TD C5 - Correction 1 Propagation d`une onde dans le plasma

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PSI - 2011/2012
TD C5 - Correction
1 Propagation d'une onde dans le plasma interstellaire
2
TD C5 - Correction
3 Propagation d'ondes longitudinales dans un plasma
1. L'onde est plane (à t xé, l'onde prend la même valeur dans les plans x = cste), progressive selon
−
→ (terme de phase en ωt − kx), monochromatique (variations sinusoïdales avec t), longitudinale
u
x
−
→
( E //⃗k).
Pour une onde plane progressive monochromatique, l'équation de Maxwell-Faraday conduit à
−
→
−
→ ⃗k ∧ E −
→
= 0
B =
ω
Le champ magnétique est donc nul pour une telle onde.
3
PSI - 2011/2012
Ainsi u + ec = cste : de l'énergie est sans cesse échangée entre les charges et le champ électromagnétique. Le champ accélère les charges, qui rayonnent ensuite de l'énergie.
4 Propagation dans un métal - eet de peau
→
−
1. Le rapport des amplitudes du "courant de déplacement" ε0 ∂∂tE et du courant de conduction
−
→
−
→
j = γ E est donné par :
→
−
∂E
||ε0
||
∂t = ε0 ω = 2πε0 ν
−
→
γ
γ
||γ E ||
Ce rapport reste très inférieur à 1 pour des fréquences inférieures à 10−18 Hz, ce qui sera
toujours le cas pour les fréquences des phénomènes usuels (même en optique, domaine pour
lequel les ondes ont une fréquence de 1014 Hz environ) :
−
→
∂E
||ε0
||
∂t
−
→ ≪1
||γ E ||
On notera toutefois que ceci ne sera plus vrai pour des rayons X ou des rayons gamma, dont
la fréquence est encore plus élevée
2. (a) Écrivons les équations de Maxwell dans le métal en négligeant le courant de déplacement
devant le courant de conduction, en notation complexe :
−
→
→
ik −
ux· B =0
−
→
→
(M G)
ik −
ux· E =0
−
→
−
→
→
(M F )
ik −
u x ∧ E = iω B
−
→
−
→
→
(M A)
ik −
u ∧ B = µ γE
(M T )
x
0
4
TD C5 - Correction
→
−
L'équation de Maxwell-Faraday permet d'écrire le champ magnétique B sous la forme :
−
→ k−
→
→∧−
B = u
E
x
ω
En réinjectant cette expression dans celle de l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :
i
(
k 2 [−
→)]
→
−
→∧ −
→∧−
u
u
E
= mu0 γ E
x
x
ω
En développant le double produit vectoriel, on obtient :
k2
−i = µ0 γ
ω
La relation de dispersion est donc donnée par :
k 2 = iµ0 γω
(b) On en déduit que le vecteur d'onde est donné par :
√
(
)
π
µ0 γω
1 i
√
k = ±e 4 µ0 γω = ±(1 + i)
=±
+
2
δ δ
i
√
2
.
µ0 γω
où δ =
Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants, on ne garde que la solution
"+". En remplaçant dans l'expression du champ, on obtient directement, en prenant la
partie réelle du champ complexe :
( x)
−
→
→
E = E0 exp −
exp [i (k0 x − ωt)] −
uz
δ
1
où k0 = .
δ
La grandeur δ est appelée profondeur de pénétration car cette grandeur est homogène à
une distance, et correspond à la profondeur typique au-delà de laquelle le champ devient
nul dans le conducteur.
La profondeur de peau reste toujours relativement faible aux fréquences usuelles en électrocinétiques. On remarque que plus la fréquence est grande, plus l'épaisseur de peau est
faible. Pour la réexion d'une onde lumineuse sur un miroir, celle-ci est pratiquement
nulle.
Pour un métal de conductivité innie, δ tend vers 0 : le champ est nul dans un conducteur
parfait.
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