θ θ θ π

Corrigé physique EPITA 2010
1)- On a:
r
OM r u
, et par définition:
dOM
vdt
et
dv
adt
Les dérivées des vecteurs de base s'écrivent:
r
du u
dt
et
r
du u
dt
On en déduit les expressions de la vitesse et de l'accélération:
r
v r u r u
et
22
r
a r r u r r u
2)- Par définition, la force de gravitation s'écrit:
2
t
r
Mm
F G u
r
à la surface de la terre, cette force peut s'écrire :
soit
2
t
r
Mm
F G u
R
, soit
0r
F mg u  
On en déduit:
2
0t
G M g R  
; La force de gravitation s'écrit donc:
2
02r
R
F mg u
r
3)- Pour montrer que le module de la vitesse est constant, on peut utiliser les équations de
conservation:
- soit de l'énergie:
pc
EE
constante, avec
0
t
p
Mm
EG
r
qui est constante: l'énergie
cinétique est donc constante, par conséquent la vitesse est constante.
- soit du moment cinétique:
0
r
constante, donc est constant. Comme la vitesse s'écrit
0
r
, elle est constante.
La vitesse et l'accélération prennent alors la forme simple:
0
v r u
et
2
0r
a r u
4)- La relation fondamentale de la dynamique appliquée au satellite s'écrit:
2
2
00
2
0
rr
R
mg u mr u
r
, soit:
2
2
20
00
2
0
0
v
R
gr
r
r
On en déduit:
0
0
0
g
vRr
Lorsque le satellite effectue une révolution, il parcourt la distance
0
2r
à la vitesse constante
v0. Il met donc le temps T0 tel que:
0 0 0
2v T r
soit
0
0
0
2r
Tv
En explicitant v0:
3/ 2
00
0
2
Tr
Rg
5)- L'énergie potentielle s'écrit:
u
ur
O
r

2
0
00
t
p
Mm R
E G mg
rr
et l'énergie mécanique :
00
2
2
0 0 0
0
1
2
pC
R
E E E mg mv
r
s'écrit, en explicitant la vitesse:
2
00
0
1
2
R
E mg r
6)- Avec les valeurs numériques proposées, on trouve:
v0 = 7,71 km/s et T0 = 5516 s, soit environ 1h 32 mn
7)- En A, la vitesse passe de
0
v
à
0
vv
: l'énergie cinétique passe donc de
0
2
0
1
2
C
E mv
à
0
2
2
2
00
0
11
( ) 1
22
CC
v
E E m v v mv v
, soit, au premier ordre en
0
v
v
:
0
2
0
0
112
2
CC
v
E E mv v
On en déduit:
0c
E mv v
A son arrivée en A, le satellite a une énergie mécanique
2
00
0
1
2
R
E mg r
. Après
l'accélération qu'il subit, il prend une trajectoire elliptique de demi grand axe
0
a r r
. Son
énergie mécanique devient:
22
0 0 0
0
0
0
11
2 ( ) 2 1
RR
E E mg mg
rr r
rr
soit, en développant au premier ordre en
0
r
r
:
2
00
00
11
2
Rr
E mg rr
. On en déduit :
2
0
00
1
2
Rr
E mg rr
Or, l'accroissement de vitesse se fait très rapidement en A: durant cet accroissement, le
satellite est en A, son énergie potentielle ne varie pas: l'accroissement d'énergie cinétique est
donc égal à l'accroissement d'énergie mécanique. On en déduit:
2
00
00
1
2
Rr
mv v mg rr
avec
2
2
0
0
0
gR v
r
, soit:
00
1
2
vr
vr
8)- La nouvelle période T s'écrit:
3/ 2
3/ 2
3/ 2
00
0
00
22
( ) 1 r T r r r r
R g R g
soit, au premier ordre en
0
r
r
:
0
0
3
12
r
TT r
On en déduit:

