1/ Probabilités 1) Variable aléatoire : loi de probabilité et espérance

Probabilités
1) Variable aléatoire : loi de probabilité et espérance
11) Variable aléatoire discrète :
Définition :
On considère l’ensemble des issues (Univers ) d’une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire X sur cet ensemble, c’est
Cette variable aléatoire est discrète lorsqu’
x1, x2, …, xi, …, xn où xi est la ième valeur possible.
L’ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur xi de la variable aléatoire X est
Exemple : dé à 6 faces, -1 si impair et +1 si pair : aux issues {
D’où la notation :
;
;
} on associe l’évènement
, de même :
12) Loi de probabilité :
Définition :
Définir une loi de probabilité P d’une variable X, c’est
Ainsi, pi =
avec
 pi 
et
Déterminer la loi de probabilité de X, c’est
Valeur
Probabilité
Exemple : avec le dé précédent
13) Espérance d’une variable aléatoire :
Définition :
L’espérance d’une variable aléatoire X est
E(X) =
Exemple : avec le dé précédent E(X) =
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2) Répétition d’expériences identiques et indépendantes :
21) Définitions :
Réaliser une succession d’expériences identiques et indépendantes consiste à
Une issue est
Exemple : 3 lancers de dé cubique, la liste
22) Arbre pondéré et principe multiplicatif :
Soit une expérience aléatoire ayant plusieurs résultats A, B et C.
On représente la répétition des n expériences identiques et
indépendantes par
On note sur les branches les
Propriété :
La probabilité d’une liste de résultats est égale
Exemple : dé cubique lancé deux fois
Probabilité d’obtenir un six puis un autre chiffre :
23) Coefficients binomiaux :
Définition :
On s’intéresse à la répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues E
(Échec) et S (Succès). Le nombre de listes où l’issue S apparaît k fois parmi n résultats est
Exemple : 2 fois face pour 4 lancers de pièce équilibrée
Le nombre de listes est
À la calculatrice : 4  OPTN  PROB  nCr  2  EXE
3) Loi binomiale :
31) Loi de Bernoulli :
Définitions :
Issue
Une épreuve de Bernoulli est
Probabilité
Définir une loi de Bernoulli de probabilité de succès p, c’est
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Succès S
Échec E
Propriété :
En associant au succès le nombre 1 et à l’échec le nombre 0, on obtient :
32) Loi binomiale :
Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on définit la
variable aléatoire X égale
La loi de probabilité de X est nommée
Propriété :
La probabilité d’obtenir une liste de k succès et de n - k échecs à la fin des n épreuves se
calcule en
Les n épreuves se représentent sur
La probabilité d’obtenir une liste de n résultats composée de k
succès et de n - k échecs est égale à
Comme il y a ( ) listes composées de k succès parmi n, la
probabilité d’obtenir k succès est p(X=k) =
Exemple : Une personne a une probabilité p = 0,2 d’acheter un produit.
On cherche à savoir, sur 10 personnes rencontrées, la probabilité qu’il y en ait 4 qui achètent le
produit : p(X=4) =
Théorème admis :
L’espérance de la loi binomiale b(n,p) de paramètres n et p est
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