Probabilités Chapitre 9 Page 1 Probabilités. Chapitre 9. Les

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Probabilités Chapitre 9 Page 1
Probabilités. Chapitre 9.
Les changements de variables.
On se propose d’étudier l’effet d’un changement de variable continue sur une densité de probabilité.
I La dimension 1.
1. Le cas général.
Hypothèses.
X, Y sont des variables aléatoires absolument continues.
Elles ont pour densités de probabilités respectives f
X
et f
Y
.
A est un intervalle de IR tel que P(X ∈ A ) = 1.
Il existe une fonction ϕ définie sur A, dérivable sur A, à dérivée jamais nulle sur A,
telle que Y = ϕoX.
Remarque. ϕ est strictement monotone sur A. Si a < b < c et ϕ(a) < ϕ(b) et ϕ(c) < ϕ(b) alors il existe α
dans ]a, b[ et β dans ]b, c[ tels que ϕ(α) = ϕ(β) et γ dans ]α, β[ tel que ϕ′(γ) = 0.
Formule de changement de variable : f
X
= f
Y
oϕ.|ϕ′|.
La formulation suivante est plus naturelle :
f
X
(x) =
dy
dx
f
Y
(y).
Justification.
Si, par exemple, ϕ est strictement croissante alors :
x ≤ X ≤ x + dx ⇔ y ≤ Y ≤ y + dy (avec y = ϕ(x) et dy = ϕ′(x).dx) ;
P(x ≤ X ≤ x + dx) = P(y ≤ Y ≤ y + dy) ;
f
X
(x).dx = f
Y
(y).dy.
Dans le cas où les densités de probabilités de X et de Y sont continues et où, par exemple, ϕ est
strictement croissante, on peut raisonner ainsi :
P(X ≤ x) = P (Y ≤ ϕ(x)) ; on dérive par rapport à x : f
X
(x) = f
Y
(ϕ(x)).ϕ′(x).
2. Les translations. (Y = X + b avec b réel)
f
Y
(y) = f
X
(y – b).
3. Les homothéties. (Y = aX avec a réel non nul)
f
Y
(y) =
1
af
X
(
y
a
).
D’où : si Y = aX + b avec a réel non nul et b réel, alors :
fY(y) =
1
afX (
y
b
a
−
).
4. Les translations et les homothéties pour les variables normales.
Si X est normale alors a X + b (a∈IR* ; b∈IR) est normale.

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Probabilités Chapitre 9 Page 2
II La dimension 2.
1. Le cas général.
Hypothèses.
X, Y sont des couples absolument continus de variables aléatoires.
Ils ont pour densités de probabilités conjointes respectives f
X
et f
Y
.
A est une partie de IR
n
telle que P(X ∈ A ) = 1.
Il existe une fonction ϕ définie sur A, injective sur A, différentiable sur A, à jacobien jamais nul sur
A, telle que Y = ϕoX.
Remarque : J(ϕ) peut être strictement positif sur A convexe sans que ϕ soit bijective. Ex : (z → z
3
) ; J(ϕ)
= 9(x
2
+ y
2
)
2
; pourtant j
3
= 1
3
.
Formule de changement de variable : f
X
= f
Y
oϕ.|Jacob(ϕ)|.
La formulation suivante est plus naturelle :
f
X
(x
1
, x
2
) = Abs
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
1
2
2
1
1
1
x
y
x
y
x
y
x
y
.f
Y
(y
1
, y
2
).
Justification.
On peut considérer que l’image par ϕ d’un pavé (un parallélogramme) infinitésimal donné ∆(x, δx) de
centre x, d’aire δx, est un pavé infinitésimal ∆(y, δy) de centre y = ϕ(x), d’aire δy = |Jacob(ϕ)(x)| δx.
X∈∆(x, δx) ⇔ Y∈∆(y, δy) ;
P ( X∈∆(x, δx) ) = P ( Y∈∆(y, δy) ) ;
f
X
(x).δx = f
Y
(y).δy.
Remarque : l’égalité f
X
= f
Y
oϕ.|Jacob(ϕ)| est valable en toute dimension.
2. Les sommes.
Hypothèses.
