Polynômes et fractions rationnelles

École des Mines de Douai — FIAAS Mathématiques Fractions rationnelles
Fractions rationnelles : rappels,
éléments simples, primitives
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 30 septembre 2010
Table des matières
Introduction 2
I Polynômes et fractions rationnelles 2
1 Polynômes 2
1.1 Algèbre des polynômes ...................................... 2
1.2 Évaluation ............................................. 6
1.3 Arithmétique dans K[X]..................................... 8
1.4 Racines d’un polynôme ...................................... 11
1.5 Polynômes à coefficients complexes ............................... 14
1.6 Polynômes à coefficients réels .................................. 15
2 Fractions rationnelles 16
2.1 Définitions, opérations ...................................... 16
2.2 Représentants, degré ....................................... 17
2.3 Racines, pôles, fonction rationnelle ............................... 18
II Décomposition en éléments simples 19
3 Partie entière 19
4 Partie fractionnaire 20
4.1 Décomposition dans C(X).................................... 21
4.2 Décomposition dans R(X).................................... 24
III Primitives de fractions rationnelles 29
5 Méthode 30
5.1 La partie entière ......................................... 30
5.2 Éléments simples de première espèce .............................. 30
5.3 Éléments simples de seconde espèce ............................... 30
5.3.1 Cas où n= 1 ....................................... 30
5.3.2 Cas où n > 1....................................... 31
6 Exemples 31
Exercices 33
7 Exercices sur les polynômes 33
Exercice 1 ............................................. 33
Exercice 2 : Factorisations .................................... 33
Exercice 3 : Arithmétique .................................... 34
1

Fractions rationnelles Mathématiques École des Mines de Douai — FIAAS
Exercice 4 ............................................. 34
Exercice 5 ............................................. 34
Exercice 6 : Relations entre coefficients et racines ....................... 34
8 Exercices sur les fractions rationnelles 35
Exercice 7 ............................................. 36
Exercice 8 ............................................. 36
Exercice 9 ............................................. 36
Exercice 10 : Règle de Bioche .................................. 36
Introduction
Le présent polycopié est divisé en trois grandes parties :
– un ensemble de notions et résultats fondamentaux concernant les polynômes et fractions rationnelles,
pour la plupart étudiées en classe de mathématiques supérieures (la plupart des démonstrations sont
omises), avec parfois un recul supplémentaire sur ces notions ;
– un cours plus détaillé sur le principe et les méthodes de décomposition d’une fraction rationnelle
en éléments simples ;
– l’application de ces notions à la recherche de primitives.
Il n’est pas nécessaire à tout un chacun de comprendre tous les tenants et aboutissants de la théorie,
notamment certaines démonstrations assez difficiles (signalées par (♠)). Il est en revanche capital de bien
maîtriser tous les passages signalés par un symbole (F).
Dans tout ce cours, Kdésigne le corps Rdes réels ou celui Cdes complexes. Les éléments de Kseront
appelés scalaires.
(♠) Remarques 1
1. Certaines notions (mais pas toutes) s’étendent sans problème au cas où Kest un autre corps,
voire un anneau, pas forcément commutatif.
2. De même, certaines notions s’étendent au cas de polynômes et fractions rationnelles à plusieurs
indéterminées. Les objets algébriques considérés deviennent alors souvent plus complexes ou
perdent de leurs propriétés.
Première partie
Polynômes et fractions rationnelles
1 Polynômes
1.1 Algèbre des polynômes
(F) Définition 1
On appelle polynôme à coefficients dans Ktoute suite Pd’éléments de Knulle à partir d’un
certain rang : P= (a0, a1, . . . , an,0, . . . ). On dit parfois que c’est une suite à support fini.
Les éléments ak(k∈N) sont les coefficients de P. Si tous les coefficients aksont nuls, Pest le
polynôme nul, noté 0.
Si Pn’est pas 0, il existe un unique n∈N, indice du «dernier» coefficient non nul, tel que :
an6= 0 et ∀k > n, ak= 0.
Cet entier nest appelé degré du polynôme P, et noté deg P. Le coefficient anest appelé coefficient
dominant de P.
2

