Résumé des travaux - Université de Valenciennes

FEUILLETAGES, ACTIONS ET DYNAMIQUE
ASPECTS ANALYTIQUES ET COHOMOLOGIQUES
R´esum´e de l’ensemble des travaux
par
Aziz EL KACIMI
LAMAV, Universit´e de Valenciennes
ISTV 2, Le Mont Houy
59313 Valenciennes Cedex 9
[e-mail]
http://www.univ-valenciennes.fr/lamav/elkacimi/
F´evrier 2017
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Le texte qui suit est un r´esum´e de l’ensemble du travail de recherche
que j’ai entrepris et que j’entreprends (seul ou en collaboration) depuis
quelques dizaines d’ann´ees ! Les diff´erentes parties qui le composent sont
class´ees (presque toujours et quand la th´ematique le permet) par ordre
chronologique.
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La sph`ere S3
1

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STRUCTURES G´ EOM´ ETRIQUES
Les vari´et´es (diff´erentiables et complexes) et les diff´erentes structures g´eom´etriques qu’elles sup-
portent seront pr´esentes constamment dans ce texte. Elles sont, en quelque sorte, le terrain sur
lequel tout se joue. J’ai jug´e utile d’en rappeler les d´efinitions. Les feuilletages et actions de
groupes ont ´et´e (et sont toujours) en majorit´e au centre de mes int´erˆets math´ematiques. Je leur
r´eserve donc la premi`ere place dans ces pr´eliminaires.
L’espace Rnmuni de son produit scalaire usuel hx, yi=Pd
i=1 xiyiest un objet important
en math´ematiques. Le fait qu’il poss`ede un syst`eme de coordonn´ees globales permet d’y
formuler plus ais´ement les probl`emes d’analyse et de g´eom´etrie. Les espaces topologiques
Mqui lui ressemblent localement sont appel´es vari´et´es topologiques de dimension n. Ils
sont tels que, pour tout point x∈M, il existe un voisinage ouvert Uet un hom´eomorphisme
ϕ:Rn−→ U; on dira que (U, ϕ) est une carte locale ou un syst`eme local de coordonn´ees
(x1,···, xn) = ϕ−1(x) sont les coordonn´ees de xdans la carte (U, ϕ). Si (V, ψ) est une
autre carte locale dans laquelle xa pour coordonn´ees (x′
1,···, x′
k), l’application ψ−1◦ϕ:
ϕ−1(U∩V)−→ ψ−1(U∩V) est un hom´eomorphisme tel que ψ−1◦ϕ(x1,· · · , xn) =
(x′
1,···, x′ n). On dira que ψ−1◦ϕest le changement de coordonn´ees de la carte (U, ϕ) `a la
carte (V, ψ). Il existe alors un recouvrement ouvert U={Ui}de l’espace Met une famille
d’hom´eomorphismes ϕi:Rn−→ Ui. Le syst`eme {Ui, ϕi}est appel´e atlas d´efinissant la
vari´et´e M.
Soit Mune vari´et´e topologique de dimension nd´efinie par un atlas (Ui, ϕi) ; on dira
que Mest une vari´et´e diff´erentiable si, pour toute paire (i, j) telle que Ui∩Uj6=∅, le
changement de coordonn´ees ϕ−1
j◦ϕiest de classe C∞.
Supposons npair ´egal `a 2met identifions R2m`a Cm`a l’aide de l’isomorphisme
(d’espaces vectoriels r´eels) (x1, y1,···, xm, ym)∈R2m−→ (x1+iy1,···, xm+iym)∈Cm.
On dira que Mest une vari´et´e complexe de dimension msi tous les changements de coor-
donn´ees ϕ−1
j◦ϕi:ϕ−1 i(U∩V)⊂Cn−→ ϕ−1 j(U∩V)⊂Cmsont des biholomorphismes
(i.e. ϕ−1
j◦ϕiet son inverse ϕ−1 i◦ϕjsont holomorphes). Localement, un point sera rep´er´e
par ses coordonn´ees complexes (z1,···, zm).