X et Y sont des variables aléatoires absolument continues définies sur un même espace probabilisé.
f
X
, f
Y
, f
X + Y
désignent les densités de probabilités respectives de X, Y, X + Y.
f
X, Y
désigne la densité de probabilité conjointe du couple (X, Y).
a) Le cas général.
(∀z∈IR) f
X + Y
(z) =
∫
+∞
∞−
f
X,Y
(x, z – x)dx =
∫
+∞
∞−
f
X, Y
(z – y, y)dy.
Justification : f
X+Y
(z) =
∫
+∞
∞−
f
X, X + Y
(x, z)dx =
∫
+∞
∞−
f
X + Y, Y
(z, y)dy
b) Le cas d’indépendance.
Si X et Y sont indépendantes alors :
(∀z∈IR) f
X + Y
(z) =
∫
+∞
∞−
f
X
(x).f
Y
(z – x)dx =
∫
+∞
∞−
f
X
(z – y).f
Y
(y)dy.
c) Le cas des variables normales indépendantes.
Toute somme de variables normales indépendantes est normale.

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Probabilités Chapitre 9 Page 3
Exercices.
1. Y est une variable aléatoire uniforme sur ]0 ; 1] ; a∈R
+
* ; X est une variable aléatoire telle que Y = e
-aX
.
Reconnaître la loi de probabilité de X.
2. X est une variable aléatoire uniforme sur [0 ; 1]. Y = X.
Trouver la densité de probabilité de Y.
3. Y est une variable aléatoire uniforme sur [-π/2 , π/2]. X est la variable aléatoire ainsi définie : X = sin Y.
Donner la densité de probabilité, l’espérance mathématique et la variance de chacune des variables Y et X.
4. Y est une variable aléatoire uniforme sur [0 , π]. X est la variable aléatoire ainsi définie : X = cos Y.
Donner la densité de probabilité, l’espérance mathématique et la variance de chacune des variables Y et X.
5. Y est une variable aléatoire uniforme sur [0 , π/2]. X est la variable aléatoire ainsi définie : X = cos 2Y.
Donner la densité de probabilité, l’espérance mathématique et la variance de chacune des variables Y et X.
6. X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1. Y = 2X – 3.
Donner la densité de probabilité de Y, son espérance mathématique et sa variance.
7. X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre 2. Y = e
-X
.
Donner la densité de probabilité de Y, son espérance mathématique et sa variance.
8. On suppose que Y = ln X et que Y ∼ N (µ, σ
2
) (σ > 0). On dit que X obéit à la loi Log-normale de paramètres µ et σ.
Déterminer la densité de probabilité, l’espérance mathématique et la variance de Y puis de X.
9. X est une variable aléatoire uniforme sur [1 ; 9]. Y =
X+1
2
.
9.1. Tracer l’histogramme de X.
9.2. Déterminer, dans cet ordre, la fonction de répartition de X, celle de Y et la densité de probabilité de Y.
9.3. A l’aide de la formule de changement de variable, retrouver la densité de probabilité de Y.
10. X est une variable aléatoire uniforme sur [1;2]. Y =
2
X
+ 1.
10.1. Tracer l’histogramme de X (unité : 5 cm).
10.2. Déterminer la fonction de répartition de X et compléter le graphique précédent par sa courbe représentative.
10.3. Déterminer la fonction de répartition de Y puis la densité de probabilité de Y.
10.4. Retrouver la densité de probabilité de Y à partir de celle de X par la formule de changement de variable.
11. X est une variable aléatoire normale, centrée, réduite. Y = X
2
.
Exprimer la fonction de répartition de Y en fonction de celle de X.
Déduire, par dérivation, la densité de probabilité de Y.
12. X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre 2. Y = – 2 X + 5.
On rappelle que, pour tout x réel positif, P (X > x) = e
-2x
.
Déterminer dans cet ordre :
12.1. La fonction de répartition de Y.
12.2. La densité de probabilité de Y, obtenue en dérivant la fonction de répartition de Y.
12.3. La densité de probabilité de Y, obtenue à partir de celle de X par la formule de changement de variable.
13. On suppose que Y est uniforme sur
ππ
−2 ,
2
et que X lui est liée comme le montre cette figure :
X
Y
0
L
(La loi de probabilité de X est une loi de Cauchy.)
Déterminer la densité de probabilité de X. Etudier l’espérance mathématique de X.
