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Correction : 84 p. 27
a et b sont des nombres entiers naturels non nuls.
On a : m = 3a + 4b et n = 2a + 3b.
a) On considère d un diviseur commun de a et b.
Donc : d | a et d | b.
Par combinaison linéaire, d | 3a + 4b et d | 2a + 3b.
Donc : d | m et d | n.
d est donc un diviseur commun de m et n.
Les diviseurs communs à a et b sont aussi diviseurs communs de m et n.
b) On a : 3m – 4n = 3(3a + 4b) – 4(2a + 3b)
= 9a + 12b – 8a - 12b
=a
De plus : 3n – 2m
= 3(2a + 3b) – 2(3a + 4b)
= 6a + 9b – 6a - 8b
=b
On considère d un diviseur commun de m et n.
Donc : d | m et d | n.
Par combinaison linéaire, d | 3m – 4n et d | 3n – 2m.
Donc : d | a et d | b.
d est donc un diviseur commun de a et b.
Les diviseurs communs à m et n sont aussi diviseurs communs de a et b.
c) D’après le a, on a démontré que : D (a ; b) ⊂ D (m ; n).
D’après le b, on a démontré que : D (m ; n) ⊂ D (a ; b).
Par double inclusion, on montre que : D (a ; b) = D (m ; n).
D’où : PGCD (a ; b) = PGCD (m ; n).
Correction : 85 p. 27
On a : a = 5n2 + 7 et b = n2 + 2, n ∈ ℕ.
= PGCD (5n2 + 7 ; n2 + 2)
= PGCD (5n2 + 7 – 5(n2 + 2) ; n2 + 2)
= PGCD (- 3 ; n2 + 2)
= PGCD (3 ; n2 + 2)
Or : PGCD (3 ; n2 + 2) | 3, soit PGCD (a ; b) | 3.
a) On a : PGCD (a ; b)
b) On suppose que le reste de la division euclidienne de n par 3 est 2.
Donc, il existe k entier relatif tel que : n = 3k + 2.
D’où : PGCD (a ; b)
= PGCD (3 ; n2 + 2)
= PGCD (3 ; (3k + 2)2 + 2)
= PGCD (3 ; 9k2 + 12k + 4 + 2)
= PGCD (3 ; 9k2 + 12k + 6)
Correction : 84, 85,86, 91, 92, 93, 97, 98 et 99 p. 27
1/4
= PGCD (3 ; 3(3k2 + 4k + 2))
= 3 × PGCD (1 ; 3k2 + 4k + 2)
=3×1
=3
Correction : 86 p. 27
n est un entier naturel.
On a : a = 7n2 + 4 et b = n2 + 1, n ∈ ℕ.
1) On a : 7b – a = 7(n2 + 1) – (7n2 + 4) = 3.
On considère d diviseur commun de a et b.
Par combinaison linéaire, on a : d | 7a – b, soit d | 3.
Tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3.
2) a) On suppose que : PGCD (a ; b) = 3.
Donc : 3 | b, soit 3 | n2 + 1.
Il existe donc k entier naturel tel que : n2 + 1 = 3k.
b) En utilisant un tableau de congruences, on a :
n ≡ … [3]
n + 1 ≡ … [3]
2
0
1
1
2
2
2
Donc : n2 + 1 n’est jamais congru à 0 modulo 3.
3 ne divise donc pas n2 + 1.
Il ne peut donc pas exister d’entier naturel k tel que : n2 + 1 = 3k.
3) D’après la question 1, PGCD (a ; b) divise 3. Donc : PGCD (a ; b) = 1 ou 3.
D’après la question 2, PGCD (a ; b) est différent de 3.
Donc : PGCD (a ; b) = 1.
Correction : 91 p. 27
En regardant la liste des diviseurs positifs de 950 et 467, on voit que 1 est le seul diviseur
commun.
Donc : PGCD (950 ; 467) = 1.
950 et 467 sont premiers entre eux.
En regardant la liste des diviseurs positifs de 703 et 444, on voit que 1 et 37 sont les diviseurs
communs.
Donc : PGCD (703 ; 444) = 37.
703 et 444 ne sont pas premiers entre eux.
