Mouvement des satellites et des planètes

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Thème : Comprendre
Résumé
Physique
Mouvement des satellites et des planètes
Chap.7
I. Historique
 Animation : Lois de Kepler (CEA)
 Copernic (1473 - 1543) propose un système héliocentrique pour les planètes ainsi que des trajectoires circulaires
pour les planètes. Mais un écart subsiste entre l’observation de Mars et le modèle
 Tycho Brahe (1546 - 1601) effectue des mesures très précises des positions de Mars
 Johannes Kepler (1571 - 1630) va utiliser les mesures de Tycho Brahe pour énoncer ses trois lois.
 Newton, à l’aide de ses lois, va déterminer la masse du corps central
II. Satellite en orbite circulaire autour d’un astre
1. Application de la 2ème loi de Newton
 Système : le satellite de masse m et de centre d’inertie S
 Référentiel : géocentrique supposé galiléen


 Repère : celui de Frenet (O ; ut ; un )
 Force appliquée au système : force d’interaction gravitationnelle
exercée par la Terre T sur le satellite S. Les frottements sont négligés.
L’influence des autres astres aussi.


M  m 
F O/S = - G
u OS avec u OS vecteur unitaire de O vers S
r²



opposé à un donc u OS = - un




d p
ème
 2 loi de Newton :  F ext = F O/S =
= m a car la masse est constante
dt
2. Vecteur accélération



M  m 
M 
 F O/S = G
un = m a soit a = G
u
r²
r² n
 Le vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire)
3. Expression de la vitesse
 Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération a pour expression :



v²
dv
a = aN un + aT ut avec aN = (accélération normale) et aT =
(accélération tangentielle)
r
dt

dv
 La composante tangentielle est nulle car a est centripète soit = 0 d’où v = constante
dt
 Le mouvement d’un satellite sur une trajectoire circulaire est uniforme car sa vitesse est constante.
v²
M
GM
= G d’où v =
r
r²
r
4. Période de révolution T
 La période T de révolution d’un satellite est la durée mise par un satellite pour faire un tour autour de la Terre.
circonférence de l’orbite
2r
r
r3
 T=
=
=2r
soit T = 2 
vitesse du satellite
GM
GM
GM
r
 aN =
r3
4 ²
=
 r3 ; le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du
GM GM
rayon r de l’orbite du satellite.
 Remarque : T² = 4² 
11/01/2016
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III.
Les lois de Kepler
 Ellipse
 Une ellipse est une courbe caractérisée par :
 Ses foyers F et F’ symétriques l’un de l’autre par rapport au point O centre de l’ellipse
 La distance a est nommé demi-grand axe, (et b le demi-petit axe).
M
F
O
2b
F’
2a
 Un point M de l’ellipse vérifie : MF + MF’ = 2a
 Remarque : le cercle est une ellipse particulière pour laquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe et le
demi-axe ont même valeur : a = b = R , rayon du cercle
ère
 1 loi de Kepler : Toutes les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers.
 2ème loi de Kepler ou loi des aires : Pendant des intervalles de temps t égaux la planète balaye des surfaces S
égales de l’ellipse.
 Les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du soleil. Quand elle s’approche de celui-ci leur
vitesse est plus grande !

v
a
a
 Remarque : dans le cas d’une trajectoire circulaire le mouvement est uniforme.
 3ème loi de Kepler ou loi des périodes : Soit T la période de révolution de la planète autour du soleil, et « a » la
longueur du demi-grand axe de l’ellipse. La période de révolution au carré divisée par le demi-grand axe a au cube
est une constante. La période T ne dépend pas de la planète mais uniquement de la masse M du centre attracteur et
de la constante d’attraction universelle G.
 Dans le cas particulier où l’ellipse est un cercle alors a = r
T²
4 ²
4 ²
r3
3
=
soit
T²
=

r
d’où
T
=
2
(démontrée précédemment)
r3 G  M
GM
GM
 Application : Les lois de Kepler expliquent les durées différentes des saisons sur la Terre.
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