Calculs de probabilités
par
la loi normale
La
loi normale centrée réduite
Une variable dont la distribution satisfait aux critères de normalité, est réputée suivre une loi
normale de paramètres m et
(J
(caractéristiques calculées sur la série statistique).
Une variable suit une loi normale centrée réduite si sa moyenne est égale à 0
et
son écart type à
1.
Si
X
suit
une
loi
normale
de
paramètres
m
et
0'
alors
la
variable
T=
X-m
suit
une
loi
normale
(J
centrée réduite. Ainsi p(X<x)=p(T<t).
L'intérêt d'un tel changement de variable est qu'il existe des tables de la loi normale centrée réduite.
(cf
annexe).
Exemple: Le kilométrage moyen annuel réalisé par les conducteurs de véhicule essence suit une loi
normale de moyenne 15000 et d'écart type 6000. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre
de kilomètres parcourus par un véhicule.
X----iI>
N(15000,6000).
T
X~l;oOoOO
et
T----iI>N(O,l)
On
cherche la probabilité qu'un véhicule parcourt moins de 25000
km
par an.
25000-15000
p(X<25000)=p(T< 6000 )=p(T<I,67).
Par lecture de la table
de
la loi normale centrée réduite: peT <1,67)=0,9525.
Propriétés
1
p(T>t)=l-
p(T<t) p(T< -t)=p(T> t)
Applications:
1.
La durée de fonctionnement sans panne d'un type de machine est en moyenne de 950
heures avec un écart type de 100 heures.
X=durée de fonctionnement.
x-+
N(950;100) et T
----il>N(O;I)
.
• Quelle est la probabilité pour que la première panne survienne, sur l'une des machines,
après plus de 1000 heures
de
fonctionnement?
• Quelle est la probabilité pour que la première panne survienne avant 850 heures de
fonctionnement.
• Quelle est la probabilité pour que la première panne survienne entre 900 et 1000 heures
de fonctionnement.
2. Le poids X en grammes d'un cèpe suit une loi normale N(60;3).
Calculer
p(57<X~61)
3.
On
sait que X suit une loi normale de paramètres m et
(J
. En sachant que
p(X~0,5)=0,5517
et
P(X~2,6)=0,9515,
déterminer m et
(J,