Erratum

La relativité en vingt questions
1. Pourquoi dit-on parfois que la relativité est une théorie mal nommée ?
2. On lit souvent la phrase suivante : « Les quatre équations de Maxwell ne sont pas invariantes par
transformation de Galilée ». Pourquoi une telle affirmation n’est-elle que partiellement correcte ?
3. Pourquoi, malgré certaines analogies, les ondes électromagnétiques sont-elles fondamentalement dif-
férentes des ondes acoustiques ?
4. On lit souvent, dans des textes relativistes, pas nécessairement destinés au grand public, que les inter-
valles temporel et spatial sont séparément invariants en relativité galiléenne. Pourquoi cette affirmation
est-elle en partie incorrecte ?
5. Il existe deux façons d’écrire l’intervalle entre deux événements, l’une privilégiant le temps, l’autre
privilégiant l’espace. Pourquoi, malgré une même efficacité calculatoire, la première est-elle concep-
tuellement et même pédagogiquement préférable à la seconde ?
6. En relativité restreinte, il est souvent commode de mesurer le temps en mètre, en utilisant la coordon-
née ct aulieudelavariabletemps t.Pourquoi cependant la phrase suivante souvent entendue : « Avec
la relativité, le temps et l’espace ont désormais des statuts identiques », est-elle abusive ?
7. Lors d’une émission télévisée grand public sur la relativité, un scientifique ( !) voulant illustrer la
contraction des longueurs a affirmé qu’un voyageur, situé dans un train se déplaçant à grande vitesse
par rapport à la Terre, voyait la largeur de la fenêtre de son compartiment se rétrécir. Pourquoi une telle
affirmation traduit-elle une incompréhension de la relativité ?
8. Pourquoi n’y a-t-il pas réciprocité de situation dans l’expérience de pensée sur les jumeaux de Lan-
gevin ?
9. Pourquoi James Bradley a-t-il pu, en 1729, estimer la vitesse de la lumière dans le vide, avec une
efficacité remarquable, en étudiant l’aberration de l’étoile gdu Dragon, alors qu’il s’appuyait sur une
théorie newtonienne ?
10. Pourquoi l’expérience interférométrique de Fizeau, où la lumière se propage dans de l’eau en mou-
vement, suffisait à valider le point de vue d’Einstein sur l’espace et le temps, sans le recours de l’expé-
rience de Michelson et Morley ?

Introduction. Principe de relativité 13
La forme de l’équation div E=0 n’est donc pas invariante de forme par changement de référentiel
galiléen. En revanche, l’équation structurelle div B=0 , elle, l’est. En effet, elle s’explicite selon :
∂Bx
∂x+∂By ∂y+∂Bz ∂z=0
Or, d’après l’égalité des champs magnétiques B=B,ona,entenantcomptedelatransformationde
Galilée :
∂Bx
∂x=∂B
x
∂x
∂By
∂y=∂B
y
∂yet ∂Bz ∂z=∂B
z
∂z
d’où, en ajoutant membre à membre : div B=divB=0.
Remarque : Le comportement des deux autres équations de Maxwell (loi d’induction et théorème
d’Ampère) est analysé en exercice (cf. Exercices).
III . 4 . — Transformation de Lorentz-Poincaré
C’est en 1905 que le savant français H. Poincaré énonça, à l’Académie des Sciences de Paris, la
nouvelle transformation des coordonnées, par changement de référentiel galiléen, sous sa forme défini-
tive, en lui accordant une importance physique et en en attribuant élégamment la paternité à Lorentz :
t=ge(t+bex/c)x=ge(x+bect)y=yz=z
avec :
be=ve
cet ge=(1−b2
e)−1/2
Il montre alors que cette transformation laisse invariante la forme quadratique x2+y2+z2−c2t2et
qu’elle a une structure mathématique de groupe, c’est-à-dire que le produit de deux transformations de
Lorentz est encore une transformation de Lorentz.
Sur la figure 1.10, on a représenté la variation de geen fonction de be; on voit que gevarie
entre 1 et l’infini lorsque bepasse de 0 à 1 .
1
2
1
0be
ge
FIG. 1.10.
Comme pour la transformation de Galilée, les origines des durées et des espaces sont supposées les
mêmes pour les deux référentiels.
Selon cette transformation, le temps n’apparaît plus comme un paramètre universel. Nous revien-
drons plus loin sur les implications de ce résultat qui surprit les physiciens de l’époque et déroute encore
les débutants.

