1/4 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – (XEULC) Matrices

X Maths PC 2011 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2011 FILIÈREPC
COMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES–(XEULC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Matricesinfinimentdivisibles
Notations:
On désigneparRle corpsdesnombresréelsetparR+l’ensembledesréelspositifsou nuls.
Soitnun entier>1.On désigneparMn(R)l’espace vectorielréeldesmatricescarréesàn
lignesetncolonnes.SiM∈Mn(R),on notedet(M)son déterminant.On désigneparSMn(R)
lesous-espace vectorieldeMn(R)desmatrices symétriques.On noteIn∈Mn(R)lamatrice
identité.OnidentifieRnetl’espace desmatricesànligneset1colonne.
Premièrepartie: lafonctionΓ
1a.Montrerquepour réels>0,lafonctionx7→ e−xxs−1estintégrablesur[0,+∞[.On
posealorsΓ(s)=Z+∞
0
e−xxs−1dx.
1b.CalculerΓ(m)pourmentierstrictementpositif.
1c.MontrerqueΓestcontinuesur]0,+∞[.
2a.Montrerquepour toutentierstrictementpositifmetpourx∈[0,m],Å1−x
mãm
6e−x.
Montrerquelim
m→+∞Å1−x
mãm
=e−x.
2b.MontrerqueZm
0
(1−x
m)mxs−1dx=m!ms s(s+1)···(s+m),pour tout réels>0etpour
toutentierm.(On pourraprocéderparintégrationsparparties successives).
2c.Montrerquepour tout réels>0,Γ(s)=lim
m→+∞
m!ms
s(s+1)···(s+m).
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X Maths PC 2011 — Énoncé 2/4
Deuxièmepartie:matricespositivesetproduitdeHadamard
SoitA=(aij)∈Mn(R).On ditqueAestpositivesiAestsymétrique et
∀X=t(x1,··· ,xn)∈Rn,hX,AXi=tXAX=X
16i,j6n
aijxixj>0
oùh., .idésigneleproduitscalaire euclidienstandardsurRn.
3.SoitA=Çab
bdå∈SM2(R).MontrerqueAestpositivesietseulementsia>0,d>0,
det(A)>0.
4.SoitA=(aij)∈SMn(R).MontrerqueAestpositivesietseulementsisesvaleurspropres
sontdesréelspositifsou nuls.
5.SoitA=(aij)∈SMn(R)unematrice positive,etλ1,··· ,λndesréels.Montrerque,
posantbij=λiλjaij,lamatrice B=(bij)estpositive.
6.SoitHun espace vectorielpréhilbertienréel, pourlequel leproduitscalairededeux
élémentsx,y∈Hestnotéhx,yi.Soientu1,··· ,un∈H.On poseaij=hui,uji.Montrerquela
matrice A=(aij)estpositive.
SoientA=(aij),B=(bij)∈Mn(R).LeurproduitdeHadamardestlamatrice C=(cij)∈
Mn(R)donnépar:cij=aijbij.On désigneracetteopération parlesigne∗:C=A∗B.
7.MontrerquesiA∈SMn(R)estunematrice positive etsiBestunematrice diagonaleà
coefficientsdiagonauxpositifsou nuls,alorsA∗Bestunematrice positive.
8a.MontrerquesiA∈SMn(R)estunematrice positive,ellepeuts’écrire commesomme
dematricesdelaformeYtY=t(y1,··· ,yn)(y1,··· ,yn),oùY=t(y1,··· ,yn)∈Rn.On pourra
commencerparle casoùAestdiagonale.
8b.MontrerquesiA,B∈SMn(R)sontdesmatricespositives,alorsA∗Bestunematrice
positive.
Troisièmepartie:matricesinfinimentdivisibles
OnconsidèremaintenantdesmatricesA=(aij)∈SMn(R)dontlescoefficients sontdes
réelspositifsou nuls.Ilrésultedelaquestion8b.quesiAestpositive,alorspour toutentier
r>0,lamatrice A∗r=(ar
ij)estpositive.On ditqu’unematrice symétriqueAàcoefficientsaij
positifsou nulsestinfinimentdivisiblesipour toutréelr>0,lamatrice (ar
ij)estpositive.On
désigneraencore, lorsquerestun réelstrictementpositif,parA∗rlamatrice (ar
ij).
9a.SoitA∈M2(R)unematrice symétriquepositiveàcoefficientspositifsou nuls.Montrer
qu’elle estinfinimentdivisible.
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X Maths PC 2011 — Énoncé 3/4
9b.SoitA=Ö1 1 0
1 2 1
0 1 1è.MontrerqueAestpositive.Déterminerlesvaleursder>0pour
lesquellesA∗restpositive.
