Maths pour la TB1

Lycée Ozenne, Toulouse
Site d’Auzeville
Rentrée 2013
Mathématiques
pour l’entrée en classe de
TB1
Travail à imprimer et à effectuer pour la rentrée 2013.
Mathématiques à l’usage des étudiants
admis en classe préparatoire
Technologie-Biologie 1ère année
Travail à imprimer et à effectuer pour la rentrée.
Vous êtes admis en classe de TB1.
L’expérience prouve que les mathématiques sont souvent la matière qui donne le plus de difficultés
à l’étudiant de TB1. La raison principale est que les lycéens ont négligé ou peu travaillé cette matière
et ils ont en plus oublié les techniques élémentaires de calcul (tables de multiplication, calculs avec
fractions, exposants, factorisations, valeurs absolues...)
Pour faciliter la transition avec la prépa et prévenir peut-être quelques déconvenues, nous vous
demandons un sérieux travail de remise à niveau à effectuer avant la rentrée.
Profitez du répit de ces grandes vacances pour assurer les techniques élémentaires de calcul : l’addition et le produit de fractions, les inégalités, la valeur absolue, la racine carrée, les identités remarquables, la factorisation des polynômes. Toutes ces notions doivent être maîtrisées.
Revoyez aussi dans votre programme de terminale la partie analyse, c’est celle qui porte sur les
fonctions numériques (limite, dérivée, primitive, les fonctions ln, exp, puissances, du type x 7→ xα où
α est un réel, et leur propriétés.)
Il n’y a pas de statistiques cette année en cours de mathématiques, nous étudierons ensemble les
probabilités.
Voici un fascicule pour vous guider dans votre travail. Travaillez-le c’est-à-dire : apprenez les
définitions puis cherchez les exemples et les exercices. Ne vous contentez pas d’une lecture superficielle,
et ne vous arrêtez pas à la première difficulté.
Dès le début de l’année, l’acquis de cete opuscule sera utilisé et exploité en mathématiques.
Un contrôle sur les exercices 1 à 18 sera effectué à la rentrée.
De plus je vous demande de faire une fiche détaillée sur les fonctions ln et exp : définitions, dérivées,
limites, tableaux de variations, courbes.
Maintenant permettez-moi de vous souhaiter de bonnes vacances... quelque peu studieuses et j’espère vous trouver en bonne forme pour la rentrée.
J.-M. Pierre
Première partie
Notions élémentaires
I.
Identités remarquables
Ecrire les identités remarquables :
(a + b)2 =
(a − b)2 =
a2 − b2 =
Ne pas confondre (a − b)2 et a2 − b2 !
Développer :
1 (a + b)3 =
(a − b)3 =
(a − b)(a2 + ab + b2 ) =
Factoriser :
x2 − 1 =
x3 − 1 =
1 − x2 =
2 On rappelle que si un polynôme s’annule pour une valeur α, alors il est factorisable par (x − α).
Exemple : x2 − x − 2 s’annule pour x = −1, donc x2 − x − 2 = (x + 1)( ? ), la parenthèse ( ? )
est facile à trouver, c’est (x − 2).
Factoriser de cette façon x2 − 3x + 2 (on commence par chercher une valeur “évidente” qui annule
le polynôme, en envisageant 1, −1, 2, −2) et x2 − x − 6.
II.
Quantité conjuguée
√
√
√
√
√
Exemple : la quantité conjuguée de 5 + 3 est 5 − 3, la quantité conjuguée de 2 − 3 est
√
√
2 + 3. Son emploi dans les fractions permet de supprimer les signes
au dénominateur.
√
√
√
√
√
1
5− 3
5− 3
1 √
√
√ = √
√ √
√ =
= ( 5 − 3).
5−3
2
5+ 3
( 5 + 3)( 5 − 3)
√
√
√
2+ 3
2+ 3
1
√ =
√
√ =
= 2 + 3.
4−3
2− 3
(2 − 3)(2 + 3)
1
√
√ =
3 3−2 7
1
III.
Valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre réel x est la distance de x à 0, elle est notée |x|. Par exemple la
distance de −2 à 0 est 2, donc | − 2| = 2.
On remarque que | − 2| = −(−2), ce qui est vrai pour tout les réels négatifs.
A savoir :
•
•
|x| = x si x ≥ 0
On a toujours |x| ≥ 0,
•
| − x| = |x|
•
|xy| = |x||y|
x |x|
=
y |y|
•
•
•
et |x| = −x si x ≤ 0.
|x + y| ≤ |x| + |y|
Si a ≥ 0 alors on a :
donc
•
•
•
et |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
|x| = |y| ⇐⇒ (x = y
√
|x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a.
|x| > a ⇐⇒ (x > a ou
Exemple : |x| ≤ 1 ⇐⇒
x < −a).
ou x = −y)
√
√
x2 = |x| alors que ( x)2 = x. Exemple : (−3)2 =
2
|x| = x2 .
2
Deuxième partie
Equations et inéquations
du premier degré
I.
Equations de premier degré
A.
Sans paramètre
Résoudre une équation du premier degré dans R, c’est trouver toutes les valeurs réelles que peut
prendre l’inconnue x, de manière à ce que l’égalité des deux membres soit vérifiée. On détermine alors
l’ensemble des solutions de l’équation, noté en général S.
Exemple : Résoudre dans R l’équation : 3x + 4 = −2.
Cette équation donne : 3x = −6.
Cette égalité est vérifiée pour x = −2. On écrit : S = {−2}.
B.
Avec paramètre
Il peut intervenir dans une équation une lettre qui n’est pas une inconnue : il s’agit d’un paramètre,
qui peut prendre n’importe quelle valeur de R.
Il faut alors pour chaque valeur prise par ce paramètre résoudre l’équation obtenue.
Exemple 1 : Résoudre l’équation d’inconnue x : (m − 1)x + 1 = 0 où m est un réel donné.
m est un paramètre : si m = 2,
alors l’équation devient : x + 1 = 0.
si m = −1, alors l’équation devient : −2x + 1 = 0.
si m = 1,
alors l’équation devient : 0x + 1 = 0.
La résolution de l’équation doit tenir compte des différentes valeurs prises par m. Il s’agit de considérer
plusieurs cas :
{
}
−1
−1
1er cas : m ̸= 1 : l’équation admet alors une solution unique x = m−1
· Ainsi S = m−1
.
2ème cas : m = 1 : l’équation s’écrit 0x + 1 = 0 et donc n’admet pas de solution. Ainsi S = ∅
(l’ensemble vide).
Exemple 2 : Résoudre l’équation d’inconnue x : (m2 − 1)x + m + 1 = 0 où m est un réel donné.
1er cas : m ̸∈ {1; −1} (c’est-à-dire m ̸= 1 et m ̸= −1) alors m2 − 1 ̸= 0 et l’équation admet une
m+1
1
solution unique : x = − 2
=
·
m −1
1−m
{
}
1
Ainsi S = 1−m
.
2ème cas : m = 1 : l’équation s’écrit 0x + 2 = 0 et donc n’admet pas de solution. Ainsi S = ∅.
