Mouvement des satellites et des planètes

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TS
Thème : Comprendre
Résumé
Physique
Mouvement des satellites et des planètes
Chap.7
I. Historique
 Animation : Lois de Kepler (CEA)
 Copernic (1473 - 1543) propose un système héliocentrique pour les planètes ainsi que des trajectoires circulaires
pour les planètes. Mais un écart subsiste entre l’observation de Mars et le modèle
 Tycho Brahe (1546 - 1601) effectue des mesures très précises des positions de Mars
 Johannes Kepler (1571 - 1630) va utiliser les mesures de Tycho Brahe pour énoncer ses trois lois.
 Newton, à l’aide de ses lois, va déterminer la masse du corps central
II. Satellite en orbite circulaire autour d’un astre
1. Application de la 2ème loi de Newton
 Système : le satellite de masse m et de centre d’inertie S
 Référentiel : géocentrique supposé galiléen
 Repère : celui de Frenet (O ; ut ; un)
 Force appliquée au système : force d’interaction gravitationnelle
exercée par la Terre T sur le satellite S. Les frottements sont négligés.
L’influence des autres astres aussi.
FO/S = - G M  m
r²
uOS avec uOS vecteur unitaire de O vers S
opposé à un donc uOS = - un
 2ème loi de Newton :  Fext = FO/S = d
p
dt = m
a car la masse est constante
2. Vecteur accélération
FO/S = G M  m
r²
un = m a soit a = G M
r²
un
 Le vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire)
3. Expression de la vitesse
 Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération a pour expression :
a = aN un + aT ut avec aN = v²
r (accélération normale) et aT = dv dt (accélération tangentielle)
 La composante tangentielle est nulle car a est centripète soit dv
dt = 0 d’où v = constante
 Le mouvement d’un satellite sur une trajectoire circulaire est uniforme car sa vitesse est constante.
 aN = v²
r = G M r² d’où v = G  M
r
4. Période de révolution T
 La période T de révolution d’un satellite est la durée mise par un satellite pour faire un tour autour de la Terre.
 T = circonférence de l’orbite
vitesse du satellite = 2  r
G  M
r
= 2  r  r
G  M soit T = 2  r3
G  M
 Remarque : T² = 4²  r3
G  M = 4 ² G  M  r3 ; le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du
rayon r de l’orbite du satellite.

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III. Les lois de Kepler
 Ellipse
 Une ellipse est une courbe caractérisée par :
 Ses foyers F et F’ symétriques l’un de l’autre par rapport au point O centre de l’ellipse
 La distance a est nommé demi-grand axe, (et b le demi-petit axe).
 Un point M de l’ellipse vérifie : MF + MF’ = 2a
 Remarque : le cercle est une ellipse particulière pour laquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe et le
demi-axe ont même valeur : a = b = R , rayon du cercle
 1ère loi de Kepler : Toutes les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers.
 2ème loi de Kepler ou loi des aires : Pendant des intervalles de temps t égaux la planète balaye des surfaces S
égales de l’ellipse.
 Les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du soleil. Quand elle s’approche de celui-ci leur
vitesse est plus grande !
 Remarque : dans le cas d’une trajectoire circulaire le mouvement est uniforme.
 3ème loi de Kepler ou loi des périodes : Soit T la période de révolution de la planète autour du soleil, et « a » la
longueur du demi-grand axe de l’ellipse. La période de révolution au carré divisée par le demi-grand axe a au cube
est une constante. La période T ne dépend pas de la planète mais uniquement de la masse M du centre attracteur et
de la constante d’attraction universelle G.
 Dans le cas particulier où l’ellipse est un cercle alors a = r
T²
r3 = 4 ²
G  M soit T² = 4 ² G  M  r3 d’où T = 2 r3
G  M (démontrée précédemment)
 Application : Les lois de Kepler expliquent les durées différentes des saisons sur la Terre.
M
F
O
2a
F’
2b
a
v
a