Plus Grand Commun Diviseur 1 1.1 Troisième Diviseurs et multiples Divisibilité Définitions : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. S’il existe un entier naturel q tel que a=bq, alors on dit que : b est un diviseur de a, b divise a, a est divisible par b, a est multiple de b. Exemple : 8×4=32 donc 8 est un diviseur de 32, 8 divise 32, 32 est divisible par 8, et 32 est un multiple de 8. 1.2 Nombres premiers Définition : Un entier naturel premier est un entier naturel qui possède deux et seulement deux diviseurs, 1 et lui-même. Exemples : 2 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 PGCD Définition : Etant donné deux nombres entiers naturels non nuls a et b, le PGCD de a et de b est le plus grand de tous les diviseurs communs de a et de b. Notation : le PGCD de a et de b se note PGCD( a;b). Exemple : Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Les diviseurs de 40 sont : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 et 40. Les diviseurs communs à 24 et 40 sont : 1, 2, 4 et 8. Donc PGCD( 24;40)=8 3 Algorithme des différences Propriété : (admise) Soient deux nombres entiers naturels non nuls a et b tels que a>b. PGCD( a;b)=PGCD( a−b;b) Exemple : PGCD(60-16;16)=PGCD(44;16)=4 donc PGCD( 60;16)=4. Algorithme Exemple Déterminer PGCD(84;36). On a deux entiers naturels Non Les ranger par ordre décroissant Oui Les nombres sont-ils égaux ? Ce nombre est le PGCD recherché Calculer leur différence a 84 48 36 24 12 b 36 36 12 12 12 a−b 48 12 24 12 0 Le PGCD est la dernière différence non nulle. Remplacer le plus grand des deux par leur différence PGCD(84;36)=12 1/2 4 Algorithme d’Euclide Propriété : (admise) Soient deux nombres entiers naturels non nuls a et b tels que a>b, et soit r le reste de la division euclidienne de a par b. PGCD( a;b)=PGCD( b;r) Exemple : 60=3×16+12. 12 est le reste de la division euclidienne de 60 par 16. PGCD(16;12)=4 donc PGCD(60;16)=4. Exemple Algorithme Déterminer PGCD(1 053;325). On a deux entiers naturels a 1053 325 78 On divise le plus grand par le plus petit Le reste vaut-il zéro ? Non reste 78 13 0 Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD(1 053;325)=13 Oui Le diviseur est le PGCD recherché On divise le diviseur par le reste 5 b 325 78 13 Fractions irréductibles 5.1 Nombres premiers entre eux Définition : Deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est 1. Autrement dit, deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Exemple : Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7 et 21. Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4 et 8. Le seul diviseur commun est 1. Donc 21 et 8 sont premiers entre eux. 5.2 Fraction irréductible Définition : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. 21 est une fraction irréductible. 8 Remarque : Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée. Exemple : 21 et 8 sont premiers entre eux donc 5.3 Rendre une fraction irréductible Méthode : Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Exemple : Simplifier 245 . 175 PGCD(245;175)=35. 245:35=7 et 175:35=5. 2/2 D’où 245 7 = 175 5 et 7 est irréductible. 5