1 Du cercle trigonométrique aux angles orientés

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Du cercle trigonométrique aux angles orientés
J
+
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours possibles. Par convention, le sens
contraire des aiguilles d’une montre est appelé sens direct.
Une unité de longueur étant choisie, le cercle C de centre O et de rayon 1,
orienté dans le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.
x
A
O
Définition
On appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 orienté dans le sens
direct, c’est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
I O′
C
Soient I un point de C et J le point obtenu en se déplaçant sur C d’un
quart de tour dans le sens direct en partant de I.
#» # »
Ainsi défini, le repère (O; OI; OJ) est dit orthonormal direct.
O′ (0)
M (1)
Imaginons que l’on enroule la droite des réels d’origine O′ comme un fil autour de C avec pour convention le fait
de fixer O′ en I et d’enrouler la demi-droite représentant les réels positifs dans le sens direct comme l’indique la
figure ci-dessus.
Si A est un point de C , tout réel qui lui est associé par ce procédé est appelé abscisse curviligne de A.
Propositions
• Tout réel x est abscisse curviligne d’un unique point M du cercle trigonométrique. M est appelé point image de x.
• Tout point M du cercle trigonométrique admet une infinité d’abscisses curvilignes distinctes. De plus, si x est
l’une d’elles alors les abscisses curvilignes de M sont les réels s’écrivant (x + k × 2π) où k est un entier relatif.
Définitions
Soient O, A et B trois points distincts, C le cercle trigonométrique de centre
O et E et F les points d’intersection respectifs de [OA) et [OB) avec C .
÷ la longueur
• On appelle mesure en radians de l’angle géométrique AOB
¯
de l’arc EF qu’il intercepte sur le cercle C .
• On appelle mesure de l’arc orienté EF toute différence (xF − xE ) où xE
désigne une abscisse curviligne de E et xF une abscisse curviligne
de Fã.
Å
# » # »
Ÿ
• On appelle mesure en radians de l’angle orienté de vecteurs OA; OB
toute mesure de l’arc orienté EF .
Parmi celles-ci, une seule appartient à ] − π; π] et est appelée mesure
principale.
J
B
A
F
E
O
I
1
C
Remarque 1
Å
ã
La mesure en radians d’un angle géométrique appartient à [0; π] et est unique.
# » # »
Ÿ
Ce n’est pas le cas pour un angle orienté. En effet, si un réel α est une mesure de l’angle OA; OB alors tout réel
s’écrivant Å
(α + k × 2π)
de cet angle.
ã où k est un entier relatif est aussi
Å une mesure
ã
# » # »
# » # »
Ÿ
Ÿ
On écrira OA; OB = α + k × 2π (k ∈ Z) ou encore OA; OB = α (2π) (se lit « α modulo 2π »).
Å
ã
Remarque 2
# » # »
Ÿ
÷
Par commodité, AOB désignera aussi bien l’angle géométrique que sa mesure. De même, OA; OB désignera
aussi bien l’angle orienté qu’une de ses mesures.
Proposition
La mesure en radians d’un angle géométrique est proportionnelle à sa mesure en degrés.
×
180
π
En degrés
0
En radians
0
30
π
6
45
π
4
60
π
3
90
π
2
180
π
×
π
180
Propositions
Soient O, A et B trois
Å points ãdistincts, α un réel appartenant à ] − π; π] et β un réel appartenant à [0; π].
# » # »
Ÿ
÷ a pour mesure
• Si l’angle orienté OA; OB a pour mesure principale α radians alors l’angle géométrique AOB
|α| radians.
Å
ã
# » # »
Ÿ
÷
• Si l’angle géométrique AOB a pour mesure β radians alors l’angle orienté OA; OB a pour mesure principale
soit β soit (−β) radians.
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Lignes trigonométriques
J
+
Soient O un point du plan, C le cercle trigonométrique de centre O et I et
#» # »
J deux points de C tels que le repère (O; OI, OJ) soit orthonormal direct.
sin(x)
Définitions
Pour tout réel x, on appelle cosinus et sinus de x, et on note respectivement
#» # »
cos(x) et sin(x), les coordonnées
Å
ã dans le repère (O; OI, OJ) de l’unique
#» # »
Ÿ
point M de C tel que OI; OM = x (2π).
