Ch 03 Matrices et Suites
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Ch. 03 MATRICES et SUITES
I Notion de matrice
Définition
Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes, de taille (n, p) ou
n×p
.
Notation
La matrice M ci-dessous peut être notée
M=(aij )
aij
désigne le coefficient situé à la i-ème ligne
et à la j-ième colonne.
M=
a11 a1ja1p
 
ai1aij aip
 
an1anj anp
"
#
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
Remarques
! Si n = p, alors M est une matrice carrée d’ordre n.
! Si p = 1, alors M est une matrice ou vecteur colonne.
! Si n = 1, alors M est une matrice ou vecteur ligne.
! La matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle :
elle se note
0n
.
! Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients
de la diagonale, est appelée matrice diagonale.
! La matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est
appelée matrice identité d’ordre n et est notée
In
:
I3=
100
010
001
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
I4=
1000
0100
0010
0001
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
.
Propriété
Dire que deux matrices sont égales signifie que :
Elles ont la même taille.
Les nombres qui occupent la même position dans chaque matrice sont égaux deux à deux.
Ch 03 Matrices et Suites
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II Opérations sur les matrices
Addition, différence de deux matrices
A et B désignent deux matrices de même format. La somme des matrices A et B, notée A + B, est la
matrice obtenue en additionnant deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
La différence des matrices A et B, notée A - B, est la matrice obtenue en soustrayant deux à deux les
coefficients qui occupent la même position.
Exemple
A=
25 3
1 7 2
4 5 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
et
B=
3 1 2
4 0 6
13 9
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
. Calculer A + B et AB.
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Multiplication d’une matrice par un réel
Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice, notée kA, obtenue en multipliant chaque
coefficient de A par k.
Exemple
A=
25 3
1 7 2
4 5 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
. Calculer 3A.
Produit de deux matrices
Le produit d’une matrice A de dimension
m×p
par une matrice B de dimension
p×n
est une
matrice, notée
A×B
, de dimension
m×n
.
Exemple
1°)
A=
2 3
1 4
25
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
et
B=
3 2
11
#
$
%
&
'
(
. 2°)
A=
2 3 1
2 4 0
5 1 1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
et
B=
3 2 1
2 5 2
3 2 1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
.
Calculer
A×B
.
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Propriétés (admises)
n désigne un entier naturel non nul. A, B, C sont trois matrice carrées d’ordre n.
! Distributivité :
(A+B)×C=A×C+B×C
C×(A+B)=C×A+C×B
.
! Associativité :
A×(B×C)=(A×B)×C
.
! Multiplication par un réel k :
k×(A×B)=(k×A)×B=A×(k×B)
.
! Matrice identité :
A×In=In×A=A
.
III – Matrice unité ou matrice identité d’ordre n
Définition
n désigne un nombre entier naturel,
n2
. La matrice unité In est la matrice carrée d’ordre n qui
contient des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
Pour toute matrice carrée A d’ordre n,
A×In=In×A=A
.
IV Matrice inverse d’une matrice carrée
Définition
A est une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice carrée
A'
d’ordre n telle que
A'×A=In
,
on dit que
A'
est la matrice inverse de A et on la note
A1
.
La matrice
A1
est unique si elle existe et
A×A1=A1×A=In
.
Le calcul de
A1
se fait habituellement à la calculatrice.
Exemple
A=
25 3
1 7 2
4 5 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
. Calculer
A1
.
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V Résolution d’un système d’inéquations
Exemple
(S) est le système de deux équations à deux inconnues
2x3y=1
5x+7y=3
#
$
%
.
Avec
A=
23
5 7
#
$
%
&
'
(
,
X=x
y
"
#
$
%
&
'
et
B=
1
3
#
$
%
&
'
(
. Le système (S) s’écrit :
A×X=B
.
Propriété
A est une matrice carrée qui admet une matrice inverse
A1
. Le système d’équations linéaires dont
l’écriture matricielle est
A×X=B
admet une solution unique :
X=A1×B
. Il est important de
bien respecter le sens des opérations.
Exemple
Résoudre le système à trois inconnues
x+yz=2
x+y+z=4
2xy+z=5
#
$
%
&
%
.
VI – Puissance n-ième d’une matrice carrée
Définition
Soit un entier naturel n et soit une matrice carré A. La puissance n-ième de A, est la matrice :
An=A×A×A××A
n facteurs
Remarque
An+1=An×A=A×An
.
Conséquence
Pour tous entiers naturels n et p et pour toute matrice carrée A :
An×Ap=An+p
.
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