Chapitre 1: Calcul vectoriel

Chapitre 1
Calcul vectoriel
Il s’agit ici de r
´
eviser certaines notions quand aux calculs avec des vecteurs et des
champs de vecteurs. On commence par deux d´ efinitions :
Scalaire :
Un scalaire est une grandeur physique compl
`
etement d
´
efinie par un chiffre.
Ex : masse, temp´ erature, ´ energie, etc.
Vecteur : Un vecteur est une grandeur physique caract
´
eris
´
ee par un module et une
orientation. Ex : force, vitesse, champ ´ electrique, etc.
1.1 Vecteurs
Un vecteur est repr
´
esent
´
e graphiquement par une fl
`
eche dont la longueur est pro-
portionnelle
`
a sa grandeur. La fl
`
eche pointe dans le m
ˆ
eme sens que le vecteur. Dans les
chapitres qui suivent, on repr
´
esente un vecteur par une lettre ayant une fl
`
eche par dessus :
~v.
Un vecteur unitaire ~u est un vecteur ayant un module de 1. Par d
´
efinition, un vecteur
~
A = |A|~u o
`
u |A| veut dire module (amplitude) du vecteur
~
A . Donc, le vecteur unitaire est
d´ efini selon :
~u =~
A
|A|(1.1)
On utilise aussi la notation
ˆ
a pour d
´
enoter un vecteur unitaire. C’est cette notation
qu’on utilisera dans le cours.
1

CHAPITRE 1. CALCUL VECTORIEL
1.1.1 Somme de vecteurs
La somme de deux vecteurs est un autre vecteur. Graphiquement, on peut r
´
ealiser cette
op´ eration par la r` egle du parall´ elogramme, comme ` a la figure 1.1.
~
A
~
B
~
C
Figure 1.1 – Somme de deux vecteurs
1.1.2 Soustraction de vecteurs
La soustraction de deux vecteurs produit elle aussi un 3e vecteur. Dans ce cas-ci, on
consid
`
ere la soustraction comme la somme du premier vecteur avec le deuxi
`
eme vecteur
multipli´ e par -1.
~
A−~ B=~ A+ (−~ B) (1.2)
Graphiquement, −~ Best obtenu en faisant une rotation de 180° de ~ B.
1.1.3 Multiplication par un scalaire
Un vecteur qui est multipli
´
e par un scalaire change d’amplitude, mais pas de direction :
k~ A= (k|A|)ˆ a(1.3)
1.1.4 Produit de vecteurs
Il y a deux produits de vecteurs : le produit scalaire et le produit vectoriel.
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs
~
A et
~
B est un scalaire donn
´
e par la relation
suivante : ~
A·~ B≡ |A||B|cos(θAB) (1.4)
Gabriel Cormier 2 GELE3222

CHAPITRE 1. CALCUL VECTORIEL
o` uθAB est le plus petit angle entre ~ Aet ~ B.
Quelques propri´ et´ es du produit scalaire :
•~ A·~ A=|A|2
•~ A·~ B=~ B·~ A
•~ A·(~ B+~ C) = ~ A·~ B+~ A·~ C
Le produit scalaire peut
ˆ
etre utilis
´
e pour d
´
eterminer si deux vecteurs sont perpendicu-
laires ; dans ce cas, cosθAB = 0, et donc le produit scalaire est nul.
Aussi, si deux vecteurs sont parall
`
eles, le produit scalaire est
´
egal
`
a la multiplication
des modules : ~
A·~ B=|A||B|si ~ A||~ B(1.5)
Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs
~
A et
~
B est un autre vecteur perpendiculaire au
plan form
´
e par
~
A et
~
B . L’amplitude du r
´
esultat d
´
epend de l’angle entre
~
A et
~
B . La d
´
efinition
du produit vectoriel est :
~
A×~ B≡(|A||B|sin(θAB))ˆ a(1.6)
o
`
u θAB est le plus petit angle entre
~
A et
~
B et
ˆ
a est normal (perpendiculaire) au plan form
´
e
par ~ Aet ~ B, comme ` a la figure 1.2.
~
A
~
B
~
C
θAB
Figure 1.2 – Produit vectoriel de deux vecteurs
Quelques propri´ et´ es du produit vectoriel :
•~ A×~ B=−(~ B×~ A)
•~ A×(~ B+~ C) = ~ A×~ B+~ A×~ C
•~ A×(~ B×~ C),(~ A×~ B)×~ C
Le produit vectoriel peut
ˆ
etre utilis
´
e pour trouver un vecteur (unitaire) normal
`
a un
plan. Si on conna
ˆ
ıt 2 vecteurs de ce plan, on utilise le produit vectoriel pour trouver le
vecteur normal.
Gabriel Cormier 3 GELE3222