O
M (x)
cos(x) I
C
Proposition
#» # »
Le plan étant muni du repère (O; OI, OJ) et x désignant un réel, les assertions suivantes sont deux à deux
équivalentes :
Å
ã
Ç
å
#» # »
# »
cos(x)
Ÿ
① M appartient à C et OI; OM = x (2π)
③ OM a pour coordonnées
sin(x)
# »
#»
# »
② M a pour coordonnées (cos(x); sin(x))
④ OM = cos(x) × OI + sin(x) × OJ
Proposition (Tableau des valeurs remarquables)
x
π
6
0
π
4
π
3
π
2
π
sin(x)
cos(x)
J
Propositions (Propriétés immédiates)
• ∀x ∈ R
. . . . 6 cos(x) 6 . . . .
et
...
∆ (y = x)
...
. . . . 6 sin(x) 6 . . . .
• ∀x ∈ R cos2 (x) + sin2 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ∀x ∈ R ∀k ∈ Z
cos(x + k × 2π) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ∀x ∈ R ∀k ∈ Z
sin(x + k × 2π) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propositions (Angles associés)
Soit ∆ la droite d’équation y = x.
t désignant un réel
on appelle M l’unique point
Å quelconque,
ã
#» # »
Ÿ
de C défini par OI; OM = t (2π).
M (t)
...
I
O
...
...
C
#» # »
ÿ
• Le point P de C défini par OI; OP = −t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t ∈ R
cos(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#» # »
ÿ
• Le point Q de C défini par OI; OQ = π + t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t ∈ R
cos(π + t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π + t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#» # »
ÿ
• Le point R de C défini par OI; OR = π − t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t ∈ R
cos(π − t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π − t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π
#» # »
ÿ
• Le point S de C défini par OI; OS = − t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Å
ã2
Å
ã
π
π
On en déduit que : ∀t ∈ R cos
− t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin
− t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
π
#» # »
ÿ
• Le point T de C défini par OI; OT = + t (2π) est le symétrique de S par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Å
ã2
Å
ã
π
π
On en déduit que : ∀t ∈ R cos
+ t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin
+ t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Propositions (Résolution d’équations trigonométriques)
Pour tout réel x :
• cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a (2π) ou x = −a (2π)
J
• sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a (2π) ou x = π − a (2π)
J
a
π−a
O
I
a
O
I
−a
Définitions
Soient O, A et B trois points distincts. On note respectivement :
÷ et sin AOB
÷ le cosinus et le sinus de la mesure de l’angle géométrique AOB.
÷
• cos Å
AOB
ã
Å
ã
Å
ã
# » # »
# » # »
# » # »
Ÿ
Ÿ
Ÿ
• cos OA; OB et sin OA; OB le cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de l’angle orienté OA; OB .
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Fonctions circulaires
Définitions
• On appelle fonction sinus, et on note sin, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel sin(x).
• On appelle fonction cosinus, et on note cos, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel cos(x).
Activité
On note respectivement S et C les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus dans un repère
#» # »
orthogonal (O; OI, OJ).
2. Construire S sur l’intervalle [0; π].
En déduire S sur [−π; 0] puis sur [π; 3π].
1. Quelles conclusions tirer concernant les fonctions
sinus et cosinus des égalités suivantes ?
Interpréter graphiquement ces résultats.
3. Pour tout réel x, on a cos(x) = sin(x + π2 ).
En déduire que C est l’image de S par une translation que l’on précisera puis construire C sur
[−π; 3π].
a) cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x)
b) cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x)
4. Dresser les tableaux de variations respectifs des
fonctions sinus et cosinus sur [−π; π].
1
−π
0
π
2π
3π
−1
Propositions
• La fonction sinus est définie sur R, 2π−périodique, impaire, admet (−1) pour minimum et 1 pour maximum.
• La fonction cosinus est définie sur R, 2π−périodique, paire, admet (−1) pour minimum et 1 pour maximum.