3ème cas : m = −1 : l’équation s’écrit 0x + 0 = 0. Tout nombre réel est solution. Ainsi S = R.
3 4 Exercices à chercher :
Résoudre sur R l’équation d’inconnue x : 9(2x + 7) − 4(3x + 2) = x + 42.
Soit m un réel donné, résoudre sur R l’équation d’inconnue x : m2 (x − 1) + 3m = x + 2.
3
II.
A.
Système de deux équations linéaires à deux inconnues
Méthode de substitution
Exemple : résoudre le système (E) dans R2 (l’inconnue est un couple (x, y) où x ∈ R et y ∈ R) :
{
4x + 5y = 20
(E)
2x + 3y = 12.
20 − 5y
4x + 5y = 20 s’écrit : x =
·
4
Donc le système de départ est équivalent (c’est-à-dire à la même ensemble de solutions) au système
suivant :{
x = 20−5y
4
(E1 )
On note (E) ⇐⇒ (E1 ).
(
)
2 20−5y
+ 3y = 12.
4
(
)
Or l’équation 2 20−5y
+ 3y = 12 a pour solution unique : y = 4.
4
{
D’où (E) ⇐⇒ (E1 ) ⇐⇒
y=4
x=
20−5y
4
{
⇐⇒
(10 − 52 y + 3y = 12 donne 12 y = 2 donc y = 4.)
y=4
x = 0.
L’ensemble des solutions du système (E) est {(0, 4)}. Le système admet une solution unique.
On appelle “substitution” cette méthode car nous avons calculé une inconnue (ici x) en fonction de
l’autre (y) dans une équation, puis nous l’avons substituée par la valeur obtenue dans l’autre équation.
Dans ce processus, bien montrer que l’on raisonne par systèmes équivalents. (Il faut en particulier
conserver les deux équations dans chaque système.)
B.
Méthode par combinaisons de lignes : à préférer !
Exemple : on note L1 et L2 les deux lignes du système, et on les multiplie par un coefficient.
{
×1
L1 : 4x + 5y = 20
(E)
L2 : 2x + 3y = 12.
×(−2) ̸= 0
On multiplie la première ligne par 1 et la seconde par −2 puis on ajoute les équations obtenues
membre à membre. Cette nouvelle équation va remplacer l’équation L2 du système. Il est très important
de multiplier L2 par un coefficient non-nul afin de ne pas perdre L2 et d’obtenir un système équivalent.
{ Ainsi le système (E) est équivalent au système
4x + 5y = 20
1(4x + 5y) + (−2)(2x + 3y) = 1 × 20 + (−2) × 12
Codage : L2 ← L1 − 2L2
L’inconnue x disparaît dans la seconde équation (d’ailleurs en pratique on ne l’écrit pas). Ensuite :
{
4x + 5y = 20
(E) ⇐⇒
−y = −4
{
y=4
(E) ⇐⇒
4x + 5 × 4 = 20
{
y=4
(E) ⇐⇒
x = 0.
On retrouve l’ensemble S = {(0, 4)} des solutions du système.
4
C.
Exemple avec paramètre
{
Soit m un réel donné. Résoudre le système (E) :
x + (m + 1)y = 2
(m + 1)x + 9y = 6.
Méthode 1 : par substitution.
{
x = 2 − (m + 1)y
(E) ⇐⇒
(m + 1)[2 − (m + 1)y] + 9y = 6
{
x = 2 − (m + 1)y
(E) ⇐⇒
[9 − (m + 1)2 ]y = 6 − 2(m + 1)
Or 9 − (m + 1)2 = (3 − m − 1)(3 + m + 1) = (2 − m)(4 + m) grâce à l’identité remarquable
a − b2 = (a − b)(a + b).
{
x = 2 − (m + 1)y
(E) ⇐⇒
(2 − m)(4 + m)y = 2(2 − m).
2
On discute alors suivant les valeurs du paramètre m :
Premier cas : m ̸= 2 et m ̸= −4. Alors :
{
{
2
2
y = 4+m
y = 4+m
(E) ⇐⇒
⇐⇒
6
x = 4+m
·
x = 2 − 2(m+1)
4+m
{(
6
Ainsi l’ensemble des solutions est S =
4+m ,
2
4+m
)}
, le système admet une unique solution.
Deuxième cas : m = 2. Alors :
{
x = 2 − 3y
(E) ⇐⇒
0y = 0.
Ainsi l’ensemble des solutions est l’ensemble des couples (2 − 3y, y) où y est un réel :
S = { (2 − 3y, y) | y ∈ R}, le système admet une infinité de solutions.
Troisième cas : m = −4. Alors :
{
x = 2 + 3y
(E) ⇐⇒
0y = 12.
Le système n’admet pas de solution : S = ∅.
Méthode 2 : par combinaison de lignes.
{
x + (m + 1)y = 2
×(m + 1)
(E) :
(m + 1)x + 9y = 6
Ainsi (écrire la seconde ligne) :
{
x + (m + 1)y = 2
(E) ⇐⇒
{
(E)
⇐⇒
L2 ← L2 − (m + 1)L1
x + (m + 1)y = 2
[9 − (m + 1)2 ]y = 6 − 2(m + 1)
On retrouve le système de la méthode 1.
D.
Exercices à chercher
{
5 (E1 ) :
6 Soit m un réel donné. (E2 ) :
4x + 5y = 20
x − 2y = 1.
{
x + 2(m − 1)y = 2
(m − 1)x + (m + 2)y = 3.
5
III.
A.
Inéquations du premier degré
Quelques rappels
Si on multiplie (ou divise) les deux nombres d’une inéquation par un nombre positif, le signe ≤
est inchangé.
Ainsi, si a ≤ b alors pour tout c ≥ 0, ac ≤ bc.
3 ≤ 5 donc 9 ≤ 15 (multiplication par 3 ≥ 0).
Si on multiplie (ou divise) les deux nombres d’une inéquation par un nombre négatif, le signe ≤
change de sens.
Ainsi, si a ≤ b alors pour tout c ≤ 0, ac ≥ bc.
3 ≤ 5 donc −9 ≥ −15 (multiplication par −3 ≤ 0).
Si a ≤ b alors −a ≥ −b (multiplication par −1 ≤ 0).
Si a et b sont tous les deux positifs (ou tous les deux négatifs) alors a ≤ b ⇐⇒
1
1
≥ ·
a
b
Pour déterminer le signe d’un produit (ou d’un quotient) on applique la règle des signes :
Règle des signes : Soit le produit P = xy et le quotient Q = xy pour x et y réels.
Voici les différents cas :
Signe de x Signe de y Signe de P Signe de Q
Que remarque-t-on ?
+
+
+
+
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
+
Pour tous nombres réels a, b, c, si a ≤ b alors a + c ≤ b + c.
Pour résoudre un système d’inéquations, on résout chaque inéquation séparément. L’ensemble des
solutions du système est l’intersection des ensembles de solutions de chaque inéquation.
B.
