Résolution modulo une théorie équationnelle

R´ esolution modulo une th´ eorie ´ equationnelle
Correction.
I. R´ esolution modulo E
On note s≈tl’´ equation entre set t— une formule —, pour la diff´ erencier de s=t, qui est
une expression math´ ematique signifiant que set tsont ´ egaux.
Soit Eune th´ eorie ´ equationnelle. On note =Ela relation d’´ egalit´ e modulo E, c’est-` a-dire
s=Etsi et seulement si tout mod` ele de Edonne les mˆ emes valeurs ` aset ` at.
Un unificateur modulo Ede l’´ equation s≈test une substitution σtelle que sσ =Etσ. On
dit aussi que σunifie s≈t, ou bien unifie set t, modulo E. Un unificateur modulo Ed’un
ensemble E′={si≈ti|1≤i≤n}fini d’´ equations est une substitution σqui unifie si≈ti
modulo Epour tout i,1≤i≤n.
On dit que σest plus g´ en´ eral que σ′modulo E, en notation σEσ′, si et seulement s’il
existe une substitution σ′′ telle que xσσ′′ =Exσ′pour toute variable x. On note ≡Ela relation
d´ efinie par σ≡Eσ′ssi σEσ′et σ′Eσ. On note ≺Ela relation d´ efinie par σ≺Eσ′ssi
σEσ′mais σ6≡Eσ′.
1. Un mgu de E′modulo Eest un unificateur σde E′modulo Equi est minimal pour E,
c’est-` a-dire tel qu’il n’existe aucun unificateur σ′de E′modulo Eavec σ′≺Eσ.
On dit que Eest unitaire si et seulement si tout ensemble fini d’´ equations a au plus un
unificateur modulo E. La th´ eorie vide (E=∅) est-elle unitaire?
Il y avait une erreur dans l’´ enonc´ e. Il fallait lire : Eest unitaire si et seulement si
tout ensemble fini d’´ equations est soit non unifiable, soit a un mgu, qui est unique ` a
≡Epr` es.
La r´ eponse est alors oui, l’unification modulo En’´ etant alors rien d’autre que l’uni-
fication syntaxique.
2. Montrer que la th´ eorie E=C d’un symbole binaire +commutatif (C ={∀x, y ·x+y≈
y+x}) n’est pas unitaire. On insiste sur le fait de trouver l’exemple le plus simple possible.
L’´ equation x+y≈a+b, o` uaet bsont deux constantes distinctes, a exactement
deux unificateurs modulo C, {x7→ a, y 7→ b}et {x7→ b, y 7→ a}, qui sont clairement
incomparables.
1

3. Se limiter aux th´ eories unitaires est donc une restriction trop forte. On dira qu’une th´ eorie
Eest finitaire si et seulement si, pour tout ensemble fini d’´ equations E’, il existe un en-
semble fini csuE(E′)d’unificateurs de E′modulo Etel que : pour tout unificateur σde E′
modulo E, il existe un ´ el´ ement σ′de csuE(E′)tel que σ′Eσ. On appellera un tel en-
semble csuE(E′)un ensemble complet d’unificateurs de E′modulo E, ou un csu modulo
E(“complete set of unifiers”).
Montrer que si E′a un csu modulo E, alors il en a un qui n’est compos´ e que de mgus.
Prendre les ´ el´ ements minimaux du csu, qui existent parce que le csu est fini.
4. De nombreuses th´ eories ´ equationnelles utiles sont finitaires, comme par exemple la th´ eorie
AC d’un symbole associatif et commutatif. Montrer en revanche que la th´ eorie A d’un
symbole +qui n’est qu’associatif n’est pas finitaire. De nouveau, on exhibera un exemple
le plus simple possible.
Les sommes sont ici des listes non vides. L’´ equation x+a≈a+xa alors comme
unificateurs {x7→ n.a}pour chaque entier n≥1, o` un.a est la somme de ncopies
de a. Aucun n’est plus g´ en´ eral modulo A qu’aucun autre, mais ce sont tous des mgus,
contredisant la question pr´ ec´ edente.
