θ θ θ π

Corrigé physique EPITA 2010
u
ur
1)- On a: OM  r  ur , et par définition:
r
dOM
dv
et a 
dt
dt
O

Les dérivées des vecteurs de base s'écrivent:
du
dur
   u et
   ur
dt
dt
On en déduit les expressions de la vitesse et de l'accélération:
v  r  ur  r  u et a  r  r 2 ur  r  2r u
v




2)- Par définition, la force de gravitation s'écrit:
M m
F  G t 2 ur
r
à la surface de la terre, cette force peut s'écrire :
M m
soit F  G t 2 ur , soit F  mg0  ur
R
2
On en déduit: G  M t  g0  R ; La force de gravitation s'écrit donc:
R2
 ur
r2
3)- Pour montrer que le module de la vitesse est constant, on peut utiliser les équations de
conservation:
M m
- soit de l'énergie: E p  Ec  constante, avec E p  G t
qui est constante: l'énergie
r0
cinétique est donc constante, par conséquent la vitesse est constante.
- soit du moment cinétique: r0   constante, donc  est constant. Comme la vitesse s'écrit
F  mg 0
r0  , elle est constante.
La vitesse et l'accélération prennent alors la forme simple:
v  r0  u et a  r0 2  ur
4)- La relation fondamentale de la dynamique appliquée au satellite s'écrit:
2
v0
R2
R2
2
2
mg0 2  u r  mr0  u r , soit: g0 2  r0 
r0
r0
r0
On en déduit:
g
v0  R  0
r0
Lorsque le satellite effectue une révolution, il parcourt la distance 2 r0 à la vitesse constante
v0. Il met donc le temps T0 tel que:
2  r0
v0T0  2 r0 soit T0 
v0
En explicitant v0:
2
3/ 2
T0 
 r0
R g0
5)- L'énergie potentielle s'écrit:
E p  G
Mt  m
R2
 mg 0 
r0
r0
et l'énergie mécanique : E0  E p0  EC0  mg0
R2 1
2
 mv0 s'écrit, en explicitant la vitesse:
r0 2
1
R2
E0   mg0
2
r0
6)- Avec les valeurs numériques proposées, on trouve:
v0 = 7,71 km/s
et T0 = 5516 s, soit environ 1h 32 mn
7)- En A, la vitesse passe de v0 à v0   v : l'énergie cinétique passe donc de EC0 
1
2
mv0 à
2
2
1
1
v 
v
2 
:
EC0   EC  m(v0   v)2  mv0  1   , soit, au premier ordre en
2
2
v0 
v0

EC0   EC 
On en déduit:
1
v 
2 
mv0  1  2 
2
v0 

 Ec  mv0   v
1
R2
A son arrivée en A, le satellite a une énergie mécanique E0   mg0
. Après
2
r0
l'accélération qu'il subit, il prend une trajectoire elliptique de demi grand axe a  r0   r . Son
énergie mécanique devient:
1
R2
1
R2
E0   E   mg 0
  mg 0
2
(r0   r )
2
 r 
r0 1  
r0 

1
R2   r 
r
 1   . On en déduit :
: E0   mg0
2
r0 
r0 
r0
2
1
R r
 E  mg0
2
r0 r0
Or, l'accroissement de vitesse se fait très rapidement en A: durant cet accroissement, le
satellite est en A, son énergie potentielle ne varie pas: l'accroissement d'énergie cinétique est
donc égal à l'accroissement d'énergie mécanique. On en déduit:
g R2
1
R2  r
2
mv0   v  mg0
avec 0  v0 , soit:
2
r0 r0
r0
v 1 r

v0 2 r0
8)- La nouvelle période T s'écrit:
3/ 2
2
2
r 
r
3/ 2 
3/ 2
T
(r0   r ) 
 r0 1   soit, au premier ordre en
:
r0
r0 
R g0
R g0

soit, en développant au premier ordre en
 3 r 
T  T0  1 

 2 r0 
On en déduit:
T
3 r
v
3
T0 2 r0
v0
9)- Le satellite S2 est en retard de la distance D sur le satellite S1. Ce retard se traduit par un
retard en temps t, tel que:
D
v0   t  D , soit  t 
v0
Pour qu'au bout d'un tour, S2 rattrape S1, il faut que sa période diminue de t:
D
 T   t  
v0
Il faut donc lui communiquer en A un accroissement de vitesse:
1v
1D
 v  0 T  
3 T0
3 T0
Numériquement, on trouve:
v = -0,6 m/s
Ce résultat appelle deux remarques:on doit ralentir le satellite qui est en retard pour qu'il
rattrape l'autre. Cela semble paradoxal, mais en fait, en le ralentissant en A, on raccourcit sa
trajectoire;
La valeur numérique de la correction est très faible: moins d'un mètre par seconde pour des
satellites lancés à plus de 7 km/s: ce résultat donne une idée de la précision avec laquelle on
doit effectuer les mises sur orbite.