Exemples
1) Résoudre 5x + 4 ≤ 0 : cette inéquation s’écrit x ≤ − 54 .
]
]
Ainsi l’ensemble des solutions est S = −∞, − 45 .
2) Résoudre −8x + 2 ≤ 0 : cette inéquation s’écrit −8x ≤ −2, c’est-à-dire x ≥ 14 ·
Ainsi l’ensemble des solutions est S =
[1
4,
[
+∞ .
3) Résoudre 2x + 10 > 0 : cette inéquation s’écrit x > −5.
Ainsi l’ensemble des solutions est S = ]−5, +∞[.
7 4) Résoudre (m + 3)x + 4 > 0, m est un réel donné.
Premier cas : m > −3, alors m + 3 > 0. L’ensemble des solutions est S =
]
−4
m+3 ,
[
+∞ .
]
Deuxième cas : m < −3, alors m + 3 < 0. L’ensemble des solutions est S = −∞,
Troisième cas : m = −3, alors m + 3 = 0. L’ensemble des solutions est S = R.
6
−4
m+3
[
.
{
5) Résoudre le système :
5x + 4 ≤ 0
−8x + 2 ≤ 0.
]
] [
[
D’après 1) et 2) l’ensemble des solutions est −∞, − 54 ∩ 41 , +∞ = ∅.
{
6) Résoudre le système :
2x + 10 > 0
5x + 4 ≤ 0.
]
]
]
]
D’après 1) et 3) l’ensemble des solutions est −∞, − 45 ∩ ]−5, +∞[ = −5, − 45 .
7) Résoudre l’inéquation
x−2
≥ 2.
x−4
Soit D l’ensemble de définition de cette inéquation : x ∈ D ⇐⇒ x ̸= 4, donc D = R \ {4} .
x−2
L’inéquation x−4
≥ 2 s’écrit
le tableau de signes suivant :
x−2
x−4
x
− 2 ≥ 0 ou encore
−∞
Signe de −x + 6
Signe de x − 4
−
Signe du quotient
−
(x−2)−2(x−4)
x−4
≥ 0, c’est-à-dire
4
6
+
0
0
+
+
0
−x+6
x−4
≥ 0. D’où
+∞
−
−
L’ensemble des solutions de l’inéquation est donc : S = ]4, 6].
C.
Exercices
1) Résoudre 3x + 2 ≥ 5x − 1.
2) Résoudre (m + 5)x + m < 0, avec m un réel donné.
3) Résoudre
4
3
−
> 0.
x−1 x+2
(S = ]−11, −2[ ∪ ]1, +∞[)
7
Troisième partie
Equations et inéquations
du second degré
I.
Equations du second degré
A.
Rappels
On appelle équation du second degré une équation de la forme
ax2 + bx + c = 0
avec a, b, c réels et a ̸= 0. Pour résoudre une telle équation on calcule son discriminant : ∆ = b2 − 4ac.
Trois cas peuvent se présenter :
1) ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle.
2) ∆ = 0 : l’équation admet une unique solution appelée racine double, égale à x0 = −
b
·
2a
3) ∆ > 0 : l’équation admet deux solutions distinctes dites racines de l’équation :
√
√
−b − ∆
−b + ∆
et
x2 =
·
x1 =
2a
2a
Le produit des racines est P = x1 x2 =
c
b
· La somme des racines est S = x1 + x2 = − · Alors
a
a
ax2 + bx + c = a(x2 − Sx + P ) = a(x − x1 )(x − x2 ).
Exemple : Résoudre dans R l’équation : x2 + 2x − 15 = 0.
√
−2 + 8
−2 − 8
∆ = 64 et ∆ = 8, il y a deux racines distinctes x1 =
= 3 et x2 =
= −5.
2
2
Donc P = −15 et S = −2.
Remarque : le polynôme x2 + 2x − 15 se factorise sous la forme (x − 3)(x + 5).
B.
8 Exercice
Résoudre dans R l’équation 2x2 − 7x − 4 = 0. En déduire la factorisation de 2x2 − 7x − 4.
8
II.
A.
Inéquations du second degré
Signe du trinôme
ax2 + bx + c, où a ̸= 0, est appelé trinôme (ou polynôme du second degré).
1.
Méthode générale
On se propose de déterminer le signe de f (x) = ax2 + bx + c selon les valeurs de x. On utilise la
décomposition canonique de ce polynôme :
(
)
c
b
f (x) = a x2 + x +
a
a
[(
]
)2
(
)
b
b2
c
b 2
= a x+
(Développer x + 2a
pour comprendre)
− 2+
2a
4a
a
[(
]
[(
]
)2
)2
b2 − 4ac
∆
b
b
= a x+
−
= a x+
− 2 ·
2a
4a2
2a
4a
[(
x+
]
)
b 2
∆
− 4a
> 0 donc f (x) a le signe de a.
2
2a
b
b
= 0, pour x ̸= − 2a alors f (x) est du signe de a et pour x = − 2a
f (x) = 0.
> 0, f (x) a deux racines distinctes x1 et x2 , on a f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
– Si ∆ < 0 alors
– Si ∆
– Si ∆
x1 < x2 .
x
Signe de x − x1
−∞
x2
0
+
−
0
−
Signe de x − x2
Signe de f (x)
x1
Signe de a
0 Signe de (−a) 0
On suppose
+∞
+
Signe de a
Retenir le théorème suivant :
Théorème (signe du trinôme) : f (x) = ax2 + bx + c avec a ̸= 0.
– Si ∆ < 0, f (x) a le signe de a.
– Si ∆ = 0, f (x) s’annule pour la racine double x0 et est du signe de a pour x ̸= x0 .
– Si ∆ > 0, f (x) a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe de (−a) entre les racines.
2.
Application 1
Quel est le signe de f (x) = x2 + 2x − 15 suivant les valeurs de x ?
Calcul du disciminant : ∆ = 64. Les racines de l’équation f (x) = 0 sont −5 et 3. Or −5 < 3 et
a = 1 > 0 donc f (x) > 0 signifie que f (x) est du signe de a.
Donc :
f (x) > 0 si et seulement si x est à l’extérieur des racines, c’est-à-dire x ∈ ]−∞, −5[ ∪ ]3, +∞[.
f (x) < 0 si et seulement si x est à l’intérieur des racines, c’est-à-dire x ∈ ]−5, 3[.
f (x) = 0 si et seulement si x ∈ {−5, 3}.
3.
Application 2
Etudier le signe de f (x) = −x2 + 4x − 10 :
Calcul du discriminant : ∆ = −24 < 0. Donc l’équation f (x) = 0 n’a pas de racine réelle.
Ainsi pour tout x réel, f (x) a le signe de a = −1, c’est-à-dire f (x) < 0 pour tout x réel.
9
B.
Inéquations du second degré
C’est une équation du type ax2 + bx + c ≤ 0 (ou ≥ 0, ou < 0, ou > 0), avec a ̸= 0.
x−2
x−1
Exemple : Résoudre l’équation (E) :
≤
·
2x − 2
x−5
Il ne s’agit pas d’une inéquation du second degré, cependant lors de la résolution nous serons amenés
à étudier le signe de polynômes du second degré.
