Mouvement des satellites et des planètes
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TS Thème : Comprendre Résumé Physique Mouvement des satellites et des planètes Chap.7 I. Historique Animation : Lois de Kepler (CEA) Copernic (1473 - 1543) propose un système héliocentrique pour les planètes ainsi que des trajectoires circulaires pour les planètes. Mais un écart subsiste entre l’observation de Mars et le modèle Tycho Brahe (1546 - 1601) effectue des mesures très précises des positions de Mars Johannes Kepler (1571 - 1630) va utiliser les mesures de Tycho Brahe pour énoncer ses trois lois. Newton, à l’aide de ses lois, va déterminer la masse du corps central II. Satellite en orbite circulaire autour d’un astre 1. Application de la 2ème loi de Newton Système : le satellite de masse m et de centre d’inertie S Référentiel : géocentrique supposé galiléen Repère : celui de Frenet (O ; ut ; un ) Force appliquée au système : force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre T sur le satellite S. Les frottements sont négligés. L’influence des autres astres aussi. M m F O/S = - G u OS avec u OS vecteur unitaire de O vers S r² opposé à un donc u OS = - un d p ème 2 loi de Newton : F ext = F O/S = = m a car la masse est constante dt 2. Vecteur accélération M m M F O/S = G un = m a soit a = G u r² r² n Le vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire) 3. Expression de la vitesse Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération a pour expression : v² dv a = aN un + aT ut avec aN = (accélération normale) et aT = (accélération tangentielle) r dt dv La composante tangentielle est nulle car a est centripète soit = 0 d’où v = constante dt Le mouvement d’un satellite sur une trajectoire circulaire est uniforme car sa vitesse est constante. v² M GM = G d’où v = r r² r 4. Période de révolution T La période T de révolution d’un satellite est la durée mise par un satellite pour faire un tour autour de la Terre. circonférence de l’orbite 2r r r3 T= = =2r soit T = 2 vitesse du satellite GM GM GM r aN = r3 4 ² = r3 ; le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du GM GM rayon r de l’orbite du satellite. Remarque : T² = 4² 11/01/2016 P07_mouvements_satellites_planetes.doc 1/2 III. Les lois de Kepler Ellipse Une ellipse est une courbe caractérisée par : Ses foyers F et F’ symétriques l’un de l’autre par rapport au point O centre de l’ellipse La distance a est nommé demi-grand axe, (et b le demi-petit axe). M F O 2b F’ 2a Un point M de l’ellipse vérifie : MF + MF’ = 2a Remarque : le cercle est une ellipse particulière pour laquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe et le demi-axe ont même valeur : a = b = R , rayon du cercle ère 1 loi de Kepler : Toutes les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers. 2ème loi de Kepler ou loi des aires : Pendant des intervalles de temps t égaux la planète balaye des surfaces S égales de l’ellipse. Les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du soleil. Quand elle s’approche de celui-ci leur vitesse est plus grande ! v a a Remarque : dans le cas d’une trajectoire circulaire le mouvement est uniforme. 3ème loi de Kepler ou loi des périodes : Soit T la période de révolution de la planète autour du soleil, et « a » la longueur du demi-grand axe de l’ellipse. La période de révolution au carré divisée par le demi-grand axe a au cube est une constante. La période T ne dépend pas de la planète mais uniquement de la masse M du centre attracteur et de la constante d’attraction universelle G. Dans le cas particulier où l’ellipse est un cercle alors a = r T² 4 ² 4 ² r3 3 = soit T² = r d’où T = 2 (démontrée précédemment) r3 G M GM GM Application : Les lois de Kepler expliquent les durées différentes des saisons sur la Terre. 11/01/2016 P07_mouvements_satellites_planetes.doc 2/2