5. On consid` ere le probl` eme de la satisfiabilit´ e modulo Ed’un ensemble de clauses Sdu
premier ordre. On dit que Iest un mod` ele modulo Ede Ssi et seulement si I|=Set
I|=E.Sest satisfiable modulo Esi et seulement si Sa un mod` ele modulo E.
On dit qu’un mod` ele est de Herbrand modulo Esi et seulement si l’ensemble de ses valeurs
est form´ e exactement des classes d’´ equivalence [t]Edes termes clos tmodulo E. De fac¸on
´
equivalente, un mod` ele de Herbrand modulo Eest un ensemble de classes d’´ equivalence
[A]Ed’atomes clos modulo E.
Montrer que Sest satisfiable modulo Esi et seulement si Sa un mod` ele de Herbrand
modulo E.
Il y avait une nouvelle erreur : un mod` ele modulo Edoit v´ erifier E,S, mais aussi
ˆ
etre un mod` ele ´ equationnel, c’est-` a-dire satisfaire tous les axiomes de la th´ eorie Eq
de l’´ egalit´ e (r´ eflexivit´ e, sym´ etrie, transitivit´ e, passage au contexte). Sans quoi ni cette
question ni les suivantes n’´ etaient vraies.
Comme dans le cours, partant d’un mod` ele Ide Smodulo E, on peut d´ efinir le
mod` ele de Herbrand form´ e des [A]Etels que I|=A. La seule chose ` a v´ erifier est que
ceci ne d´ epend pas du repr´ esentant choisi Ade la classe [A]E. Mais si A=EB, on
aI|=Assi I|=Bpuisque I|=E,I´ etant ´ equationnelle.
On peut aussi invoquer le fait que : (∗)Iest un mod` ele de Smodulo Esi et seulement
si I|=S∪E∪Eq, et appliquer le th´ eor` eme de Herbrand du cours. Ceci ne dispense
pas d’utiliser la remarque que si A=EB, on a I|=Assi I|=Bpuisque I|=E.
6. Montrer le th´ eor` eme de compacit´ e pour les clauses modulo E: si Sest un ensemble (en
g´ en´ eral infini) de clauses du premier ordre, et Sest insatisfiable modulo E, alors il existe
un sous-ensemble fini Sfin de Squi est insatisfiable modulo E.
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Comme dans le cours, par un arbre s´ emantique qui ´ enum` ere cette fois-ci les classes
d’´ equivalence modulo Ed’atomes clos, ou bien en utilisant le th´ eor` eme de compacit´ e
et la remarque (∗)ci-dessus.
7. Montrer le th´ eor` eme de Herbrand modulo E:Sest insatisfiable modulo Esi et seulement
si l’ensemble S↓des instances closes de Sest insatisfiable modulo E, si et seulement s’il
existe un ensemble fini S0d’instances closes de Squi est insatisfiable modulo E.
Comme dans le cours.
8. Soit ≻un ordre strict stable sur les atomes, et qui est compatible ` a la th´ eorie ´ equationnelle
E, c’est-` a-dire que si A=EA′,A′≻B′et B′=EB, alors A≻B. Un atome Aest
maximal dans une clause Cssi il n’existe aucun atome Bdans Ctel que B≻A. Soit sel
une fonction de s´ election.
On consid` ere la r` egle de r´ esolution ordonn´ ee avec s´ election, adapt´ ee au cas modulo E:
1≤i≤ℓ
z}| {
Ci∨+Ai1∨...∨+AiniC′∨ −A′
1∨...∨ −A′ ℓ
C1σ∨...∨Cℓσ∨C′σ
o` u :
(i) ni≥1pour tout i,1≤i≤ℓ;
(ii) σ∈csuE({Aij ≈A′
i|1≤i≤ℓ, 1≤j≤ni});
(iii) sel (Ci∨+Ai1∨...∨+Aini) = ∅et Ai1,...,Ainisont maximaux dans Ci∨+Ai1∨
...∨+Aini, pour tout i,1≤i≤ℓ;
(iv) sel (C′∨ −A′
1∨...∨ −A′
ℓ) = {−A′
1,...,−A′
ℓ}et ℓ≥1, ou bien aucun litt´
eral n’est
s´ electionn´ e, ℓ= 1 et −A′
1est maximal dans C′∨ −A′ 1∨...∨ −A′
ℓ=C′∨ −A′
1.