– L’ensemble de définition de l’inéquation est D = R − {1, 5}.
– Pour tout x de D on a
(E)
⇐⇒
x−1
x−2
−
≤0
2x − 2 x − 5
(E)
⇐⇒
(x − 2)(x − 5) − (x − 1)(2x − 2)
≤0
(2x − 2)(x − 5)
(E)
⇐⇒
−x2 − 3x + 8
≤ 0.
2(x − 1)(x − 5)
– Etude du numérateur : ∆ = 41. Les racines de −x2 − 3x + 8 sont x1 =
√
x2 = −3+2 41 ≃ 1, 7.
– On peut ainsi dresser le tableau de signes suivant :
x
Signe de −x2 − 3x + 8
−∞
−
Signe de 2(x − 1)(x − 5)
Signe de
−x2 −3x+8
2(x−1)(x−5)
−
√
−3− 41
2
x1
1
x2
5
0
+
0
−
+
0
−
0
0
−
+
0
+
≃ −4, 7 et
+∞
+
−
x−2
x−1
≤
signifie que x ∈ ]−∞, x1 ] ∪ ]1, x2 ] ∪ ]5, +∞[.
2x − 2
x−5
D’où l’ensemble des solutions de l’inéquation (E) est S = ]−∞, x1 ] ∪ ]1, x2 ] ∪ ]5, +∞[.
– Nous lisons dans le tableau que
C.
Exercice
Résoudre (x2 − 6x − 7)2 − 9(x2 − 4x + 3)2 < 0.
Indication : Le membre de gauche se factorise en tant que différence de deux carrés.
]
[
√ [ ]
√
9 − 73
9 + 73
Réponse : S = −∞,
∪
, +∞ .
4
4
10
III.
A.
Equations et inéquations avec des radicaux
Rappels
1) La fonction x 7→ x2 est strictement croissante sur R+ (et non sur R− ), donc
Si a et b sont positifs alors :
a ≤ b ⇐⇒ a2 ≤ b2 .
Exemple : Donner une contre-exemple où a et b ne sont pas positifs tous les deux.
2) La fonction racine carrée n’est définie que sur R+ . Ainsi
Si
√
f (x) existe si et seulement si f (x) ≥ 0.
√
√
f (x) existe alors f (x) ≥ 0.
Pour tout x réel,
√
√
x2 existe, et x2 = |x|.
√
A quelle condition ( x)2 existe-t-il ? A quoi est-il égal alors ?
3) L’inégalité
√
a ≤ b est définie si et seulement si a ≥ 0.
Alors on a l’équivalence :
De même :
√
√
a ≤ b ⇐⇒ (a ≤ b2 et b ≥ 0).
a > b ⇐⇒
√
a = b ⇐⇒
B.
Exemples
1) Résoudre l’inéquation 3 <
√
x + 4 dans R.
Soit D l’ensemble de définition de cette inéquation : x ∈ D ⇐⇒ x + 4 ≥ 0, d’où D = [−4, +∞[.
De plus, 3 est positif donc 3 <
√
x + 4 ⇐⇒ 9 < x + 4 ⇐⇒ 5 < x.
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation est : ]5, +∞[.
2) Résoudre l’inéquation −5 <
√
x − 1 dans R.
Soit D l’ensemble de définition de cette inéquation : x ∈ D ⇐⇒ x − 1 ≥ 0, d’où D = [1, +∞[.
Comme −5 est négatif et une racine est toujours positive, alors l’ensemble des solutions de l’inéquation est D.
3) Résoudre l’inéquation 3 − 2x <
√
x + 4 dans R.
L’ensemble de définition D de cette inéquation est : D = [−4, +∞[.
D’après A.3 on a pour tout x de D :
√
3 − 2x < x + 4 ⇐⇒
{
ou
3 − 2x < 0
(3 − 2x)2 < x + 4
2
2
Résolvons l’équation du second degré
√ : (3 − 2x) < x + 4 ⇐⇒√4x − 13x + 5 < 0.
13 + 89
13 − 89
≃ 0, 45 et x2 =
≃ 2, 80.
∆ = 89, les racines sont x1 =
8
8
2
Donc (3 − 2x) < x + 4 ⇐⇒ x ∈ ]x1 , x2 [.
11
Ainsi, pour tout x de D :
√
3 − 2x < x + 4 ⇐⇒
{
x > 32
x ∈ ]x1 , x2 [.
ou
Récapitulons ces résultats dans un tableau :
−∞
x
L’inéquation
−4
non
est vérifiée
3
2
x1
non
non
x2
oui
+∞
oui
non
oui
L’ensemble des solutions est S = ]x1 , +∞[.
Remarque : Ne mettre dans le tableau et dans l’ensemble des solutions que les valeurs exactes x1 ,
x2 , c’est-à-dire non approchées. Donner à part les valeurs approchées : x1 ≃ 0, 45, x2 ≃ 2, 80.
C.
Exercices
Résoudre les inéquations suivantes : (l’ensemble des solutions est donné pour vérification.)
[
] √
√
1) 2 − x < x + 1
S = 5−2 13 , +∞ .
4) x2 ≤ 1
S = [−1, 1].
2) 3 +
3) x +
D.
√
x−2<
√
x+5
√
x2 − 5x + 4 < 2
S = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[.
5) x2 > 1
S = ∅.
S = ]0, 1].
Autres exercices
1) Résoudre les équations : (sans calculer de discriminant !)
(a) x2 − 3x = 0
(b) x2 −
1
2
=0
2) Etudier le signe de 3x2 − 6x + 3.
Première méthode : calculer aveuglément ∆ et conclure.
Seconde et meilleure méthode : Factoriser par 3 et reconnaître une identité remarquable.
3) Soit f : x 7→
√
√
x2 − 1 et g : x 7→ 1 − x2 . Déterminer les ensembles de définition de f et de g.
4) Démontrer que : ∀x ∈ R
| − x| = |x| (à savoir !)
12
et
− |x| ≤ x ≤ |x|.
Série d’exercices : calculs numériques
9 10 Exercice 1 : Simplifier les expresssions suivantes (garder au plus un radical) :
√
√
√
√
√
√
√
√
A = 16 + 9
B = 49 − 25
C = 54 − 24 + 150
D = 12 + 27 − 5 3.
Exercice 2 : Simplifier les nombres réels suivants (avoir un dénominateur entier) :
√
√
5
3
3
14
1
1
√ −√
√
A= √
B = −√
C=√
D= √
+√
(voir page 1).
6
7
5− 3
5+ 3
3+1
3−1
√
√
√
√
7 − 2 10 et B = 2 − 5 (calculer leurs carrés).
( )5
1
3
Exercice 4 : 1) Ecrire sous forme d’un entier : A = 2(2 )
B = (−5)2 × (−23 )
C=
× 94 .