Transformation de Lorentz-Poincaré. Intervalle entre deux événements 31
III . — FORMALISME QUADRIDIMENSIONNEL
Ce formalisme, introduit par le mathématicien balte H. Minkowski, permet de développer techni-
quement un calcul vectoriel adapté à l’espace-temps de la relativité restreinte. Il s’appuie évidemment
sur l’invariance du carré s2
12 de l’intervalle qui sépare deux événements.
III . 1 . — Quadrivecteur
On appelle quadrivecteur un vecteur, noté 4 −x, dont les quatre composantes x0,x1,x2,x3,
de même dimension physique, se transforment dans un changement de référentiel galiléen de la même
façon que ct ,x,yet z. Par conséquent :
x0=ge(x
0+bex 1)x1=ge(x 1+bex 0)x2=x 2x3=x 3
Ces relations linéaires peuvent être écrites sous forme matricielle en introduisant la matrice suivante de
Lorentz-Poincaré :
L=⎡
⎢
⎢
⎣
gegebe00
gebege00
0010
0001
⎤
⎥
⎥
⎦
En effet, on a :
4−x=L{4−x}soit explicitement ⎡
⎢
⎢
⎣
x0
x1
x2
x3
⎤
⎥
⎥
⎦
=⎡
⎢
⎢
⎣
gegebe00
gebege00
0010
0001
⎤
⎥
⎥
⎦⎡
⎢
⎢
⎣
x
0
x
1
x
2
x
3
⎤
⎥
⎥
⎦
Le déterminant de la matrice Lvaut 1 , car lorsqu’on le développe par la ligne 4, il s’explicite
selon :
det L=1×det ⎡
⎣
gegebe0
gebege0
001
⎤
⎦=1×1×det gegebe
gebege=g2
e(1−b2 e)=1
Il est souvent commode d’introduire la matrice carrée relative aux seules coordonnées intéressantes
x0et x1. La relation matricielle précédente se réduit alors à :
2−x=Lr{2−x}avec Lr=gegebe
gebege
Cette relation s’explicite alors selon :
x0
x1=gegebe gebege
x
0
x
1
Exemple : les coordonnées d’un événement E1dans Rsont, en mètre : ct =1; x=0,6;
y=2; z=1,5.Dans R, tel que ve=0,6c,soit be=0,6, ge=1,25 et gebe=0,75 , les

