Classe de tronc commun scientifique ()( )(

Classe de tronc commun scientifique
Polynômes
1-1 : Factorisation
Exercice 1
Soit le polynôme p(x ) = x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6 .
1-a. Vérifiez que 2 est racine de P
b.Déterminer les trois réels a , b et c tels que pour tout réel
x,
p( x ) = ( x − 2 )(a x 2 + b x + c )
2-vérifier que –3 est racine de p(x ) puis factoriser p(x ) en monomes
Exercice 2
Soit
P
le polynôme défini par P ( x ) = 6 + 10 x + 2 x 2
1. Montrer que P ( x ) est divisible par
(
.
x +1 .
2. Déterminer les trois réels a , b et c
P( x ) = ( x +1 ) a x 2 + b x + c
− 2x3
tels que pour tout réel
x,
) .( on utilisera la division euclidienne)
3. factoriser ax 2 + bx + c (chercher une racine évidente )
4.a) Résoudre alors l'équation: p(x )= 0
b) Déduire les solutions de l'équation: p( x )= 0
1-2 : 3ème degré
Soit le polynôme du 3° degré
P( x ) = x 3 − 6 x 2 − 51x + 280 .
1. Trouvez trois réels a, p et q tels que
P( x ) = ( x + a)3 + p( x + a) + q .
2. On pose X = x+a. Résoudre l’équation
X 3 + pX + q = 0
(on cherchera une
racine simple α de l’équation puis on factorisera sous la forme (X−α)Q(X)
où Q est un polynôme de degré 2.
3. Factoriser alors P(x) et résoudre l’inéquation P(x)>0.
1-3 : 3ème degré
Soit f la fonction polynôme définie par :
f ( x ) = −4 x 3 + ax 2 + bx + c
où a, b et c sont
trois réels.
1. Déterminer a, b et c sachant que –1 et 2 sont des racines de f(x) et que
f (0) = 4
2. a) Montrer que
f ( x ) = 2( x + 1)( −2 x 2 + 3 x + 2) .
b) factoriser f (x ) en monomes
3. Résoudre l’équation f(x) = 0 puis f(x) < 0.
1-4 : 4ème degré
Soit
P( x ) = x 4 + 6 x 3 − 11x 2 − 60 x + 100
a. Vérifier que
(
P( x ) = x 2 + 3 x − 10
)
2
b. vérifier que 2 est racine de p(x )
c. facoriser P(x).
d. Résoudre l’équation p(x )= 0
1-5 : 4ème degré
1. Factoriser le trinôme x 2 − x − 12 .(on cherchera une racine simple α )
2. Déterminer les réels a et b tels que le polynôme
soit divisible par
f ( x ) = 2 x 4 − 4 x 3 − 33 x 2 + ax + b
x 2 − x − 12 .
3.a) factoriser f (x )
b)Résoudre alors l’équation f(x) = 0.
1-6 : 6ème degré (c)
On veut déterminer les réels a et b de sorte que le polynôme
P( x ) = ax 6 + bx 5 + 1
soit divisible par ( x + 1 )2 (dire qu’un polynôme Q(x) divise un polynôme
P(x) revient à dire que Q(x) peut se mettre en facteur dans P(x)).
1. Montrer que si (x+1) divise P(x), alors
P( x ) = a( x 6 + x 5 ) + x 5 + 1 .
2. Déterminer la factorisation de x5+1 par x+1. En déduire la factorisation
de P(x) par (x+1).
3. Déterminer alors la valeur de a puis celle de b. Effectuer enfin la
factorisation de P(x) par ( x + 1 )2 .
Correction
1. Si (x+1) divise P(x), alors −1 est racine de P, soit
P( −1) = 0 ⇔ a ( −1 ) + b ( −1 ) + 1 = 0 ⇔ a − b + 1 = 0 ⇔ b = a + 1 .
6
On remplace b dans P :
2. On écrit
x5 + 1
5
(
)
P( x ) = ax 6 + ( a + 1 ) x 5 + 1 = ax 6 + ax 5 + x 5 + 1 = a x 6 + x 5 + x 5 + 1 .
avec (x+1) facteur d’un polynôme de degré 4 :
(
)
x5 + 1 = ( x + 1 ) x4 + α x3 + β x2 + γ x + δ = x5 + x4 ( α + 1 ) + x3 ( α + β ) + x2 ( β + γ ) + x ( γ + δ ) + δ
ce qui donne
α + 1 = 0, α + β = 0, β + γ = 0, γ + δ = 0, δ = 1
d’où on tire
(
α = −1, β = −α = 1, γ = − β = −1, δ = −γ = 1 :donc x 5 + 1 = ( x + 1 ) x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
(
)
(
).
P( x ) = ax 5 ( x + 1) + ( x + 1 ) x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = ( x + 1) ax 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
On a donc
,
).
3. Pour que ( x + 1 )2 vienne en facteur dans P, il faut pouvoir factoriser
x +1
encore une fois, il faut donc que −1 soit racine du deuxième facteur :
a ( −1 ) + ( −1 ) − ( −1 ) + ( −1 ) − ( −1 ) + 1 = 0 ⇔ − a + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ⇔ a = 5 ,
5
et on a
4
3
2
b = a+1 = 6 .
Finalement
(
)
(
P( x ) = 5 x 6 + 6 x 5 + 1 = ( x + 1) 5 x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 = ( x + 1)2 5 x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1
La dernière factorisation est à vérifier.
).