3
2) Ecrire sous la forme am × bn × cp , où a, b, c, m, n, p sont des entiers :
Exercice 3 : Comparer les nombres réels A =
D=
352 × 610
142 × 155
E=
(−2)5 × (−5)9 × 93
·
12 × 52 × 305
Exercice 5 : Ecrire l’intervalle X dans chacun des cas suivants :
[
] ]
]
5 1
1 2
(a) X = ]−∞, 5] ∩ ]−2, 7]
(b) X = − ,
∪ − ,
3 2
2 3
[−5, 2[ ∩ X = [−4, 1]
(c)
(d) ]5, 7] ∪ X = ]−1, 9[.
Exercice 6 : Résoudre dans R les inéquations suivantes :
(a) 2x + 5 ≤ 7
11 12 (b) 3x + 6 > 7x − 2
x+3
2x + 5
≤
2
3
(c)
(d) 1 −
x+1
2x − 1
<2+
·
2
3
Exercice 7 : Résoudre dans R les inéquations suivantes :
(a) (x + 5)(x − 2) ≤ 0
(b) x2 + x > 0
(e) 5 − x2 ≥ 0
(f)
(c) x2 ≤ 25 (∗)
4−x
≤ −1
7+x
(g)
(d)
2x − 1
<1
x+2
5 − 2x
≤ 0.
4 − 3x
Exercice 8 : Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
(b) |x| = 0
(c) |x| = −4
(d) |x − 2| = 3
(e) |x + 3| = 1
(f) |2x| = 4
(h) |x| ≥ 1
(i) |x| > 4
(j) |x + 2| ≥ 3
(g) |x| ≤ 3
(k) x − 32 ≤
(a) |x| =
7
2
1
4
(l)
|x + 1| <
1
1000 ·
Exercice 9 : Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
(a) |2x + 1| = 3
(b) |x| + |x − 3| = −1
(c) |3x − 7| = 7
(d) |2x| + |x + 1| = 0
(e) |x + 2| = |x − 3|
(f) |3x + 1| = |x − 5|.
(∗) Remarquer (et justifier) que : x2 ≤ 25 ⇐⇒ |x| ≤ 5.
13
Exercice 10 :
a+
d
b
c
1
2
1 1
+ =
a b
Compléter :
3
n2 + 3n + 1
=
n2
2+
3n × 3n =
Factoriser :
3n × 2n =
(−1)n =
√
2
√ =
2
2
=
2
n2n−1 + n(n − 1)2n−2 .
√
x
=
x
x
Si x > 0, √ =
x
(√
√ )2
6+ 2
=
Développer :
4
x 2
=
←factoriser
1 + √xx2 +1
√
Simplifier :
=
x + x2 + 1
n2
(√ )20
Compléter :
2
=
e
1
1 1
̸= + ·
a+b
a b
3a × 3b =
1 − n2 + 1 − n
Comparer : 2 , (2 ) , 2 .
)
−x 2
=
e2n − en =
n(n + 1)
+n+1
2
n 2
1
1
2 × 8
1
1
1
8 + 2 × 13
Attention :
2 × 3n =
2n
2n
=
2
=
n2
=
+ 3n + 1
√ )2
3 =
(
×
1
2
n2
an−1 × a =
(
2
3
2x
√
=
2 + 4x2
=
(n ̸= 0)
1
=
(e ) =


−(−1)n =

1
=
(−1)n
(−1)n × (−1)n =
(−x)n =
[
]
xn
Résultats des exercices de calculs numériques
√
B=2 6
Exercice 1 : A = 5
√
Exercice 2 : A =
6
2
√
B = −2 7
√
C=6 6
D = 0.
√
D = 3.
C=4
Exercice 3 : A2 = B 2 , A est positif et B est négatif donc B = −A.
B = −200
Exercice 4 : 1) A = 256
2) D = 28 ×35 ×5(−3)
C = 27
Exercice 5 : X = (a) ]−2, 5]
(b) ]−∞, −1] ∪ ]0, +∞[
Exercice 6 : S = (a) ]−∞, 1]
(b) ]−∞, 2[
(c) [−1, +∞[
(b) ]−∞, −1[ ∪ ]0, +∞[
(c) [−5, 5]
]
]
(g) 43 , 52 .
Exercice 7 : S =
(a) [−5, 2]
[ √ √ ]
(e) − 5, 5
(f) ]−∞, −7[
Exercice 8 : S =
}
{
(a) − 27 , 72
(e) {−4, −2}
(b) {0}
(c) [−4, 1]
(i) ]−∞, −4[ ∪ ]4, +∞[
(j) ]−∞, −5] ∪ [1, +∞[
{
}
Exercice 9 : S = (a) {−2, 1} (b) ∅ (c) 0, 14
3
14
(d) ]−1, 9[.
(d) ]−1, +∞[.
(d) ]−2, 3[
(c) ∅
(f) {2, −2}
E = 2(−2) ×5(−2) .
(g) [−3, 3]
[ 5 11 ]
(k) 12
, 12
{ }
(d) ∅ (e) 12
(d) {−1, 5}
(h) ]−∞, −1] ∪ [1, +∞[
]
[
999
(l) − 1001
1000 , − 1000
(f) {−3, 1}.
Quatrième partie
Fonctions numériques
d’une variable réelle
I.
Définitions
On désigne par R l’ensemble des nombres réels, c’est-à-dire l’ensemble des nombres que vous connaissez : 5 ; 10−2 ; −8 ; 3, 124 ; 31 ; π ; etc...
Soit D une partie de R.
À tout réel x de D on associe un réel y : on dit qu’on a défini une fonction f .
On pose : f (x) = y.
L’ensemble D est appelé ensemble de définition de f ou domaine de définition de f .
f:D→R
Notation à connaître !
x 7→ y = f (x).
La première ligne rend compte du fait que f nous fait passer de D à R.
La seconde ligne signifie qu’à un réel x de D on associe l’élément y de R.
On note
II.
A.
Exemples
Premier exemple : f : x 7→ x + 1
À tout réel x, on peut associer le réel y = x + 1. Donc l’ensemble de définition de f est R. On note
f:R→R
x 7→ x + 1.
Tableau de quelques valeurs prises par la fonction f :
x
-2 0 1 2
y = f (x) -1 1 2 3
Courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un répère (0;⃗ı; ⃗ȷ).
y
3
y = f (x)
2
1
⃗ȷ
−4
−3
−2
0 ⃗ı
−1
1
2
3
4
x
−1
−2
Cette courbe est la droite d’équation y = x + 1. On dit que la fonction f est une fonction affine.
Définition : Toute fonction définie sur R à valeurs dans R dont le graphe est une droite est une
fonction affine. L’écriture générale de ces fonctions est : x 7→ ax + b avec a, b réels.
15
B.
Second exemple : f : x 7→
2
x−1
2
À tout réel x ̸= 1, on peut associer le réel x−1
. Le dénominateur d’un quotient ne doit pas s’annuler.
Donc le domaine de définition de f est R \ {1} = R − {1} = ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[.
