Plus Grand Commun Diviseur

Plus Grand Commun Diviseur Troisième
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1 Diviseurs et multiples
1.1 Divisibilité
Définitions :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. S’il existe un entier naturel q tel que a=bq, alors on dit que :
b est un diviseur de a,
b divise a,
a est divisible par b,
a est multiple de b.
Exemple : 8×4=32 donc 8 est un diviseur de 32, 8 divise 32, 32 est divisible par 8, et 32 est un multiple de 8.
1.2 Nombres premiers
Définition :
Un entier naturel premier est un entier naturel qui possède deux et seulement deux diviseurs, 1 et lui-même.
Exemples :
2 PGCD
Définition :
Etant donné deux nombres entiers naturels non nuls a et b, le PGCD de a et de b est le plus grand de tous
les diviseurs communs de a et de b.
Notation : le PGCD de a et de b se note PGCD(a;b).
Exemple : Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Les diviseurs de 40 sont : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 et 40.
Les diviseurs communs à 24 et 40 sont : 1, 2, 4 et 8.
Donc PGCD(24;40)=8
3 Algorithme des différences
Propriété : (admise)
Soient deux nombres entiers naturels non nuls a et b tels que a>b.
PGCD(a;b)=PGCD(a−b;b)
Exemple : PGCD(60-16;16)=PGCD(44;16)=4 donc PGCD(60;16)=4.
Algorithme Exemple
Déterminer PGCD(84;36).
a b a−b
84 36 48
48 36 12
36 12 24
24 12 12
12 12 0
Le PGCD est la dernière
différence non nulle.
PGCD(84;36)=12
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
On a deux entiers naturels
Les
nombres
sont-ils
égaux ?
Les ranger par
ordre
dé
croissant
Calculer leur
différence
Remplacer le plus grand des
deux par leur différence
Ce nombre est le
PGCD recherché
Non
Oui

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4 Algorithme d’Euclide
Propriété : (admise)
Soient deux nombres entiers naturels non nuls a et b tels que a>b, et soit r le reste de la division euclidienne
de a par b.
PGCD(a;b)=PGCD(b;r)
Exemple : 60=3×16+12. 12 est le reste de la division euclidienne de 60 par 16.
PGCD(16;12)=4 donc PGCD(60;16)=4.
Algorithme Exemple
Déterminer PGCD(1 053;325).
a b reste
1053 325 78
325 78 13
78 13 0
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD(1 053;325)=13
5 Fractions irréductibles
5.1 Nombres premiers entre eux
Définition :
Deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.
Autrement dit, deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Exemple : Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7 et 21.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4 et 8.
Le seul diviseur commun est 1. Donc 21 et 8 sont premiers entre eux.
5.2 Fraction irréductible
Définition :
Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple : 21 et 8 sont premiers entre eux donc
21
8
est une fraction irréductible.
Remarque : Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
5.3 Rendre une fraction irréductible
Méthode :
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Exemple : Simplifier
245
175
.
PGCD(245;175)=35. 245:35=7 et 175:35=5. D’où
245
175
=
7
5
et
7
5
est irréductible.
On a deux entiers naturels
Le reste
vaut-il zéro ?
On divise le diviseur
par le reste
Le diviseur est le
PGCD recherché
Non
Oui
On divise le
plus grand par
le plus petit