14. Le bivecteur aléatoire (X, Y) est uniforme sur le disque {(x, y)∈IR
2
/ x
2
+ y
2
< 1}. R =
X
Y
2 2
+
.
Déterminer la densité de probabilité, l’espérance mathématique et la variance de R.

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Probabilités Chapitre 9 Page 4
15. Hypothèses.
(X, Y) est un couple absolument continu de variables aléatoires de densité de probabilité f
X, Y
.
f
X, Y
(x, y) = 2
π (1 – x
2
– y
2
) si x
2
+ y
2
< 1 ; f
X, Y
(x, y) = 0 sinon.
(R, A) est un couple absolument continu de variables aléatoires de densité de probabilité f
R, A
.
P(R ≥ 0) = 1 ; P(0 ≤ A < 2π) = 1 ; X = R cos A ; Y = R sin A.
f
R
est la densité de probabilité marginale de R.
f
A
est la densité de probabilité marginale de A.
Questions.
15.1. Déterminer f
R, A
(r, α) selon les valeurs de r et de α.
15.2. Déterminer f
R
(r) selon la valeur de r.
15.3. Déterminer f
A
(α) selon la valeur de α.
16. Hypothèses.
X et Y sont 2 variables aléatoires définies sur un même univers, absolument continues, indépendamment identiquement
distribuées. Leurs densités de probabilités respectives f
X
et f
Y
sont ainsi définies :
( ∀ x > 0 ) f
X
(x) = x.e
-x
; ( ∀ x ≤ 0 ) f
X
(x) = 0 ; ( ∀ y > 0 ) f
Y
(y) = y.e
-y
; ( ∀ y ≤ 0 ) f
Y
(y) = 0.
Z = X + Y.
Trouver la densité de probabilité de Z.
17. X, Y sont des variables aléatoires i.i.d. exponentielles de paramètre 1. Z = X – Y.
Déterminer la densité de probabilité f
Z
de Z.
18. U et V sont deux variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0,1].
X et Y sont les variables aléatoires ainsi définies : X = U + 2V + 3 ; Y = 2U + V – 1.
1) Déterminer la loi de probabilité conjointe du couple (U, V).
2) Déterminer la loi de probabilité conjointe du couple (X, Y). Illustrer graphiquement.
3) a) Calculer l’espérance mathématique de X et la variance de X. Faire de même pour Y.
b) Calculer la covariance du couple (X, Y) et son coefficient de corrélation linéaire.
c) Donner une équation de la droite de régression de Y en X et tracer cette droite sur la figure exécutée à la question 2.
19. X et Y sont deux variables aléatoires i.i.d. obéissant à une loi exponentielle de paramètre 1.
1) Donner la densité de probabilité de chacune des variables aléatoires suivantes : 2X ; – 3Y ; 2X – 3Y ; 2X – 3Y + 5.
2) Même question si X et Y sont i.i.d. uniformes sur [0,1].
3) Même question si X et Y sont i.i.d. standard-normales.
20. U et V sont deux variables aléatoires indépendamment identiquement distribuées. X = U + V ; Y = U - V.
U et V possèdent une variance.
f
U
, f
V
, f
U, V
, f
X
, f
Y
, f
X, Y
sont les densités de probabilités respectives de U, V, (U, V), X, Y, (X, Y).
a) Calculer la covariance de (X, Y). X et Y sont-elles linéairement corrélées ?
b) Dans cette question seulement, on suppose que U et V sont normales centrées réduites.
Donner, dans cet ordre, f
X
, f
Y
, f
X, Y
.
c) Dans cette question seulement, on suppose que U et V sont uniformes sur [0,1].
Prouver que le couple (X, Y) est uniforme sur un carré dont on précisera les sommets. Dessiner ce carré.
d) Dans cette question seulement, on suppose que U et V sont exponentielles de paramètre 1.
Donner, dans cet ordre, f
U
, f
V
, f
U, V
, f
X, Y
, f
X
, f
Y
.
21.1. X est une variable aléatoire normale centrée réduite. Z = X
2
.
a) Donner la densité de probabilité de X.
b) Exprimer la fonction de répartition de Z en fonction de celle de X. Déduire la densité de probabilité de Z.