École des Mines de Douai — FIAAS Mathématiques Fractions rationnelles
On convient que le degré du polynome nul est −∞.
On dit qu’un polynôme est unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
La première conséquence, très importante, de cette définition 1 est le fait que deux polynômes sont
égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients (et donc le même degré) : c’est la méthode d’identi-
fication.
(F) Proposition 1
L’ensemble des polynômes à coefficients dans K, noté K[X], est un K-espace vectoriel de dimension
infinie.
Une base de K[X]est la famille C= (Xn)n∈Ntelle que Xnest le polynôme dont tous les coefficients
sont nuls, excepté celui de degré n, qui vaut 1. Cette base est la base canonique de K[X].
Par conséquent, tout polynôme P∈K[X]s’écrit de manière unique P=
n
X
k=0
akXkoù n= deg P
et akest le coefficient de degré kde P.
De plus, on a
∀P, Q ∈K[X],deg(P+Q)6max{deg P, deg Q}avec égalité si deg P6= deg Q
∀P∈K[X],∀λ∈K, deg(λP ) = (deg Psi λ6= 0
−∞ si λ= 0.
(♠) Remarques 2
1. L’infini qui apparaît ici comme dimension de K[X]est dans un certain sens «le plus petit des
infinis» (on le note souvent ℵ0: aleph-zéro, notation due à Cantor). En effet, Cest dénombrable
(c’est-à-dire en bijection avec N: on peut numéroter ses éléments), et tout ensemble infini
contient un ensemble dénombrable. En ce sens, K[X]est donc le plus petit K-espace vectoriel
de dimension infinie que l’on puisse concevoir (à isomorphisme près).
2. Si l’on n’exige plus que les suites considérées soient nulles à partir d’un certain rang, comme à la
définition 1, on a davantage que les polynômes à coefficients dans K. Les opérations de somme
et produit par scalaire (ainsi que le produit, détaillé plus loin) subsistent et on peut toujours
représenter une telle suite sous la forme
s=
∞
X
k=0
akXk
mais il faut garder à l’esprit que cette écriture n’est que formelle : aucune notion de convergence
n’est (pour l’instant) associée à cette somme infinie, qui est l’écriture d’une série. D’ailleurs,
une telle représentation est souvent appelée série formelle, et l’ensemble de ces séries formelles
noté K[[X]]. En particulier, cette somme n’est pas finie et ne peut pas être considérée comme
une combinaison linéaire. L’ensemble K[[X]] est encore un K-espace vectoriel, mais sa dimension
est un infini strictement plus grand que celui de K[X](il n’y a pas de base dénombrable !).
Corollaire 2
Pour tout n∈N, l’ensemble Kn[X]des polynômes à coefficients dans Kde degré inférieur ou égal à
n
Kn[X] = {P∈K[X],deg P6n}
est un K-espace vectoriel de dimension n+ 1. Sa base canonique est Cn= (1, X, . . . , Xn).
La définition suivante formalise la notion intuitive de produit de deux polynômes. Elle s’énonce sur
des suites mais se spécialise dans le cas des polynômes juste après.
Définition 2
Étant données deux suites (a fortiori deux polynômes) (an)et (bn)d’éléments de K, on définit le
3