On dira que la vari´et´e Mest connexe, compacte... si l’espace topologique sous-jacent
Mest connexe, compact... La notion de vari´et´e diff´erentiable et celle de vari´et´e complexe
sont centrales en g´eom´etrie diff´erentielle et g´eom´etrie complexe.
Pr´ecisons quelques notations qui nous serviront dans toute la suite. On se donne une
vari´et´e Mconnexe de dimension n.
•Un syst`eme de coordonn´ees locales au voisinage d’un point x∈Msera la donn´ee
d’un ouvert Ucontenant xet d’un diff´eomorphisme ϕ:Rn−→ Utel que le point xait
pour coordonn´ees (x1,···, xn) = ϕ−1(x).
•C∞(M) est l’alg`ebre des fonctions complexes de classe C∞sur M.
•T M est le fibr´e tangent `a M; pour chaque x∈M, sa fibre TxMest un espace
vectoriel r´eel de dimension n;T M est une vari´et´e diff´erentiable connexe de dimension 2n
et on a une projection canonique π:T M −→ Mtelle que π−1(x) = TxM.
Beaucoup de structures g´eom´etriques peuvent ´eventuellement ˆetre d´efinies sur une vari´et´e
diff´erentiable. On vient d’en donner une : la structure complexe (n’importe quelle vari´et´e
n’en supporte pas bien sˆur). Nous en introduirons au fur et `a mesure de nos besoins. Nous
commencerons par la notion de structure feuillet´ee.
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1. FEUILLETAGES
1.1. Premi`eres d´efinitions
Prenons un livre ´epais (comme un annuaire t´el´ephonique par exemple). Si on oublie son
contour, on peut le voir comme un ouvert de l’espace euclidien R3; c’est donc une vari´et´e
connexe de dimension 3. Mais on peut aussi le voir comme la r´eunion disjointe de toutes
les feuilles qui le composent. Si on convient qu’une feuille n’a aucune ´epaisseur, ce livre
pourra ˆetre vu comme une vari´et´e de dimension 2 non connexe, ses composantes connexes
sont pr´ecis´ement ses feuilles. On dira alors que notre livre est une vari´et´e de dimension
3 munie d’un feuilletage de dimension 2 (dimension des feuilles) ou de codimension 1 (la
dimension compl´ementaire des feuilles). Un feuilletage F(de dimension 2) sur une vari´et´e
Mde dimension 3 est localement de ce type : autour de chaque point on peut d´ecouper
un petit morceau ressemblant `a notre livre ! La vari´et´e Mest ainsi munie d’une deuxi`eme
topologie non connexe et dont les composantes connexes sont les feuilles de F. Voici la
premi`ere d´efinition pr´ecise d’une vari´et´e feuillet´ee.
1.1.1. D´efinion. Soit Mune vari´et´e (connexe) de dimension m+n. Un feuilletage
Fde codimension n(ou de dimension m) sur Mest la donn´ee d’un recouvrement
ouvert U={Ui}i∈Iet, pour tout i, d’un diff´eomorphisme ϕi:Rm+n−→ Uitel que, sur
toute intersection non vide Ui∩Uj, le diff´eomorphisme de changement de coordonn´ees
ϕ−1
j◦ϕi: (x, y)∈ϕ−1 i(Ui∩Uj)−→ (x′, y′)∈ϕ−1 j(Ui∩Uj)soit de la forme x′=ϕij (x, y)
et y′=γij (y).
ϕ−1
i
ϕ−1
j
ϕ−1
j◦ϕi
Fig. 1
La vari´et´e Mest ainsi d´ecompos´ee en sous-vari´et´es connexes de dimension m. Chacune
d’elles est appel´ee feuille de F. Une partie Ude Mest dite satur´ee si elle est r´eunion de
feuilles : si x∈Ualors la feuille passant par xest enti`erement contenue dans U.
Les syst`emes de coordonn´ees (Ui, ϕi) satisfaisant les conditions de la d´efiniton 1.1.1
sont dits distingu´es pour le feuilletage.