0 0 0
33
2
T r v
T r v
9)- Le satellite S2 est en retard de la distance D sur le satellite S1. Ce retard se traduit par un
retard en temps t, tel que:
0
v t D
, soit
0
D
tv
Pour qu'au bout d'un tour, S2 rattrape S1, il faut que sa période diminue de t:
0
D
Tt
v
Il faut donc lui communiquer en A un accroissement de vitesse:
0
00
11
33
vD
vT
TT
Numériquement, on trouve:
v = -0,6 m/s
Ce résultat appelle deux remarques:on doit ralentir le satellite qui est en retard pour qu'il
rattrape l'autre. Cela semble paradoxal, mais en fait, en le ralentissant en A, on raccourcit sa
trajectoire;
La valeur numérique de la correction est très faible: moins d'un mètre par seconde pour des
satellites lancés à plus de 7 km/s: ce résultat donne une idée de la précision avec laquelle on
doit effectuer les mises sur orbite.
I-
1)- Dans la mesure où on néglige la force magnétique, l'électron est soumis seulement à la
force électrique:
F e E  
.
La relation fondamentale appliquée à un électron de masse m s'écrit:
dv
m e E
dt
La vitesse et le champ électrique sont sinusoïdaux. En adoptant les formes données dans
l'énoncé, la relation précédente s'écrit:
i m v e E
soit
e
vE
im
Si  est la densité volumique de charge des porteurs,
ne
et la densité volumique de
courant s'écrit:
jv
. On en déduit:
2
ne
jE
im
et la conductivité:
2
ne
im
Le fait que la conductivité soit imaginaire pure signifie que la densité de courant et le champ
électrique sont en quadrature. Ainsi, la puissance volumique moyenne dissipée est nulle: le
milieu est non dissipatif, conformément aux hypothèses de départ ( pas de frottement).
2)- Les équations de Maxwell s'écrivent:
0divE 
0divB 
B
rotE t
02
1E
rotB j ct

Pour établir l'équation de propagation, on élimine
B
entre ces équation en déterminant le
rotationnel de rotationnel de
E
:
02
1
( ) ( )
BE
rot rotE rot rotB E
t t t c t
Or,
( ) ( )rot rotE grad divE E E    
, puisque le champ électrique est à divergence nulle.
On en déduit l'équation de propagation:
2
022
10 EE
Et c t
Or,
() x E E y u
, donc,
2
2
2x
E
E u k E
y
; avec
EiE
t
et
2
2
2
EE
t
, l'équation
s'écrit:
2
2
020k i E
c
Cette équation doit être vérifiée quel que soit
E
non nul. On en déduit l'équation de
dispersion:
2
2
0
20ki
c
soit, en explicitant :
22
2
0
20
ne
kcm
En introduisant p, et compte tenu du fait que
2
00 1c
, l'équation de dispersion s'écrit:
2
2
2
2
p
kc
Si k2 > 0, k est réel, ily a propagation.
Si k2<0, k est imaginaire pur: il n'y a pas propagation (onde évanescente): c'est le cas si p,
ou f<fp avec
2
p
p
f
.
Numériquement, on trouve: fp = 8,074 MHz, ce qui correspond à une longueur d'onde
p
p
c
f
. Numériquement: p = 37,2 m.
Pour qu'il n'y ait pas propagation dans le plasma, l'onde doit avoir une longueur d'onde
supérieure à p.
II-
1)- Pour vérifier que la forme proposée du champ électrique peut être solution de l'équation de
D'Alembert, il suffit de porter cette forme dans l'équation:on a ainsi:
22
22
22
()
EE
E k m E
xy
et
2
2
2
EE
t
En portant dans l'équation, on obtient:
2
22
2
( ) 0k m E E
c
égalité réalisée quel que soit E à condition que:
2
22
2
km
c
2)- Les milieux 1 et 2 sont séparés par une surface portant la charge superficielle .
12
n
est la
normale unitaire dirigée de 1 vers 2.
1
2
n1 2

Si
1
E
et
2
E
sont les camps au voisinage de la surface, respectivement du côté 1 et du côté 2,
on a:
2 1 12
0
E E n
La discontinuité est donc normale à la surface.
Dans le cas qui nous intéresse, on a en
0y
et
yH
un milieu conducteur parfait dans
lequel le champ électrique est nul. En
0y
et
yH
, le champ, porté par z est tangent aux
surfaces: il ne doit pas subir de discontinuité; on en déduit :
(0) ( ) 0E E H
pour toute valeur de x et de t, donc, il faut:
sin( ) 0my 
en y = 0 et y = H
La première condition est réalisée; la seconde implique, p étant un entier:
mp
H
3)- En explicitant m dans l'expression de k, on a:
22
22
22
kp
cH
Il y a propagation si k est réel, c'est-à-dire si k2>0, soit pour:
pH
4)- On en déduit:
07c
H
, et la longueur d'onde associée:
0
2
7
H
, soit numériquement:
0 = 65973 rd/s et 0 = 28,6 km
Pour qu'il y ait propagation, il faut que la longueur 'onde soit inférieure à 0
5)- Lors de communications avec les antipodes, on peut considérer que la propagation dans le
guide d'onde terrestre se fait selon le mode 7. Pour éviter une distorsion trop importante liée à
la grande variation de la vitesse de propagation en limite de bande passante, on se place à des
fréquences nettement supérieures, environ 500 fois plus grandes que la fréquence limite:
0
10
500 500 2 ff
Soit numériquement:
f1 =5,25 MHz et 1 = 57 m