21.2. Y est une variable aléatoire normale centrée réduite indépendante de X. T = Y
2
.
a) Expliquer pourquoi Z et T sont indépendantes.
b) On pose S = Z + T. Déterminer la densité de probabilité de S.
Indication : on pourra effectuer le changement de variable z = S
2 (1 – sin α) (-π/2 ≤ α ≤ π/2).
Reconnaître la loi de probabilité de S.
c) Déterminer l’espérance mathématique et la variance de Z.
21.3. On pose V = 1
2 S. Reconnaître la loi de probabilité de V.

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Probabilités Chapitre 9 Page 5
21.4. On pose R = S.
a) Déterminer la densité de probabilité de R.
b) Déterminer l’espérance mathématique de R. (On poura intégrer par parties en posant u = r et v′ = r
2
r
2
e
−
.)
c) Déterminer la variance de R.
22.1. Hypothèse valable seulement pour cette question.
R est une variable aléatoire dont la densité de probabilité f
R
est ainsi définie :
f
R
(r) = r.
2r
2
e
−
si r > 0 ; f
R
(r) = 0 sinon.
V est la variable aléatoire ainsi définie : V = R
2
.
a) Vérifier que f
R
(r) est bien une densité de probabilité.
b) Déterminer la densité de probabilité f
V
de V. La loi de probabilité de V est une loi connue.
Laquelle ? (Donner son nom et son paramètre.)
c) On admet que l’espérance mathématique de R est
2
π
. Trouver la variance de R.
22.2. Hypothèses valables seulement pour cette question.
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, normales, centrées, réduites, de densités de probabilités
respectives f
X
et f
Y
. La densité de probabilité conjointe du couple (X, Y) est f
X, Y
.
R est une variable aléatoire. Sa densité de probabilité est f
R
. ( ∀ r ≤ 0 ) f
R
(r) = 0.
A est une variable aléatoire. Sa densité de probabilité est f
A
. ( ∀ α ∈ IR – ] – π ; π] ) f
A
(α) = 0.
La densité de probabilité conjointe du couple (R, A) est f
R, A
.
X = R cos A ; Y = R sin A.
a) Déterminer chacune des densités de probabilités f
X
, f
Y
, f
X, Y
.
b) Déterminer la densité de probabilité f
R, A
.
c) Déterminer la densité de probabilité f
A
. Reconnaître la loi de probabilité de A.
Donner l’espérance mathématique de A et la variance de A.
d) Déterminer la densité de probabilité f
R
.
Donner l’espérance mathématique de R et la variance de R.
e) R et A sont-elles indépendantes ? Justifier la réponse.
23. (X, Y) est un couple de variables aléatoires de densité de probabilité ainsi définie : (∀(x, y)∈IR
2
) f
X, Y
(x, y) =
e
x y− +( )
2
2
π
.
(R, A) est le couple de variables aléatoires ainsi défini : X = R cos A ; Y = R sin A ; R ≥ 0 ; -π < A ≤ π.
23.1. a) Déterminer la densité de probabilité marginale de chacune des variables aléatoires X et Y.
b) X et Y sont-elles indépendantes ?
c) Déterminer la densité de probabilité de X – 2Y + 5.
23.2. Déterminer la densité de probabilité conjointe de (R, A).
23.3. a) Déterminer la densité de probabilité marginale de chacune des variables aléatoires R et A.
b) R et A sont-elles indépendantes ?
c) Déterminer la densité de probabilité de R + A.
24. (X, Y) est un couple de variables aléatoires dont la densité de probabilité conjointe est ainsi définie :
(∀(x, y)∈ IR
2
) f
X, Y
(x, y) =
1
1
2 2 2
π( )+ +x y
.
(R, A) est le couple de variables aléatoires ainsi défini : X = R cos A ; Y = R sin A ; R ≥ 0 ; -π < A ≤ π.
24.1. Déterminer la densité de probabilité marginale de Y (poser x = 1
2
+y tan u).
Déterminer aussi celle de X. X et Y sont-elles indépendantes ?
24.2. Déterminer la densité de probabilité conjointe de (R, A).
24.3. Déterminer la densité de probabilité marginale de R puis celle de A. R et A sont-elles indépendantes ?
24.4. On pose S = R + A. Donner la densité de probabilité de S.