Correction : 84, 85,86, 91, 92, 93, 97, 98 et 99 p. 27
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Correction : 92 p. 27
n est un entier naturel tel que n ≥ 2.
On a : a = n2 + 2n - 3 et b = n2 + 4n + 3.
a) On a : a = (n – 1)(n + 3) et b = (n + 1)(n + 3).
b) PGCD(n – 1 ; n + 1) = PGCD (n – 1 ; n + 1 – (n – 1))
= PGCD (n – 1 ; 2)
Si n est impair, n – 1 est pair, d’où : PGCD(n – 1 ; n + 1) = PGCD (n – 1 ; 2) = 2.
Si n est pair, n – 1 est impair, d’où : PGCD(n – 1 ; n + 1) = PGCD (n – 1 ; 2) = 1.
c) On a : PGCD (a ; b)
= PGCD ((n – 1)(n + 3) ; (n + 1)(n + 3))
= (n + 3) × PGCD (n – 1 ; n + 1)
=
(n + 3)
si n pair
2(n + 3)
si n impair
Correction : 93 p. 27
On considère deux entiers naturels x et y tels que : x + y = 1902
PGCD (x ; y) = 317
Il existe deux entiers naturels x’ et y’ premiers entre eux tels que x = 317x’ et y = 317y’.
D’où :
317x’ + 317y’ = 1902
Donc :
x’ + y’ = 6
Donc, les couples de (x’ ; y’) qui conviennent sont : (1 ; 5) et (5 ; 1).
D’où, les couples (x ; y) sont (317 ; 1585), (1585 ; 317).
Réciproquement si (x ; y) est l’un des couples (317 ; 1585), (1585 ; 317), alors PGCD (x ; y) = 317
et x + y = 1902.
Donc : S = {(317 ; 1585), (1585 ; 317)}.
Correction : 97 p. 27
On considère deux entiers naturels x et y tels que : xy = 7776
PGCD (x ; y) = 18
Il existe deux entiers naturels x’ et y’ premiers entre eux tels que x = 18x’ et y = 18y’.
D’où :
18x’ × 18y’ = 7776
Donc :
x’ y’ = 24
x’ et y’ sont premiers entre eux.
Donc, les couples de (x’ ; y’) qui conviennent sont : (1 ; 24), (3 ; 8), (8 ; 3), (24 ; 1).
D’où, les couples (x ; y) sont (18 ; 432), (54 ; 144), (144 ; 54), (432 ; 18).
Réciproquement si (x ; y) est l’un des couples (18 ; 432), (54 ; 144), (144 ; 54), (432 ; 18), alors
PGCD (x ; y) = 18 et xy = 7776.
Donc : S = {(18 ; 432), (54 ; 144), (144 ; 54), (432 ; 18)}.
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Correction : 98 p. 27
On a : a = 21n + 4 et b = 16n + 3.
a) On a : α = 16 et β = - 21.
En effet : αa + βb
= 16(21n + 4) – 21(16n + 3)
= 336n + 64 – 336n 63
=1
b) PGCD (a ; b) divise a et b.
Par combinaison linéaire, on a : PGCD (a ; b) | αa + βb, soit PGCD (a ; b) | 1.
Or : PGCD (a ; b) ≥ 1.
Donc : PGCD (a ; b) = 1.
a et b sont donc premiers entre eux.
Correction : 99 p. 27
a, b et c sont des entiers naturels non nuls.
a et b sont premiers entre eux, et c | a + b.
a) On sait que : c | a + b.
Donc, il existe k entier relatif tel que : a + b = ck.
On considère d = PGCD (a ; c).
D’où : d est un diviseur commun positif de a et c.
Donc, par combinaison linéaire, d | ck - a, soit d |b.
d est alors un diviseur commun de a et b.
Or : PGCD (a ; b) = 1 ( a et b premiers entre eux)
Donc : d | 1.
Or : d = PGCD (a ; c) ≥ 1.
Donc : PGCD (a ; c) = 1.
a et c sont premiers entre eux.
b) On a : PGCD(b ; c)
= PGCD(ck - a ; c)
= PGCD(a ; c)
=1
Donc : b et c sont premiers entre eux.
Correction : 84, 85,86, 91, 92, 93, 97, 98 et 99 p. 27
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