34 2. Transformation de Lorentz-Poincaré. Intervalle entre deux événements
Elles donnent l’unité de longueur qui est relative à chaque système d’axes (Fig. 2.7). Cette unité est
représentée par les longueurs OA et OB dans le système ( x,ct ), et par les longueurs OAet OB
dans le système ( x,ct). On voit que le référentiel Ra ses axes d’autant plus proches de la diagonale
du premier quadrant que la vitesse d’entraînement est plus grande.
Ce diagramme n’a plus qu’un intérêt historique ; il est parfois utilisé en cinématique relativiste,
lorsqu’on souhaite « visualiser » les transformations des durées et des longueurs, mais sa lecture n’est
pas commode, en raison des unités de longueur différentes sur les axes correspondants.
III . 4 . — Groupe de transformation de Lorentz-Poincaré
C’est Poincaré qui souligna, le premier, la structure de groupe de la transformation de Lorentz-
Poincaré. La propriété essentielle de la structure de groupe est la loi dite de composition interne, selon
laquelle, entre trois référentiels R,Ret R , la transformation de R àR, qui résulte des deux
transformations de Lorentz-Poincaré successives, de R àRpuis de RàR, est aussi une trans-
formation de Lorentz-Poincaré (Fig. 2.8). Pour établir ce résultat, effectuons le produit matriciel de
ces transformations, en désignant par ve=becla vitesse de translation de Rpar rapport à Ret
par v
e=b ecla vitesse d’entraînement de R par rapport à R;geet g esont les facteurs relati-
vistes correspondants. Il vient, en adoptant l’écriture réduite :
2−x=Lr{2−x}et 2 −x=L
r{2−x}et 2 −x=LrL r{2−x}
avec :
Lr=gegebe
gebegeet L
r=g
eg eb e
g
eb eg e
y
x
OR
y
x
ORR O
veve
y
x
FIG.2.8.
Calculons le produit des deux matrices LrL
r:
LrL
r=gegebe
gebegeg
eg eb e
g
eb eg e=geg
e(1+beb e)geg e(b e+b e)
geg
e(b e+b e)geg e(1+beb e)
ce qui peut se mettre sous la forme :
g
eg eb e
g
eb eg e
si on pose g
e=geg e(1+beb e)soit :
1−b2
e=1−b2
e)(1−b2 e)
(1+beb
e)2=(1+beb
e)2−(be+b e)2
(1+beb
e)2=1−be+b
e
1+beb
e2
Il en résulte la relation suivante entre b
e,b eet be:
b
e=be+b
e
1+beb
e
d’où v
e=v
e+ve
1+vev
e/c2
Cette relation exprime la composition des vitesses, selon l’axe commun Ox , appliquée à l’origine O
de R , entre les référentiels Ret R(cf. chapitre 4).

Fondements de la cinématique einsteinienne 57
IV . 2 . — Quadrivecteur d’onde
L’onde lumineuse monochromatique plane est caractérisée, en notation complexe, par la fonction
d’onde C(cf. Optique):
C(r,t)=Aexp[−i(vt−k·r)] = Aexp[i(kxx+kyy+kzz−vt]
où v=2pn est la pulsation et kle vecteur d’onde de composantes kx,kyet kz. La partie imaginaire
de l’argument de l’exponentielle peut être considérée comme le produit scalaire, changé de signe, de
deux quadrivecteurs : 4-x=(ct,r)et 4-k=(v/c,k), appelé quadrivecteur d’onde :
C(r,t)=Aexp[−i(4-k·4-x)] avec 4-k=v
c,k
Cette définition du quadrivecteur d’onde a un sens car le produit scalaire, 4-x·4-k,estuninvariant
par changement de référentiel galiléen. Pour s’en convaincre, il suffit de rappeler que les phénomènes
d’interférence de deux ondes planes (cf. Optique), qui sont déterminés par la différence de phase entre
ces ondes, sont invariants dans ce changement.
IV . 3 . — Formules de l’effet Doppler-Fizeau
Les formules de l’effet Doppler-Fizeau découlent de la transformation de Lorentz entre le référen-
tiel de la source Ret celui du récepteur R:
v/c=ge(v/c+bek
x)kx=ge(k x+bev/c)ky=k ykz=k z
Puisque k
x=kcos u=(2pn/c)cos u, cette dernière équation donne :
n=ge(n+bencos u)soit n=n1
ge(1+becos u)
En utilisant les indices set rpour la source et le récepteur respectivement, on retient l’expression
explicite suivante :
nr=ns1
ge(1+becos ur)
IV . 4 . — Effet Doppler-Fizeau longitudinal
a) Définition et expression
L’effet Doppler-Fizeau est longitudinal lorsque l’angle que fait la direction de l’onde avec l’axe du
mouvement est nul : ur=0 . La formule précédente se réduit, dans ce cas, à :
nr=ns(1−b2
e)1/2
1+be
soit nr=ns1−be
1+be1/2
Dans le cas fréquent où be1 , on obtient la formule approchée suivante :
nr≈ns(1−be)ou nr−ns
ns=Dn ns≈−
ve
cavec Dn=nr−ns