I1)- Dans la mesure où on néglige la force magnétique, l'électron est soumis seulement à la
force électrique: F  e  E .
La relation fondamentale appliquée à un électron de masse m s'écrit:
dv
m
 e  E
dt
La vitesse et le champ électrique sont sinusoïdaux. En adoptant les formes données dans
l'énoncé, la relation précédente s'écrit:
e
E
i  m  v  e  E soit v  
i  m
Si  est la densité volumique de charge des porteurs,   n  e et la densité volumique de
courant s'écrit: j    v . On en déduit:
ne2
ne2
j
 E et la conductivité:  
i  m
i  m
Le fait que la conductivité soit imaginaire pure signifie que la densité de courant et le champ
électrique sont en quadrature. Ainsi, la puissance volumique moyenne dissipée est nulle: le
milieu est non dissipatif, conformément aux hypothèses de départ ( pas de frottement).
2)- Les équations de Maxwell s'écrivent:
divE  0
divB  0
1 E
B
rot E  
rot B  0 j  2
c t
t
Pour établir l'équation de propagation, on élimine B entre ces équation en déterminant le
rotationnel de rotationnel de E :
 B 


1 E 
rot (rot E )  rot 
   (rot B)    0 E  2

t
t 
c t 
 t 
Or, rot (rot E )  grad (divE )  E   E , puisque le champ électrique est à divergence nulle.
On en déduit l'équation de propagation:
 E 1 2 E
E  0

0
t c 2 t 2
2 E
E
2 E
Or, E  E ( y)  ux , donc, E  2  ux  k 2 E ; avec
 i E et
  2 E , l'équation
2
t
t
y
s'écrit:
 2
2 
k

i



E  0
0

c 2 

Cette équation doit être vérifiée quel que soit E non nul. On en déduit l'équation de
dispersion:
2
2
ne2
k 2  2  i0  0 soit, en explicitant : k 2  2  0
0
c
c
m
En introduisant p, et compte tenu du fait que 0 0c 2  1 , l'équation de dispersion s'écrit:
k 
2
 2  p2
c2
Si k2 > 0, k est réel, ily a propagation.
Si k2<0, k est imaginaire pur: il n'y a pas propagation (onde évanescente): c'est le cas si p,
ou f<fp avec f p 
II-
p
.
2
Numériquement, on trouve: fp = 8,074 MHz, ce qui correspond à une longueur d'onde
c
 p  . Numériquement: p = 37,2 m.
fp
Pour qu'il n'y ait pas propagation dans le plasma, l'onde doit avoir une longueur d'onde
supérieure à p.
1)- Pour vérifier que la forme proposée du champ électrique peut être solution de l'équation de
D'Alembert, il suffit de porter cette forme dans l'équation:on a ainsi:
2 E
2 E 2 E
2
2
  2  E
E  2  2  (k  m )  E et
2
t
x
y
En portant dans l'équation, on obtient:
( k 2  m 2 )  E 
2
c2
E  0
égalité réalisée quel que soit E à condition que:
k2 
2
2
 m2
c
2)- Les milieux 1 et 2 sont séparés par une surface portant la charge superficielle . n12 est la
normale unitaire dirigée de 1 vers 2.
2
n1 2
1

Si E1 et E2 sont les camps au voisinage de la surface, respectivement du côté 1 et du côté 2,
on a:
E2  E1 

 n12
0
La discontinuité est donc normale à la surface.
Dans le cas qui nous intéresse, on a en y  0 et y  H  un milieu conducteur parfait dans
lequel le champ électrique est nul. En y  0 et y  H  , le champ, porté par z est tangent aux
surfaces: il ne doit pas subir de discontinuité; on en déduit :
E(0)  E( H )  0 pour toute valeur de x et de t, donc, il faut:
sin(my)  0 en y = 0 et y = H
La première condition est réalisée; la seconde implique, p étant un entier: m  p

H
3)- En explicitant m dans l'expression de k, on a:
k2 
2
c2
 p2
2
H2
Il y a propagation si k est réel, c'est-à-dire si k2>0, soit pour:   p

H
2H
4)- On en déduit: 0  7
, et la longueur d'onde associée: 0 
, soit numériquement:
H
7
0 = 65973 rd/s et 0 = 28,6 km
Pour qu'il y ait propagation, il faut que la longueur 'onde soit inférieure à 0
5)- Lors de communications avec les antipodes, on peut considérer que la propagation dans le
guide d'onde terrestre se fait selon le mode 7. Pour éviter une distorsion trop importante liée à
la grande variation de la vitesse de propagation en limite de bande passante, on se place à des
fréquences nettement supérieures, environ 500 fois plus grandes que la fréquence limite:
 c
f1  500 f 0  500 
0
2
Soit numériquement:
f1 =5,25 MHz
et
1 = 57 m