Fractions rationnelles Mathématiques École des Mines de Douai — FIAAS
produit de Cauchy de (an)et (bn)comme étant la suite (cn)telle que
∀n∈N, cn=X
k+`=n
akb`=
n
X
k=0
akbn−k.(1)
On retrouvera la définition 2 lors de l’étude des séries (chapitre 7). Un polynôme étant une suite
particulière, on a le résultat suivant.
Proposition 3
Le produit P Q de deux polynômes Pet Qest encore un polynôme, et
deg(P Q) = deg P+ deg Q
avec la convention que, si n∈N∪ {−∞},−∞ +n=−∞.
L’ensemble K[X]est ainsi muni de trois opérations : addition, produit par scalaire et multiplication.
(F) Théorème 4
L’ensemble K[X]des polynômes à coefficients dans Kest une K-algèbre commutative.
Cela signifie que les lois d’addition et produit par scalaire munissent K[X]d’une structure de K-espace
vectoriel, que K[X]muni de l’addition et de la multiplication est un anneau commutatif, et que ces lois
sont compatibles entre elles.
(♠) Remarques 3
1. Ce résultat reste strictement inchangé si on travaille dans l’espace vectoriel K[[X]] des séries
formelles. Vus comme ensembles (ou même comme K-espaces vectoriels), K[[X]] (séries formelles)
et KN(suites) sont identiques. Ils ne le sont toutefois pas en tant que K-algèbres : la multiplication
de K[[X]] est celle de la formule (1) tandis que celle de KNest le produit terme à terme.
2. L’espace vectoriel K[X]admet une décomposition en somme directe de la forme
K[X] = M
n∈N
KXn
où la notation KXndésigne la droite vectorielle des multiples scalaires de Xn(ce sont les
polynômes homogènes de degré n). Cette décomposition en degrés est «compatible» avec
l’opération de multiplication des polynômes, grâce à la formule deg(P Q) = deg P+ deg Q: si
P∈KXnet Q∈KXm, alors P Q ∈KXn+m. On dit alors que K[X]est muni d’une structure
de K-algèbre graduée. Cette décomposition est plus utile dans le cas des polynômes à plusieurs
variables puisque dans ce cas les espaces de polynômes homogènes ne sont plus des droites mais
des sous-espaces de dimension supérieure.
On identifie les scalaires de Kavec l’espace K0[X]des polynômes «constants», c’est-à-dire de degré
inférieur ou égal à 0. Via cette identification, Kapparaît comme sous-algèbre de K[X], c’est-à-dire que
les opérations d’addition et de multiplication de K[X]prolongent celles de K.
Proposition 5
L’anneau K[X]est intègre. Ses éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls.
Preuve. L’anneau K[X]est commutatif et non réduit à 0. Si Pet Qsont deux polynômes non nuls, alors
deg(P Q) = deg P+ deg Q6=−∞
donc P Q 6= 0 : l’anneau est intègre, c’est-à-dire qu’il vérifie la «règle du produit nul».
Si Pest un polynôme inversible de K[X], alors il existe Q∈K[X]tel que P Q =1. On a alors
0 = deg(1) = deg(P Q) = deg P+ deg Q
4

École des Mines de Douai — FIAAS Mathématiques Fractions rationnelles
ce qui entraîne nécessairement deg P= 0 = deg Q, c’est-à-dire que Pest un scalaire non nul.
Réciproquement, si P=λ∈K\ {0}, alors le polynôme constant λ−1est bien l’inverse de P.
Présentons également d’autres opérations classiques sur les polynômes dans la définition suivante.
(F) Définition 3
(1) Soient P=
n
X
k=0
akXket Qdeux polynômes de K[X]. On appelle composé de P et Q le polynôme,
noté P◦Qou P(Q), suivant :
P(Q) =
n
X
k=0
akQk.
On remarquera notamment que si Qest le polynôme X, alors P(X) = P.
(2) Un polynôme Pest dit pair (resp. impair) si P(−X) = P(resp. P(−X) = −P).
(3) Étant donné un polynôme P=
n
X
k=0
akXk, le polynôme dérivé de Pest le polynôme
P0=
n
X
k=1
k akXk−1=
n−1
X
k=0
(k+ 1) ak+1Xk.
On appelle polynôme primitive de Ptout polynôme Qtel que Q0=P, c’est-à-dire du type
Q=λ+
n
X
k=0
ak
k+ 1Xk+1 =λ+
n+1
X
k=1
ak−1
kXk
où λ∈Kest un scalaire arbitraire.
(F) Remarques 4
1. On vérifiera que, de manière immédiate, un polynôme est pair (resp. impair) si et seulement si
tous ses coefficients impairs (resp. pairs) sont nuls.
2. On insistera bien sur le fait que les notions de dérivation et primitivation sont ici purement
algébriques et ne sont liées, a priori, aux notions équivalentes de dérivation et primitivation que
lorsque K=R(ou Csi l’on envisage les fonctions holomorphes).
3. Bien entendu, les formules usuelles de dérivation subsistent. Citons notamment la formule de
Leibniz : pour deux polynômes Pet Qet k∈N,
(P Q)k=
k
X
`=0
C`
kP(`)Q(k−`),
dont la démonstration par récurrence en utilisant la formule de dérivation d’un produit est laissée
au lecteur.
(F) Proposition 6
Soient Pet Qdeux polynômes de K[X]. Alors
deg(P(Q)) = (deg P)(deg Q) deg P0=(deg P−1si deg P>1
−∞ si deg P60.
5