(Exercice ` a la “o` u est Charlie?” : quelle est la diff´ erence avec la r` egle de r´ esolution or-
donn´ ee avec s´ election du cours?)
Comme d’habitude, cette r` egle s’entend apr` es renommage ´ eventuel des pr´ emisses, de sorte
qu’elles n’aient aucune variable en commun.
Montrer que cette r` egle est correcte, au sens o` u si l’on peut d´ eduire la clause vide ` a partir
de S, alors Sest insatisfiable modulo E.
On montre que la conclusion est cons´ equence logique des pr´ emisses modulo E, c’est-
`
a-dire que tout mod` ele modulo Edes pr´ emisses est aussi un mod` ele modulo Ede la
conclusion, comme dans le cours.
Si Iest un mod` ele de Herbrand modulo Edes pr´ emisses, alors Iv´ erifie toute instance
close (Ci∨+Ai1∨... ∨+Aini)σθ et (C′∨ −A′
1∨... ∨ −A′
ℓ)σθ. Puisque Iest
modulo E,Iv´ erifie aussi Ciσθ ∨+A′
iσθ, car Aij σθ =EA′ iσθ pour tous i, j. Donc
par coupure Iv´ erifie (C1σ∨...∨Cℓσ∨C′σ)θ, et ce pour toute substitution θclose.
Donc Iest un mod` ele de Herbrand de la conclusion modulo E. (On pouvait aussi
raisonner directement sur les mod` eles modulo E, pas ceux de Herbrand.)
3

9. Montrer qu’elle est compl` ete : si Sest insatisfiable modulo E, alors on peut d´ eduire la
clause vide de Sen un nombre fini d’applications de la r` egle de r´ esolution ordonn´ ee avec
s´ election.
Par arbres s´ emantiques, exactement comme au th´ eor` eme 8 du cours, ` a part que les
nœuds de l’arbre sont ´ etiquet´ es par des classes d’´ equivalence [A]Ed’atomes clos A...
d´ etails omis ici. Le point important est que, si θunifie Aij ≈A′
i(1≤i≤ℓ, 1≤j≤
ni), alors il existe σ∈csuE({Aij ≈A′
i|1≤i≤ℓ, 1≤j≤ni})tel que σEθ, par
d´ efinition, ce qui assure (ii).
De plus, la mesure µ1doit maintenant compter le nombre de litt´ eraux ±A′de CN
tels que A′θN=EA0
i, et non plus tels que A′θN=A0
i.
II. R´ esolution ` a contraintes
On consid` ere le cas o` uEn’a plus n´ ecessairement d’ensemble fini complet d’unificateurs.
Pour ceci, on change le calcul de r´ esolution. On fixe de nouveau un ordre strict ≻stable sur les
atomes, et compatible ` aE.
On appelle contrainte ´ el´ ementaire toute expression de la forme A≈A′ou bien A > A′, o` u
Aet A′sont des atomes. On d´ efinit |=EA≈A′si et seulement si A=EA′, et |=EA > A′si et
seulement si A≻A′.
On appelle contrainte toute expression Γtelle que d´ efinie par la grammaire :
Γ ::= A≈A′|A > A′
| ⊤
| ⊥
|Γ∧Γ
| ∃x·Γ
et l’on pose |=E⊤(toujours), 6|=E⊥(⊥est toujours faux), |=EΓ1∧Γ2si et seulement si |=EΓ1
et |=EΓ2,|=E∃x·Γsi et seulement s’il existe un terme clos ttel que |=EΓ[x:= t].
On dira que Γest satisfiable si et seulement s’il existe une substitution close σtelle que
|=EΓσ.
Une clause contrainte est une expression de la forme C|Γ, o` uCest une clause et Γune
contrainte. On dit que l’interpr´ etation Isatisfait C|Γmodulo Esi et seulement si I|=E, et pour
toute substitution close σtelle que |=EΓσ, on a I|=Cσ.
