Ch. 03 MATRICES et SUITES

Ch 03 Matrices et Suites
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Ch. 03 MATRICES et SUITES
I – Notion de matrice
Définition
Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes, de taille (n, p) ou
€
n×p
.
Notation
La matrice M ci-dessous peut être notée
€
M=(aij )
où
€
aij
désigne le coefficient situé à la i-ème ligne
et à la j-ième colonne.
€
M=
a11 a1ja1p
ai1aij aip
an1anj anp
"
#
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
Remarques
! Si n = p, alors M est une matrice carrée d’ordre n.
! Si p = 1, alors M est une matrice ou vecteur colonne.
! Si n = 1, alors M est une matrice ou vecteur ligne.
! La matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle :
elle se note
€
0n
.
! Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients
de la diagonale, est appelée matrice diagonale.
! La matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est
appelée matrice identité d’ordre n et est notée
€
In
:
€
I2=
1 0
0 1
"
#
$
%
&
'
€
I3=
100
010
001
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
€
I4=
1000
0100
0010
0001
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
.
Propriété
Dire que deux matrices sont égales signifie que :
• Elles ont la même taille.
• Les nombres qui occupent la même position dans chaque matrice sont égaux deux à deux.

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II – Opérations sur les matrices
Addition, différence de deux matrices
A et B désignent deux matrices de même format. La somme des matrices A et B, notée A + B, est la
matrice obtenue en additionnant deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
La différence des matrices A et B, notée A - B, est la matrice obtenue en soustrayant deux à deux les
coefficients qui occupent la même position.
Exemple
€
A=
2−5 3
1 7 −2
4 5 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
et
€
B=
3 1 −2
4 0 6
−1−3 9
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
. Calculer A + B et A – B.

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Multiplication d’une matrice par un réel
Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice, notée kA, obtenue en multipliant chaque
coefficient de A par k.
Exemple
€
A=
2−5 3
1 7 −2
4 5 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
. Calculer 3A.
Produit de deux matrices
Le produit d’une matrice A de dimension
€
m×p
par une matrice B de dimension
€
p×n
est une
matrice, notée
€
A×B
, de dimension
€
m×n
.
Exemple
1°)
€
A=
2 3
−1 4
2−5
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
et
€
B=
3 2
1−1
#
$
%
&
'
(
. 2°)
€
A=
2 3 1
−2 4 0
5 1 −1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
et
€
B=
−3 2 −1
2 5 −2
3 2 1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
.
Calculer
€
A×B
.

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Propriétés (admises)
n désigne un entier naturel non nul. A, B, C sont trois matrice carrées d’ordre n.
! Distributivité :
€
(A+B)×C=A×C+B×C
€
C×(A+B)=C×A+C×B
.
! Associativité :
€
A×(B×C)=(A×B)×C
.
! Multiplication par un réel k :
€
k×(A×B)=(k×A)×B=A×(k×B)
.
! Matrice identité :
€
A×In=In×A=A
.
III – Matrice unité ou matrice identité d’ordre n
Définition
n désigne un nombre entier naturel,
€
n≥2
. La matrice unité In est la matrice carrée d’ordre n qui
contient des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
Pour toute matrice carrée A d’ordre n,
€
A×In=In×A=A
.
IV – Matrice inverse d’une matrice carrée
Définition
A est une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice carrée
€
A'
d’ordre n telle que
€
A'×A=In
,
on dit que
€
A'
est la matrice inverse de A et on la note
€
A−1
.
La matrice
€
A−1
est unique si elle existe et
€
A×A−1=A−1×A=In
.
Le calcul de
€
A−1
se fait habituellement à la calculatrice.
Exemple
€
A=
2−5 3
1 7 −2
4 5 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
. Calculer
€
A−1
.

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V – Résolution d’un système d’inéquations
Exemple
(S) est le système de deux équations à deux inconnues
€
2x−3y=1
5x+7y=−3
#
$
%
.
Avec
€
A=
2−3
5 7
#
$
%
&
'
(
,
€
X=x
y
"
#
$
%
&
'
et
€
B=
1
−3
#
$
%
&
'
(
. Le système (S) s’écrit :
€
A×X=B
.
Propriété
A est une matrice carrée qui admet une matrice inverse
€
A−1
. Le système d’équations linéaires dont
l’écriture matricielle est
€
A×X=B
admet une solution unique :
€
X=A−1×B
. Il est important de
bien respecter le sens des opérations.
Exemple
Résoudre le système à trois inconnues
€
x+y−z=2
−x+y+z=4
2x−y+z=−5
#
$
%
&
%
.
VI – Puissance n-ième d’une matrice carrée
Définition
Soit un entier naturel n et soit une matrice carré A. La puissance n-ième de A, est la matrice :
€
An=A×A×A×…×A
n facteurs
Remarque
€
An+1=An×A=A×An
.
Conséquence
Pour tous entiers naturels n et p et pour toute matrice carrée A :
€
An×Ap=An+p
.