10.MontrerquesiA=(aij)estinfinimentdivisible etsiλ1,··· ,λnsontdesréels strictement
positifs,alorsposantbij=λiλjaij,lamatrice B=(bij)estinfinimentdivisible.
11.SoitAunematrice symétriqueàcoefficientspositifsou nuls.Montrerquesipour tout
entierm>1,A∗1
mestpositive,alorsAestinfinimentdivisible.
12.Soientλ1,... ,λndesréels strictementpositifs.Onformelamatrice C=(cij)avec
cij=1
λi+λj
etonseproposedemontrerqu’elle estinfinimentdivisible.
SoitHl’espace vectorieldesfonctionscontinues surR+àvaleursréelles,dontle carré est
intégrable.OnmunitHdu produitscalaire:pourf,g∈H,hf,gi=Z+∞
0
f(t)g(t)dt.On pose,
pour toutt>0,ui(t)=e−λit.
12a.Calculerhui,ujieten déduirequeCestpositive.
12b.Montrerquepourr>0etα>0,1
αr=1 Γ(r)Z+∞
0
e−tαtr−1dt.
12c.Soit,pourr>0,Hrl’ensembledesfonctionscontinuesusurR+àvaleursréelles
tellesquelafonctiont7→ u(t)2tr−1estintégrablesurR+.Onadmetque c’estun espace vectoriel.
Montrerquesion pose,pouru,v∈Hr,hu,vi=Z+∞
0
u(t)v(t)tr−1dt,onmunitHrd’un produit
scalaire.
12d.MontrerqueCestinfinimentdivisible.
13.Soientλ1,··· ,λndesréels strictementpositifs.Pour16i,j6non posekij=
Γ(λi+λj+1)
Γ(λi+1)Γ(λj+1).Onseproposedemontrerquelamatrice K=(kij)estinfiniment
divisible.
13a.Montrerquekij=lim
m→+∞
1
m.m!
m+1
Y
p=1
(λi+p)(λj+p)
(λi+λj+p).
13b.Montrerquepour toutentierp>1, lamatrice Ç(λi+p)(λj+p)
(λi+λj+p)å16i,j6n
estinfiniment
divisible.Conclure.
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X Maths PC 2011 — Énoncé 4/4
Quatrièmepartie:matricesconditionnellementpositives
On ditqu’unematrice A=(aij)deMn(R)estconditionnellementpositivesielle estsymé-
trique etsipour toutX=t(x1,··· ,xn)∈Rntelquen
P
i=1
xi=0,ona
tXAX=X
16i,j6n
aijxixj>0.
14.Soientλ1,··· ,λndesréels strictementspositifs.Posonsaij=−ln(λi+λj).Montrerque
A=(aij)estconditionnellementpositive.(PourX=t(x1,··· ,xn)∈Rntelquen
P
i=1
xi=0,on
pourraintroduirelafonction définiesurR+par:
f(r)=X
16i,j6n
xixjÇ1
λi+λjår
etutiliserlesrésultatsdelaquestion12.).
15.NotonsJlamatrice deMn(R)dont touslescoefficients sontégauxà 1.SoitB∈
SMn(R).Considéronslesdeuxconditions suivantes:
(i)Bestconditionnellementpositive.
(ii)∀ε>0,∃λ>0telquelamatrice B+εIn+λJestpositive.
Montrerque(ii)implique(i).
Onadmettradanslasuiteque cesdeuxconditions sontenfaitéquivalentes.
16a.OnsupposequeA=(aij)estinfinimentdivisible etquetouslescoefficientsdeAsont
strictementpositifs.Montrerquelamatrice (lnaij)estconditionnellementpositive.
16b.Réciproquement,supposonsquelamatrice B=(bij)estconditionnellementpositive.
Enconsidérantpour toutε>0unematrice C=(cij)=B+εIn+λJcommeau15.,montrer
quepour toutr>0,lamatrice (exp(rcij)) estpositive.En déduirequelamatrice (exp(rbij))
estpositive.
17a.Soientz1,··· ,zndesnombrescomplexes.Montrerquelamatrice (e−|zi−zj|2)estinfini-
mentdivisible.
17b.Soientz1,··· ,zndesnombrescomplexes.Montrerquepour toutt>0, lamatrice de co-
efficients1
t+|zi−zj|2estpositive,puisquelamatrice de coefficients−Z+∞
0
t−1
2|zi−zj|2
t+|zi−zj|2dt
estconditionnellementpositive.
17c.Montrerquelamatrice (e−|zi−zj|)estinfinimentdivisible.
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