BTS-CPI1 E- Probabilité Exercices 4, E1

BTS-CPI1
Exercices 4, E1- Loi à Densité
E- Probabilité
Loi Uniforme :
1
Exercice 1 : La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [−1; 4].
1. Quelle est la probabilité représentée hachurée ?
2. Quelle est la probabilité représentée grisée ?
3. Évaluer graphiquement ces probabilités.
−2
1
−1
2
3
4
Exercice 2 :Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [1; 7]. Déterminer les probabilités
(a) P (4 ≤ X ≤ 5)
(b) P (X = 2)
(c) P (X > 5)
1
Exercice 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [−3; 4].
Représenter la densité de probabilité de X ainsi que le domaine dont
l’aire correspond à P (−1 ≤ X ≤ 2).
−3
−2
1
−1
2
3
4
Exercice 4 : Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0; 10]. Déterminer les probabilités
(a) P (X < 6)
(b) P (3 ≤ X ≤ 8)
(c) P (X ≥ 5)
Exercice 5 : Antoine arrive à l’arrêt du bus sans avoir consulté les horaires. Sur cette ligne, un bus part toutes les huit minutes.
On note X la variable aléatoire donnant, en minutes, le temps d’attente d’Antoine jusqu’au départ du bus.
1. Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2. Calculer la probabilité qu’Antoine attende
(a) moins de deux minutes,
(b) entre trois et six minutes,
(c) plus de cinq minutes.
Loi Normale :
Exercice 6 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale
N (0; 1). On note f la densité de probabilité de X.
0.4
1. Tracer la courbe représentative de f sur [−4; 4].
0.3
2. Hachurer sur cette représentation les régions dont l’aire correspond à
0.2
(a) P (X ≤ −2),
0.1
(b) P (−1 ≤ X ≤ 1, 5),
(c) P (X ≥ 2, 5).
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Exercice 7 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0; 1). En utilisant le fait que P (X ≤ 1) = 0, 841, déterminer sans
calculatrice
(a) P (X < 1)
(b) P (X ≥ 1)
(c) P (X ≤ −1)
(d) P (0 ≤ X ≤ 1)
Exercice 8 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0; 1). Calculer les probabilités
(a) P (X ≤ 1, 35)
(d) P (X ≥ −2, 13)
(b) P (X < −0, 76)
(e) P (−0, 5 < X < 1)
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(c) P (X > 1, 78)
(f) P (−1, 5 ≤ X ≤ 0, 75)
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Exercices 4, E1- Loi à Densité
E- Probabilité
Exercice 9 : Une machine fabrique en grande série des pièces d’acier. Soit X la variable aléatoire qui, à toute pièce choisie au
hasard dans la production hebdomadaire, associe sa longueur en cm. On admet que X suit la loi normale N (10; 0, 0004).
1. Déterminer les probabilités suivantes
(a) P (X ≤ 10, 03),
(b) P (X ≤ 9, 972),
(c) P (9, 972 ≤ X ≤ 10, 03).
2. Déterminer le nombre réel positif a tel que P (10 − a ≤ X ≤ 10 + a) = 0, 8.
Exercice 10 : Lorsqu’un avion atterrit, il est aussitôt pris en charge par les services du contrôle technique et il fait l’objet d’un
entretien dont la durée T , exprimée en minutes, est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 50 et d’écart type 5.
À la fin de l’entretien, l’avion est prêt à décoller.
Les résultats seront donnés à 10−2 près.
1. Un avion atterrit. Calculer la probabilité que le temps d’attente soit supérieur à 50 minutes.
2. Calculer la probabilité pour qu’un avion soit prêt à décoller entre 40 et 60 minutes après son atterrissage.
3. Trouver le nombre t tel que la probabilité d’avoir un temps d’attente entre 50 − t et 50 + t soit au moins égal à 0,99.
Exercice 11 :Une chaîne de supermarchés, spécialisée dans la vente de matériel de bricolage, vend des sacs aux clients pour le
transport des achats.
D’après le fournisseur de sacs, la charge maximale, en kg, qu’un sac peut supporter est une variable aléatoire X qui suit une loi
normale de moyenne 50 et d’écart type 4.
1. Calculer la probabilité de l’événement X ≥ 55, puis celle de l’événement 48 ≤ X ≤ 52, avec la précision permise par les
tables.
2. Calculer le réel r tel que la probabilité de l’événement X < r soit égale à 0,025. Donner l’entier le plus proche de r.
Êtes-vous capable de ....
• Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale N (0; 1), répondre sans calculatrice
(a) P (X > 1, 5) est égale à
(a) 0,5271
(b) 0,0668
(c) 0,9351
(b) P (−1 ≤ X ≤ 1) est égale à
(a) 2P (X < 1) − 1
(b) 1 − P (X < −1)
(c) 1 − 2P (X > 1)
(d) 1 − 2P (X ≤ −1)
• Une machine fabrique des disques. La variable aléatoire X qui associe à chaque disque son diamètre suit la loi normale de
moyenne m = 100 et d’écart type σ = 3
(a) On prélève au hasard un disque, il est conforme si son diamètre est compris entre 94,75 et 105,7. La probabilité que ce
disque soit conforme est
(a) 0,9512
(b) 0,9312
(b) Le réel a tel que P (100 − a ≤ X ≤ 100 + a) = 0, 97 est
(a) 6,51
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(b) 5,37
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E- Probabilité
Exercices 4, E1- Loi à Densité
D’après BTS : Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante et sauf indication contraire les
résultats approchés sont arrondis à 10−2 .
Première Partie : Loi Normale
Un usine fabrique, en grand equantité, des rondelles d’acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres.
Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l’intervalle [89, 6; 90, 4].
1. On note X, la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On
suppose que la variable aléatoire X, suit la loi normale de moyenne 90 et d’écart type σ = 0, 17.
Calculer la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme.
2. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : il est envisagé de modifier le réglage des machines
produisant les rondelles.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production future, associera son diamètre.
On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d’écart type σ1 .
Déterminer σ1 pour que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le
diamètre soit égale à 0,99.
Deuxième Partie : Loi Binomiale
On note E l’événement "une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux". On suppose que
P (E) = 0, 02.
On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l’on
puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire Y1 qui, à tout prélèvement de quatre rondelles, associe le nombre de rondelles ayant un diamètre
défectueux.
1. Justifier que Y1 suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement aucune rondelle n’ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10−3
près.
3. Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10−3
près.
Troisième Partie : Approximation d’une Loi Binomiale par une Loi Normale
Les rondelles sont commercialisées par lots de 1000.
On prélève au hasard un lot de 1000 dans un dépôt de l’usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 rondelles.
On considère la variable aléatoire Y2 qui, à tout prélèvement de 1000 rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi
ces 1000 rondelles.
On admet que la variable aléatoire Y2 suit la loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0, 02.
On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y2 par la loi normale de moyenne 20 et d’écart type 4,43.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d’écart type 4,43.
1. Justifier les paramètres de cette loi normale.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de 1000 rondelles, c’est à dire calculer
P (Z ≤ 15, 5).
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