Tableau de quelques valeurs prises par la fonction f :
x
y = f (x)
-2
- 23
-1
-1
0
-2
2
2
3
1
Courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un répère (0;⃗ı; ⃗ȷ).
y
4
3
2
y = f (x)
1
⃗ȷ
−5
−4
−3
−2
0 ⃗ı
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
Il s’agit d’un graphe avec des branches infinies, que l’on étudiera plus tard.
C.
Exercices
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
f1 : x 7→ 3x
13 f5 : x 7→
2x + 1
3x + 2
f2 : x 7→ 4x + 5
√
2x + 1
f6 : x 7→
3x + 2
f3 : x 7→
f7 : x 7→
√
x
√
f4 : x 7→
|x2 − 1|.
[
{ } ]
[ ]
Réponses : R, R, R+ = [0, +∞[, [2, +∞[, R \ − 23 , −∞, − 23 ∪ − 12 , +∞ , R.
16
√
x−2
III.
A.
Opérations sur les fonctions
Somme, multiplication par un réel, produit
On considère deux fonctions numériques f et g définies sur un domaine D de R, et un réel λ. On
définit :
1. La fonction (f + g) somme des fonctions f et g.
f + g : D −→ R
x 7−→ (f + g)(x) = f (x) + g(x).
2. La fonction (λ · f ) multiplication de la fonction f par le réel λ.
λ · f : D −→ R
x 7−→ (λ · f )(x) = λ × f (x).
3. La fonction (f × g) produit des fonctions f et g.
f × g : D −→ R
x 7−→ (f × g)(x) = f (x) × g(x).
B.
Composée
On considère deux fonctions f : D → R et g : D′ → R telles que f ⟨D⟩ ⊆ D′ , c’est-à-dire : pour
tout réel x de D, f (x) appartient à D′ .
On définit alors la composée de g et f , notée g ◦ f .
g ◦ f : D −→ R
x 7−→ (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
C.
Exemples
Dans chacun des cas suivants, définir la somme f + g, le produit f × g, les composées f ◦ g et g ◦ f
(si elles existent).
1)
f : R −→ R
x 7−→ 3x
g : R −→ R
x 7−→ 4x + 5.
2)
f : R+ −→ R
√
x 7−→ x
g : R −→ R+
x 7−→ x2 .
3)
f : R∗ −→ R
1
x 7−→
x
g : R −→ R
x 7−→ 2x + 1.
17
IV.
A.
Parité
Fonction paire
Soit f une fonction définie sur un sous-ensemble D de R.
Alors f est une fonction paire si pour tout réel x de D : −x ∈ D et f (−x) = f (x).
1
·
x2 − 1
Le domaine de définition de f est D = R − {−1; 1}. On constate que pour tout réel x de D on a
bien −x ∈ D (car si x ̸= ±1 alors −x ̸= ±1), et f (−x) = (−x)12 −1 = x21−1 = f (x).
Exemple : f : x 7→
La fonction f est donc paire.
B.
Fonction impaire
Soit f une fonction définie sur un sous-ensemble D de R.
Alors f est une fonction impaire si pour tout réel x de D : −x ∈ D et f (−x) = −f (x).
Exemple : f : x 7→ 2x·
Le domaine de définition de f est D = R. On constate que pour tout réel x de D on a bien −x ∈ R,
et f (−x) = 2(−x) = −2x = −f (x).
La fonction f est donc impaire.
C.
Exercices
Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou ne présentent aucune parité (ce qui
signifie qu’elles ne sont ni paires ni impaires).
f1 : x 7→ 3x2
f2 : x 7→
1
x
f3 : x 7→
2
x−1
f4 : x 7→
√
x2 − 1
Réponse : paire, impaire, sans parité, paire.
D.
Conséquences pour le graphe
Le graphe d’une fonction paire admet l’axe (Oy) comme axe de symétrie. Les points M de coordonnées (x, f (x)) et M ′ de coordonnées (−x, f (−x)) sont symétriques par rapport à cet axe.
y
M (−x; f (−x))
f (−x) = f (x)
M (x; f (x))
⃗ȷ
−x
0
18
⃗ı
x
x
Le graphe d’une fonction impaire admet le point O comme centre de symétrie. Les points M de
coordonnées (x, f (x)) et M ′ de coordonnées (−x, f (−x)) sont symétriques par rapport à ce point.
y
M (−x; f (−x))
f (−x) = −f (x)
⃗ȷ
x
−x
0
⃗ı
f (x)
V.
A.
x
M (x; f (x))
Sens de variation d’une fonction
Fonction croissante
Soit f une fonction définie sur un sous-ensemble D de R. Alors f est croissante sur D si et seulement
si pour tous réels x1 et x2 de D, si x1 < x2 alors f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Exemple : f : x 7→ x + 1.
Le domaine de définition de f est D = R. f est une fonction croissante sur R car pour tous réels
x1 et x2 de D, si x1 < x2 alors x1 + 1 ≤ x2 + 1, donc f (x1 ) ≤ f (x2 ).
y
y = f (x) = x + 1
f (x2 )
f (x1 )
⃗ȷ
0
⃗ı
x1
x2
19
x
B.
Fonction décroissante
Soit f une fonction définie sur un sous-ensemble D de R. Alors f est décroissante sur D si et
seulement si pour tous réels x1 et x2 de D, si x1 < x2 alors f (x1 ) ≥ f (x2 ).
1
Exemple : f : x 7→ ·
x
Le domaine de définition de f est D = R∗ .
f est une décroissante sur ]−∞, 0[ et f est décroissante sur ]0, +∞[.
1
1
≥
, c’est-à-dire f (x1 ) ≥ f (x2 ).
En effet, si x1 < x2 < 0 alors 0 ≥
x1
x2
1
1
Et si 0 < x1 < x2 alors
≥
≥ 0, c’est-à-dire f (x1 ) ≥ f (x2 ).
x1
x2
1
1
≤ .
Attention : f n’est pas décroissante sur R∗ . Par exemple −3 < 2 et
−3
2
Exercice : Déterminer les intervalles sur lesquels les fonctions suivantes sont croissantes ou décroissantes.
14 f1 : x 7→ 3x + 1
f2 : x 7→ x2
f3 : x 7→
1
2x + 3
f4 : x 7→
√
x+1
f5 : x 7→
√
x2 + 1.
Réponses :
f1 est croissante sur R.
f2 est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
[
]
[
]
f3 est décroissante sur −∞, − 32 et décroissante sur − 32 , +∞ .
f4 est croissante sur ]−1, +∞[.
f5 est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
VI.
A.
Extremum d’une fonction
Maximum
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ de R. Soit x0 ∈ ]a, b[.
Alors f admet un maximum en x0 si pour tout réel x de ]a, b[ on a f (x) ≤ f (x0 ). Graphiquement
on a une situation comme la suivante :
y
f (x0 )
y = f (x)
0
a
x0
20
b
x
B.
Minimum
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ de R. Soit x0 ∈ ]a, b[.