On plongera les clauses dans l’ensemble des clauses contraintes en lisant chaque clause non
contrainte Ccomme la clause contrainte C|⊤.
1. On consid` ere la r` egle de r´ esolution contrainte :
C∨+A1∨...∨+An|ΓC′∨ −A′|Γ′
C∨C′|Γ∧Γ′∧Γ≈∧Γ>
4

o` un≥1,Γ≈est la contrainte A1≈A′∧...∧An≈A′, et Γ>est la contrainte form´ ee de
la conjonction des contraintes ´ el´ ementaires Ai> B (1≤i≤n,Batome de C) et A′> B′
(B′atome de C′).
Montrer que cette r` egle est correcte, au sens o` u, si Sest un ensemble de clauses contraintes
tel que l’on peut en d´ eduire une clause de la forme |Γavec Γsatisfiable, alors Sest
insatisfable modulo E.
Il suffit de d´ emontrer que I|=EC∨C′|Γ∧Γ′∧Γ≈∧Γ>d` es que I|=EC∨
+A1∨...∨+An|Γet I|=EC′∨ −A′|Γ′. Pour toute substitution close σtelle que
|=E(Γ ∧Γ′∧Γ≈∧Γ>)σ, on a |=EΓσ, donc I|= (C∨+A1∨...∨+An) = σ.
Comme |=EΓ≈σ,A1σ=E... =EAnσ=A′σ, donc I|=Cσ ∨+A′σ. Comme
|=EΓ′σ,I|=C′σ∨ −A′σ. Donc I|= (C∨C′)σ.
2. Montrer que, si ≻est total sur les atomes clos (pour tous atomes clos Aet A′, soit A=EA′,
soit A≻A′, soit A′≻A), alors la r` egle est aussi compl` ete, c’est-` a-dire que si Sest un
ensemble de clauses contraintes qui est insatisfable modulo E, alors on peut d´ eduire de S
une clause de la forme |Γavec Γsatisfiable.
On doit d’abord d´ emontrer un th´ eor` eme de compacit´ e pour les clauses contraintes
modulo E. Celui-ci se d´ emontre comme ` a la partie I, ou comme dans le cours.
Si Sest insatisfiable modulo E, il existe donc un nombre fini d’instances closes S0de
clauses de Squi est insatisfiable modulo E, et qui est donc form´ e sur un nombre fini
d’atomes clos A0
1,...,A0
k. Le point important, c’est que ces atomes sont totalement
ordonn´ es par ≺, disons A0
1≺...≺A0
k.
Le reste de la d´ emonstration du th´ eor` eme 8 du cours s’adapte ensuite sans modifica-
tion majeure. On doit ensuite remarquer que cette d´ emonstration permet de trouver
des clauses, pr´ emisses de la r` egle de r´ esolution contrainte, o` u les atomes sur lesquels
sont r´ esolus sont les plus bas dans les branches consid´ er´ es, donc sup´ erieurs stricte-
ment aux autres atomes des clauses correspondantes, justifiant ainsi que (l’instance
correspondante de) la contrainte Γ>soit satisfaite.
3. La r` egle de r´ esolution contrainte reste-t-elle compl` ete lorsque ≻n’est pas total sur les
atomes clos? On demande bien sˆ ur une d´ emonstration dans l’affirmative, et un contre-
exemple dans la n´ egative.
Non. Par exemple, S={+A∨+B, +A∨−B, −A∨+B, −A∨−B},E=∅, et ≻la
relation vide (qui est un ordre strict). Par r´ esolution contrainte, on ne produira que
des clauses dont la partie contrainte est une conjonction contenant des expressions
de la forme A > A,A > B,B > A, ou B > B (venant de Γ>lors de la premi` ere
r´ esolution). Aucune de ces contraintes n’est satisfiable. Ceci sera en particulier le cas
des clauses de la forme |Γque l’on produira. Bien que Ssoit insatisfiable modulo
E, la r´ esolution contrainte ne le trouvera donc pas.
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