CHAPITRE 1. CALCUL VECTORIEL
On peut aussi v
´
erifier si deux vecteurs sont parall
`
eles : dans ce cas, sinθAB = 0, et donc
le produit vectoriel est nul.
1.2 Syst ` emes de coordonn ´ ees orthogonaux
Un syst
`
eme de coordonn
´
ees orthogonal est un syst
`
eme de coordonn
´
ees o
`
u les trois
surfaces (en 3D) qui d
´
efinissent le syst
`
eme sont perpendiculaires l’une
`
a l’autre. On utilisera
les trois syst` emes orthogonaux principaux dans ce cours, soit :
1. Syst` eme cart´ esien
2. Coordonn´ ees cylindriques
3. Coordonn´ ees sph´ eriques
1.2.1 Coordonn ´ ees cart ´ esiennes
Le point P ( x,y,z ) dans les coordonn
´
ees cart
´
esiennes repr
´
esente l’intersection de 3 plans
non-courb´ es. Les trois vecteurs de base sont ˆ ax,ˆ ayet ˆ az.
x
y
z
ˆ
ax
ˆ
ay
ˆ
az
Figure 1.3 – Syst` eme de coordonn´ ees cart´ esien
Un vecteur quelconque ~ Aest repr´ esent´ e dans les coordonn´ ees cart´ esiennes selon :
~
A=Axˆ ax+Ayˆ ay+Azˆ az(1.7)
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CHAPITRE 1. CALCUL VECTORIEL
Le produit scalaire de deux vecteurs ~ Aet ~ Best :
~
A·~ B=AxBx+AyBy+AzBz(1.8)
Le produit vectoriel est :
~
A×~ B=
ˆ
axˆ ayˆ az
AxAyAz
BxByBz
(1.9)
= (AyBz−AzBy)ˆ ax+ (AzBx−AxBz)ˆ ay+ (AxBy−AyBx)ˆ ax(1.10)
L’´ el´ ement diff´ erentiel de longueur dans ce syst` eme de coordonn´ ees est :
dl =dx ˆ ax+dy ˆ ay+dz ˆ az(1.11)
Les ´ el´ ements de surface sont :
dsx=dydz (1.12)
dsy=dxdz (1.13)
dsz=dxdy (1.14)
L’´ el´ ement diff´ erentiel de volume est :
dv =dx dy dz (1.15)
Exemple 1
Soit ~ A= 5 ˆ ax−2ˆ ay+ˆ az. Trouver un vecteur unitaire ~ Bde sorte que :
1. ~ B||~ A
2. ~ B⊥~ Asi ~ Best dans le plan xy.
1. Pour
~
B||~ A , il faut trouver un vecteur unitaire, et le vecteur unitaire de
~
A est une
solution.
~
B=~
A
|A|=5ˆ
ax−2ˆ ay+ˆ az
√25 + 4 + 1 =1 √30 5ˆ
ax−2ˆ ay+ˆ az
2. Un vecteur perpendiculaire donnera un produit scalaire nul. On cherche
~
B de sorte
que ~ B·~ A= 0. Les composants de ~ Bdans le plan xy sont Bxet By.
~
B·~ A= 5Bx−2By= 0
Gabriel Cormier 5 GELE3222