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Soit Fun feuilletage de codimension nsur Md´efini par un atals maximal {(Ui, ϕi)}i∈I
comme dans la d´efinition 1.1.1. Soit π:Rm+n=Rm×Rn−→ Rnla seconde projection.
Alors l’application fi:Ui
π◦ϕ−1
i
−→ Rnest une submersion. Sur Ui∩Uj6=∅on a fj=γij ◦fi.
Les fibres de la submersion fisont les F-plaques de (Ui,F). Les submersions fiet les
diff´eomorphismes locaux γij de Rndonnent une caract´erisation compl`ete de F.
1.1.2. Definition. Un feuilletage Fde codimension nsur Mest donn´e par un recouvre-
ment ouvert {Ui}i∈Iet des submersions fi:Ui−→ Tau-dessus d’une n-vari´et´e Tet, pour
Ui∩Uj6=∅, d’un diff´eomorphisme γij :fi(Ui∩Uj)−→ fj(Ui∩Uj)tels que fj=γij ◦fi.
On dit que {Ui, fi, T, γij}un cocycle feuillet´e d´efinissant F.
Le feuilletage Fest dit transversalement orientable si la vari´et´e Tpeut ˆetre munie
d’une orientation pr´eserv´ee par tous les diff´eomorphismes locaux γij .
1.1.3. Feuilletages induits
Soient Met Ndeux vari´et´es ; on suppose que Msupporte un feuilletage Fde codi-
mension n. On dira qu’une application diff´erentiable f:N−→ Mest transverse `a Fsi,
pour tout point x∈N, l’espace tangent TyM`a Mau point y=f(x) est engendr´e par TyF
et (dxf)(TxN) (o`u dxfest l’application tangente `a fen x)i.e. TyM=TyF+(dxf)(TxN).
De fa¸con ´equivalente, si on suppose que Mest de dimension m+n,fest transverse `a Fsi,
pour tout x∈N, il existe un syst`eme de coordonn´ees (x1,···, xm, y1,···, yn) : Rm+n−→ V
autour de ytel que l’application :
gU: (y−1
1◦f, ···, y−1
n◦f) : U=f−1(V)−→ Rn
soit une submersion. La collection des submersions locales (U, gU) d´efinit un feuilletage
f∗(F) de codimension nsur Nappel´e feuilletage induit de Fpar f.
Si fest une submersion et Fest le feuilletage par points, fest transverse `a F; dans
ce cas les feuilles de f∗(F) sont exactement les fibres de f.
Si N=c Mest un revˆetement de Met fest la projection de revˆetement f:c M−→ M,
alors f∗(F), not´e b F, est de dimension ´egale `a celle de F; les deux feuilletages b Fet Font
les mˆemes propri´et´es locales.
1.1.4. Morphismes de feuilletages
Soient Met M′deux vari´et´es munies respectivement des feuilletages Fet F′. Une
application diff´erentiable f:M−→ M′est dite feuillet´ee ou morphisme entre Fet F′si,
pour toute feuille Lde F,f(L) est contenue dans une feuille de F′; on dira que fest
un isomorphisme si, en plus, fest un diff´eomorphisme ; dans ce cas, la restriction de f`a
toute feuille L∈ F est un diff´eomorphisme sur la feuille L′=f(L)∈ F′.
Supposons que fest un diff´eomorphisme de M. Alors, pour toute feuille L∈ F,f(L)
est la feuille d’un feuilletage F′de codimension nsur M; on dira que F′est l’image de F
par le diff´eomorphisme fet on ´ecrit F=f∗(F′). Deux feuilletages Fet F′sur Msont
dits Cr-conjugu´es (topologiquement si r= 0, diff´erentiablement si r=∞et analytiquement
dans le cas r=ω) s’il existe un Cr-hom´eomorphisme f:M−→ Mtel que f∗(F′) = F.
L’ensemble Diffr(M, F) des Cr-diff´eomorphismes de Mqui pr´eservent le feuilletage
Fest un sous-groupe du groupe Diffr(M) de tous les Cr-diff´eomorphismes de M.
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