Alors f admet un minimum en x0 si pour tout réel x de ]a, b[ on a f (x) ≥ f (x0 ). Graphiquement
on a une situation comme la suivante :
y
y = f (x)
f (x0 )
0
a
x0
b
x
Exercice : Démontrer que la fonction f : x 7→ x2 + x + 1 admet un extremum au point x0 = − 12 .
)2
(
(Indication : remarquer que x2 + x + 1 = x + 12 + 34 .)
21
Cinquième partie
Limites
de fonctions numériques
I.
Limites
Cette notion sera étudiée dans le cours. L’essentiel de ce qu’il faut savoir dès maintenant est résumé
dans les cas présentés ci-dessous.
Exemple 1. Soit f : x 7→
2
·.
x−1
y
y = f (x)
⃗ȷ
0
x
⃗ı
– On constate que lorsque x tend vers +∞, f (x) admet pour limite zéro. On note : lim f (x) = 0.
x→+∞
– De même, lorsque x tend vers −∞, f (x) admet pour limite zéro. On note : lim f (x) = 0.
x→−∞
Dans ces deux derniers cas, l’axe (Ox) est asymptote à la courbe (en +∞ et en −∞).
– Lorsque x est très proche de 1 mais supérieur à 1, f (x) devient très grand. On dit que lorsque x
tend vers 1 à droite, f (x) admet pour limite +∞. On note : x→1
lim f (x) = +∞.
x>1
– Lorsque x tend vers 1 à gauche, f (x) admet pour limite −∞. On note : x→1
lim f (x) = −∞.
x<1
Dans ces deux derniers cas, la droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe en 1.
22
Exemple 2. Supposons qu’une fonction ait le graphe suivant :
y
2
y = f (x)
1
⃗ȷ
x
⃗ı
−1
On constate que lorsque x tend vers +∞, f (x) admet pour limite 2. On note : lim f (x) = 2. La
x→+∞
droite d’équation y = 2 est asymptote à la courbe en +∞.
De même, lorsque x tend vers −∞, f (x) admet pour limite −1. On note :
droite d’équation y = −1 est asymptote à la courbe en −∞.
lim f (x) = −1. La
x→−∞
Exemple 3. Supposons qu’une fonction ait le graphe suivant :
y
y = f (x)
3
2
1
⃗ȷ
0
⃗ı
1
2
3
4
5
x
Cette fonction n’est pas définie en 3. Mais x→3
lim f (x) = 3 et x→3
lim f (x) = 1. On dit que f admet une
x>3
x<3
limite à droite en 3 et une limite à gauche en 3. Comme ces deux limites ne sont pas égales, alors f
n’admet pas de limite en 3 : lim f (x) n’existe pas.
x→3
II.
1.
Théorèmes sur les limites
Si f admet une limite en x0 alors cette limite est unique.
2. On considère deux fonctions f et g, puis ℓ et ℓ′ deux réels. Si lim f (x) = ℓ et lim g(x) = ℓ′ , alors
x→x0
lim [f (x) + g(x)] = ℓ + ℓ′
(somme)
lim [f (x) × g(x)] = ℓ × ℓ′
(produit)
lim λf (x) = λℓ
(multiplication par un réel)
x→x0
x→x0
Pour tout réel λ
Si ℓ′ ̸= 0
x→x0
lim
x→x0
f (x)
ℓ
= ′
g(x)
ℓ
(Quotient)
23
x→x0
3. Les tableaux de la page suivante récapitulent les résultats lorsque les limites sont infinies ou nulles.
On remarque que dans certains cas il n’y a pas de résultat général, ce sont des formes indéterminées.
Une limite peut toutefois exister, mais elle sera déterminée par une autre méthode.
Ces tableaux ne sont pas à retenir par cœur mais il faut savoir les retrouver. Entraînez-vous !
Remarque : En résumé, il y a 4 formes indéterminées :
∞−∞
4.
∞
∞
∞×0
et
0
·
0
Deux résultats intéressants à retenir.
Corollaire 1 : Lorsque x tend vers +∞ (ou −∞), la limite d’un polynôme est la limite de son terme
de plus haut degré.
Corollaire 2 : Lorsque x tend vers +∞ (ou −∞), la limite d’une fonction rationnelle (un quotient
de polynômes) est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
Exemples :
1) f (x) = 3x3 + 5x2 − x + 1. f est un polynôme, donc
lim f (x) = lim 3x3 = +∞
x→+∞
2) f (x) =
et
lim f (x) = lim 3x3 = −∞.
x→−∞
x→−∞
4x2 − 2x + 1
· f est une fonction rationnelle, donc
x3 − 2
4x2
4
= lim
=0
x→+∞ x3
x→+∞ x
lim f (x) = lim
x→+∞
x→+∞
et
24
4x2
4
= lim
= 0.
x→−∞ x3
x→−∞ x
lim f (x) = lim
x→−∞
Opérations et limites
Somme :
Produit :
Quotient :
lim f
lim g
lim(f + g)
ℓ
ℓ′
ℓ + ℓ′
ℓ
+∞
+∞
ℓ
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
−∞
pas de théorème général
lim f
lim g
lim(f g)
ℓ
ℓ′
ℓℓ′
ℓ ̸= 0
∞
∞
Règle des signes
∞
∞
∞
Idem
0
∞
pas de théorème général
lim f
lim g
lim
ℓ
ℓ′ ̸= 0
∞
ℓ
ℓ′
0
∞
ℓ ̸= 0
∞
Règle des signes
ℓ ̸= 0
0
∞
Idem
0
∞
0
+∞
0+
+∞
+∞
−
0
−∞
−∞
0+
−∞
−∞
−
+∞
ℓ
′
0
FI : ∞ − ∞
FI : ∞ × 0
f
g
∞
∞
pas de théorème général
FI :
∞
∞
0
0
pas de théorème général
FI :
0
0
25
Sixième partie
Dérivée
d’une fonction numérique
I.
Définitions
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ]a, b[ de R (a, b, réels tels que a < b).
On note C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, ⃗ı, ⃗ȷ).
Soit x0 un réel de ]a, b[. On note M0 le point du plan de coordonnées (x0 , f (x0 )). Pour tout réel x de
]a, b[ distinct de x0 on note M le point du plan de coordonnées (x, f (x)).
y
∆
M
f (x)
y = f (x)
(M0 M )
f (x0 )
0
M0
a x0
x
b
x
f (x) − f (x0 )
·
x − x0
Lorsque x se rapproche de x0 , le point M se rapproche du point M0 , et la droite (M0 M ) a une
position “limite”, celle de la tangente ∆ en M0 à C. Le coefficient directeur de cette tangente ∆
est la limite du coefficient directeur de la droite (M0 M ) lorsque x se rapproche de x0 , c’est-à-dire
f (x) − f (x0 )
lim
·
x→x0
x − x0
x̸=x0
Le coefficient directeur de la droite (M0 M ) est égal à
Par définition, le nombre dérivé de la fonction f au point x0 est le coefficient directeur de la tangente
∆ à C en x0 . On le note f ′ (x0 ). Ainsi on a
15 f ′ (x0 ) = x→x
lim
0
x̸=x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
à apprendre.
