1 Du cercle trigonométrique aux angles orientés

1 Du cercle trigonométrique aux angles orientés
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours possibles. Par convention, le sens
contraire des aiguilles d’une montre est appelé sens direct.
Une unité de longueur étant choisie, le cercle Cde centre Oet de rayon 1,
orienté dans le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.
Définition
On appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1orienté dans le sens
direct, c’est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Soient Iun point de Cet Jle point obtenu en se déplaçant sur Cd’un
quart de tour dans le sens direct en partant de I.
Ainsi défini, le repère (O;
# »
OI;
# »
OJ)est dit orthonormal direct.
O I O′
JA
C
+
x
O′(0) M(1)
Imaginons que l’on enroule la droite des réels d’origine O′comme un fil autour de Cavec pour convention le fait
de fixer O′en Iet d’enrouler la demi-droite représentant les réels positifs dans le sens direct comme l’indique la
figure ci-dessus.
Si Aest un point de C, tout réel qui lui est associé par ce procédé est appelé abscisse curviligne de A.
Propositions
•Tout réel xest abscisse curviligne d’un unique point Mdu cercle trigonométrique. Mest appelé point image de x.
•Tout point Mdu cercle trigonométrique admet une infinité d’abscisses curvilignes distinctes. De plus, si xest
l’une d’elles alors les abscisses curvilignes de Msont les réels s’écrivant (x+k×2π)où kest un entier relatif.
Définitions
Soient O,Aet Btrois points distincts, Cle cercle trigonométrique de centre
Oet Eet Fles points d’intersection respectifs de [OA)et [OB)avec C.
•On appelle mesure en radians de l’angle géométrique ÷ AOB la longueur
de l’arc ¯ EF qu’il intercepte sur le cercle C.
•On appelle mesure de l’arc orienté EF toute différence (xF−xE)où xE
désigne une abscisse curviligne de Eet xFune abscisse curviligne de F.
•On appelle mesure en radians de l’angle orienté de vecteurs ÅŸ
# »
OA;
# »
OBã
toute mesure de l’arc orienté EF .
Parmi celles-ci, une seule appartient à ]−π;π]et est appelée mesure
principale.
1
O I
J
E
A
B
C
F
Remarque 1
La mesure en radians d’un angle géométrique appartient à [0; π]et est unique.
Ce n’est pas le cas pour un angle orienté. En effet, si un réel αest une mesure de l’angle ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãalors tout réel
s’écrivant (α+k×2π)où kest un entier relatif est aussi une mesure de cet angle.
On écrira ÅŸ
# »
OA;
# »
OBã=α+k×2π(k∈Z)ou encore ÅŸ
# »
OA;
# »
OBã=α(2π)(se lit « αmodulo 2π»).
Remarque 2
Par commodité, ÷ AOB désignera aussi bien l’angle géométrique que sa mesure. De même, ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãdésignera
aussi bien l’angle orienté qu’une de ses mesures.
Proposition
La mesure en radians d’un angle géométrique est proportionnelle à sa mesure en degrés.
×180
π
En degrés 0 30 45 60 90 180
En radians 0π
6
π
4
π
3
π
2π×π
180
Propositions
Soient O,Aet Btrois points distincts, αun réel appartenant à ]−π;π]et βun réel appartenant à [0; π].
•Si l’angle orienté ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãa pour mesure principale αradians alors l’angle géométrique ÷ AOB a pour mesure
|α|radians.
•Si l’angle géométrique ÷ AOB a pour mesure βradians alors l’angle orienté ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãa pour mesure principale
soit βsoit (−β)radians.

2 Lignes trigonométriques
Soient Oun point du plan, Cle cercle trigonométrique de centre Oet Iet
Jdeux points de Ctels que le repère (O;
# »
OI,
# »
OJ)soit orthonormal direct.
Définitions
Pour tout réel x, on appelle cosinus et sinus de x, et on note respectivement
cos(x)et sin(x), les coordonnées dans le repère (O;
# »
OI,
# »
OJ)de l’unique
point Mde Ctel que ÅŸ
# »
OI;
# »
OMã=x(2π).
O I
J
M(x)
C
+
cos(x)
sin(x)
Proposition
Le plan étant muni du repère (O;
# »
OI,
# »
OJ)et xdésignant un réel, les assertions suivantes sont deux à deux
équivalentes :
①Mappartient à Cet ÅŸ
# »
OI;
# »
OMã=x(2π)
②Ma pour coordonnées (cos(x); sin(x))
③# » OM a pour coordonnées Çcos(x)
sin(x)å
④# » OM = cos(x)×
# »
OI + sin(x)×
# »
OJ
Proposition (Tableau des valeurs remarquables)
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x)
cos(x)
Propositions (Propriétés immédiates)
• ∀x∈R. . . . 6cos(x)6. . . . et . . . . 6sin(x)6. . . .
• ∀x∈Rcos2(x) + sin2(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ∀x∈R∀k∈Zcos(x+k×2π) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ∀x∈R∀k∈Zsin(x+k×2π) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propositions (Angles associés)
Soit ∆la droite d’équation y=x.
tdésignant un réel quelconque, on appelle Ml’unique point
de Cdéfini par ÅŸ
# »
OI;
# »
OMã=t(2π).
I
J
O
M(t)
C
...
... ...
... ... ∆ (y=x)
•Le point Pde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OP =−t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Qde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OQ=π+t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos(π+t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π+t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Rde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OR=π−t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos(π−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Sde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OS=π
2−t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos Åπ
2−tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin Åπ 2−tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Tde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OT =π
2+t(2π)est le symétrique de Spar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos Åπ
2+tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin Åπ 2+tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propositions (Résolution d’équations trigonométriques)
Pour tout réel x:
•cos(x) = cos(a)⇐⇒ x=a(2π)ou x=−a(2π)
O I
Ja
−a
•sin(x) = sin(a)⇐⇒ x=a(2π)ou x=π−a(2π)
O I
J
a
π−a
Définitions
Soient O,Aet Btrois points distincts. On note respectivement :
•cos ÷ AOB et sin ÷ AOB le cosinus et le sinus de la mesure de l’angle géométrique ÷ AOB.
•cos ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãet sin ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãle cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de l’angle orienté ÅŸ
# »
OA;
# »
OBã.
3 Fonctions circulaires
Définitions
•On appelle fonction sinus, et on note sin, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel sin(x).
•On appelle fonction cosinus, et on note cos, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel cos(x).
Activité
On note respectivement Set Cles courbes représen-
tatives des fonctions sinus et cosinus dans un repère
orthogonal (O;
# »
OI,
# »
OJ).
1. Quelles conclusions tirer concernant les fonctions
sinus et cosinus des égalités suivantes ?
Interpréter graphiquement ces résultats.
a) cos(x+ 2π) = cos(x)et sin(x+ 2π) = sin(x)
b) cos(−x) = cos(x)et sin(−x) = −sin(x)
2. Construire Ssur l’intervalle [0; π].
En déduire Ssur [−π; 0] puis sur [π; 3π].
3. Pour tout réel x, on a cos(x) = sin(x+π
2).
En déduire que Cest l’image de Spar une trans-
lation que l’on précisera puis construire Csur
[−π; 3π].
4. Dresser les tableaux de variations respectifs des
fonctions sinus et cosinus sur [−π;π].
3π
−π0π2π
1
−1
Propositions
•La fonction sinus est définie sur R,2π−périodique, impaire, admet (−1) pour minimum et 1pour maximum.
•La fonction cosinus est définie sur R,2π−périodique, paire, admet (−1) pour minimum et 1pour maximum.