ 1 3 - tp= 1 h5min 45 s
4 Mouvement circulaire
Pr´eciser l’acc´el´eration d’un mobile se d´epla¸cant `a la vitesse V= 72 km/h constante sur une trajectoire
form´ee de deux segments rectilignes parall`eles raccord´es par deux quarts de cercle de meme rayon R= 20 m:
avant A, entre Aet B, entre Bet Cet apr`es C.
A
B
C
O1
O2
1

5 Trajectoire en spirale
Les ´equations en polaires d’un mouvement plan sont :
r=r0e−t/τ et θ=t/τ o`u td´esigne le param`etre temps.
1. Exprimer la vitesse du point Men coordonn´ees polaires en fonction du temps.
2. Exprimer l’acc´el´eration du point Men coordonn´ees polaires en fonction du temps.
3. Repr´esenter qualitativement l’allure de cette trajectoire et d´eterminer sa longueur.
R´eponse : l=√2r0
6 Trajectoire h´elicoidale
Un point mat´eriel Md´ecrit la trajectoire suivante :
x= 3 cos t y = 3 sin t z = 2to`u td´esigne le param`etre temps et les distances sont exprim´ees en m`etre.
1. D´ecrire la trajectoire d´ecrite par M.
2. Calculer la vitesse de Men coordonn´ees cart´esiennes.
3. En d´eduire que le vecteur tangent `a la trajectoire fait un angle constant avec Oz. Calculer cet angle.
4. Calculer la longueur de la trajectoire entre les points d’altitude z= 0 et z= 4π.
R´eponses : r= 3,z=θ,α= arccos(2/√13),l= 2π√13
7 Trajectoire en spirale
On ´etudie le mouvement d’un point mat´eriel dont la position −→ r, la vitesse −→ Vet l’acc´el´eration −→ av´erifie la
relation −→ a=−2b−→ V−c−→ r(relation 1) o`u bet csont des constantes positives dont on pr´ecisera les unit´es.
On utilise les coordonn´ees polaires car le mouvement est plan. De plus on la vitesse angulaire ˙ θ=ωest
suppos´ee constante, et `a t= 0, on a r=r0et θ= 0.
1. Ecrire les deux ´equations diff´erentielles du mouvement reliant r,θet leurs d´eriv´ees temporelles en
projetant la relation 1 sur les vecteurs de base ~ Uret ~ Uθ.
2. En d´eduire r=r0ebt.
3. En d´eduire l’expression de ωen fonction de bet c(on pensera pour cette question `a utiliser les questions
pr´ec´edentes).
4. Donner l’allure de la trajectoire.
R´eponses : ˙r−br = 0,¨r−2b˙r+ (c−ω2)r= 0,ω=√c−b2
8 Longueur d’une trajectoire
Un mobile d´ecrit une trajectoire d´efinie en coordonn´ees polaires par l’´equation r=r0(1 + cos θ) o`u r0est
une constante. Mse d´eplace `a vitesse angulaire constante ˙ θ=ω.
1. D´eterminer les vecteurs vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees polaires. Montrer que V= 2r0ω|cos(θ/2)|.
2. Montrer que ~ Vfait un angle θ/2 avec ~ Uθ.
2

3. Remplir un tableau donnant les valeurs de ren fonction de r0pour θ= 0, π/4, π/2, ...
4. Montrer que r(θ) = r(−θ). En d´eduire la pr´esence d’un axe de sym´etrie, lequel?
5. Tracer pour chacune des valeur de θdu tableau : le point M, les vecteurs de base, le vecteur vitesse.
En d´eduire l’allure de la trajectoire.
6. Calculer la p´eriode et la longueur Lde cette trajectoire.
9 Lancement d’une torpille
V
U
N
S
β
θ
1. Un navire N est anim´e d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse ~v le long d’une droite. Un
sous-marin S tire `a l’instant o`u l’angle ( ~ N S, ~v) a la valeur βcomprise entre 0 et π/2 bornes exclues.
La torpille est anim´ee d’un mouvement uniforme de vitesse ~ U. Quelle doit ˆetre la valeur de l’angle de
tir θ= (~ U, ~ SN) si l’on veut couler le navire ?
2. On d´esire maintenant que la torpille atteigne le navire en un temps minimum. Pour quelles valeurs β0
de βcela est possible. En d´eduire l’angle de tir θ0correspondant.
R´eponses : sin θ=V/U sin β,tan β0=U/V ,θ0=π/2−β0
10 Tracteur
Un tracteur partant d’un point A situ´e sur une route rectiligne, doit atteindre un point B situ´e dans un
champ `a la distance dde la route (soit d=BC), et ce en un temps minimal. On suppose les trajets successifs
AD et DB rectilignes et parcourus `a vitesse constante par le tracteur qui va deux fois moins vite dans le
champ que sur la route.
D
B
l
x
d
A C
1. Etablir l’expression du temps mis pour rejoindre Ben fonction de x.
2. En quel point D, le tracteur doit-il quitter la route?
3. Etablir le lien entre cet exercice et les lois de Descartes.
3