Lorsque cette limite existe dans R on dit que f est dérivable en x0 . Dans ce cas l’équation de la
tangente ∆ en M0 à C est
16 ∆:
y − f (x0 ) = (x − x0 )f ′ (x0 )
à savoir.
Nous n’étudions dans ce chapitre que les fonctions dérivables sur ]a, b[, c’est-à-dire dérivables en
tout réel x0 de ]a, b[.
On définit ainsi une nouvelle fonction, la fonction dérivée de f , notée f ′ :
f ′ : ]a, b[ −→ R
x 7−→ f ′ (x).
26
II.
A.
Calcul de la fonction dérivée
Exemple 1.
Soit a un réel donné et f : x 7→ ax. Alors f est une fonction définie sur R.
f (x) − f (x0 )
lorsque x tend vers x0 .
Soit x0 un réel de R. Etudions la limite de
x − x0
f (x) − f (x0 )
ax − ax0
Pour tout x différent de x0 on a
=
= a, donc
x − x0
x − x0
f (x) − f (x0 )
lim
= lim a = a,
x→x0
x→x0
x − x0
x̸=x0
et ainsi f ′ (x0 ) = a.
La fonction dérivée de f est la fonction constante définie sur R par f ′ : x 7→ a.
B.
Exemple 2.
Soit f : x 7→ x2 . Alors f est une fonction définie sur R. Pour tout x0 dans R, et pour tout x
différent de x0 on a
f (x) − f (x0 )
x2 − x20
(x − x0 )(x + x0 )
=
=
= x + x0 .
x − x0
x − x0
x − x0
Donc f ′ (x0 ) = lim (x + x0 ) = 2x0 .
x7→x0
La fonction dérivée de f est la fonction définie sur R par f ′ : x 7→ 2x.
C.
Dérivées de quelques fonctions usuelles
En appliquant le même raisonnement que précédemment, et en notant a un réel quelconque fixé,
et n est un entier naturel, on démontre que l’on a les dérivées suivantes :
D.
f
x 7→ a
x 7→ xn
définie sur
R
R
R∗
∗
dérivable sur
R
R
f′
x 7→ 0
x 7→ nxn−1
x 7→
1
x
x 7→
R
x 7→ −
1
x2
√
x 7→ ln x
x 7→ ex
R+
R∗+
R
R∗+
R∗+
R
x
1
x 7→ √
2 x
x 7→
1
x
x 7→ ex
Théorèmes sur les dérivées
Théorème 1 : Soit u et v deux fonctions numériques dérivables sur un intervalle ]a, b[. Soit λ un
u
réel. Alors les fonctions u + v, λu, u × v, et (si v ne s’annule pas sur ]a, b[) sont dérivables que ]a, b[,
v
et pour tout réel x de ]a, b[ on a
(u + v)′ (x) = u′ (x) + v ′ (x)
(λu)′ (x) = λu′ (x)
(uv)′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x)
( u )′
v
(x) =
Remarque : Ces formules peuvent se retenir sans les x.
27
u′ (x)v(x) − u(x)v ′ (x)
·
v 2 (x)
Théorème 2 : (dérivée d’une fonction composée) Si f est une fonction dérivable en x et g est une
fonction dérivable en f (x), alors g ◦ f est dérivable en x, et
(g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x)) × f ′ (x).
Exemple : Soit f : x 7→ x2 et g : y 7→ ey . Leur composée est (g ◦ f )(x) = ex . Comme f ′ (x) = 2x et
2
′
g (y) = ey , alors (g ◦ f )′ (x) = 2xex .
2
17 Exercice : Calculer la dérivée de x 7→ e1/x .
Conséquences : Soit f une fonction définie sur R, et a et b deux réels.
Alors la fonction g : x 7→ f (ax + b) est dérivable sur R, et pour tout x ∈ R on a
g ′ (x) = a × f ′ (ax + b).
On a aussi les cas particuliers suivants, où u est une fonction :
( )′
u′
1
=− 2
u
u
III.
√
u′
( u)′ = √
2 u
(ln u)′ =
u′
u
(eu )′ = u′ eu .
Exercices
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1) f (x) = 3x2 + 2x − 3
2) f (x) = −x2 + 4x + 5
3) f (x) = (x + 1)(2x + 3)
4) f (x) =
2
x−3
5) f (x) =
x+1
2x + 3
2x2 − 11x + 9
x2 + 5x + 1
√
7) f (x) = 5x + 3
6) f (x) =
8) Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x0 = 1 à la courbe représentative
de la fonction f : x 7→ 2x2 + x + 1 ? Donner une équation de cette tangente.
Réponses : f ′ (x) = 6x + 2, −2x + 4, 4x + 5, −
2
1
21x2 − 14x − 56
5
,
,
, √
2
2
(x − 3) (2x + 3)
(x2 + 5x + 1)2 2 5x + 3
3
pour x > − . Pour la dernière question, le coefficient directeur est f ′ (1) = 5, la tangente admet pour
5
équation y = 5x − 1.
28
Septième partie
Primitives
d’une fonction numérique
I.
Définition
Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction numérique définie sur I. On appelle primitive de f
sur I toute fonction numérique F définie sur I, dérivable sur I, de dérivée f . C’est-à-dire que pour
tout réel x de I on a F ′ (x) = f (x).
II.
Propriétés
A. Si f admet une primitive sur l’intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G
définies sur I par G(x) = F (x) + c (avec c une constante réelle).
B. Si f est dérivable sur I alors f admet des primitives sur I.
C. Soient f et g deux fonctions définies sur I admettant comme primitives respectives F et G. Soit
λ un réel. Alors
– Une primitive de f + g est F + G.
– Une primitive de λf et λF .
D. Soit u une fonction dérivable sur I. Alors
1
un+1 (n est un entier naturel).
– Une primitive de u′ × un est
n+1
u′
1
– Une primitive de 2 est − (en supposant que u ne s’annule pas sur I).
u
u
u′
est ln |u| (en supposant que u ne s’annule pas sur I).
– Une primitive de
u
III.
Primitives usuelles
On note I un intervalle, a un réel fixé, et n est un entier naturel. On a alors les primitives suivantes :
f :I→R
F :I→R
IV.
R→R
R→R
R→R
x 7→ a
x 7→ x
x 7→ x
x 7→ ax x 7→
x2
2
R∗+ → R
1
x 7→
x
n
x 7→
xn+1
n+1
R∗+ → R
1
x 7→ √
x
R→R
x 7→ ex
√
x 7→ ln x x 7→ 2 x x 7→ ex
Exercices
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
1) f : R∗+ −→ R
1
x 7−→ 2
x
5) f : R −→ R
x 7−→ e2x
18 2) f : R −→ R
x 7−→ 2x − 3
3
3) f : R −→ R
2
x 7−→ − 3
x
6) f : R −→ R
x 7−→ eλx (λ ∈ R)
A savoir : par définition ax = ex ln a
29
4) f : R −→ R
7) f : R −→ R
x 7−→ ax (a > 0).
x 7−→
2x + 1
x2 + x + 1