Ch. 03 MATRICES et SUITES

Ch. 03 MATRICES et SUITES
I – Notion de matrice
Définition
Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes, de taille (n, p) ou n × p .
Notation
La matrice M ci-dessous peut être notée M = (aij ) où aij désigne le coefficient
€situé à la i-ème ligne
et à la j-ième colonne.
⎛ a11  a1 j  a1p ⎞
⎜
⎟ €



⎜
⎟
aij
aip ⎟
M = ⎜ ai1
⎜
⎟

 ⎟
⎜ 
⎜ a  a  a ⎟
⎝ n1
nj
np ⎠
€
Remarques
Ø Si n = p, alors M est une matrice carrée d’ordre n.
€
Ø Si p = 1, alors M est une matrice ou vecteur colonne.
Ø Si n = 1, alors M est une matrice ou vecteur ligne.
Ø La matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle :
elle se note 0 n .
Ø Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients
de la diagonale, est appelée matrice diagonale.
€
Ø La matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est
appelée matrice identité d’ordre n et est notée In :
⎛1 0⎞
I2 = ⎜
⎟
⎝0 1⎠
€
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
I3 = ⎜0 1 0⎟ €
⎜
⎟
⎝0 0 1⎠
⎛1
⎜
0
I4 = ⎜
⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
0
0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
.
0⎟
⎟
1⎠
Propriété
€ sont égales signifie que :
Dire que deux matrices
€
• Elles ont la même taille.
• Les nombres qui occupent la même position dans chaque matrice sont égaux deux à deux.
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II – Opérations sur les matrices
Addition, différence de deux matrices
A et B désignent deux matrices de même format. La somme des matrices A et B, notée A + B, est la
matrice obtenue en additionnant deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
La différence des matrices A et B, notée A - B, est la matrice obtenue en soustrayant deux à deux les
coefficients qui occupent la même position.
Exemple
⎛ 2
⎜
A = ⎜ 1
⎜
⎝ 4
€
⎛ 3 1 −2⎞
−5 3 ⎞
⎟
⎜
⎟
7 −2⎟ et B = ⎜ 4 0 6 ⎟ . Calculer A + B et A – B.
⎟
⎜
⎟
5
2 ⎠
⎝ −1 −3 9 ⎠
€
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Multiplication d’une matrice par un réel
Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice, notée kA, obtenue en multipliant chaque
coefficient de A par k.
Exemple
⎛ 2
⎜
A = ⎜ 1
⎜
⎝ 4
−5 3 ⎞
⎟
7 −2⎟ . Calculer 3A.
⎟
5
2 ⎠
Produit de deux matrices
€
Le produit d’une matrice A de dimension m × p par une matrice B de dimension p × n est une
matrice, notée A × B , de dimension m × n .
Exemple
€
⎛ 2
3 ⎞
€ ⎜
⎛€
3 2 ⎞
⎟
1°) A = ⎜ −1 4 ⎟ et B = ⎜
⎟ .
⎝1 −1⎠
⎜
⎟
⎝ 2 −5⎠
€
⎛ 2 3 1 ⎞
⎛ −3 2 −1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2°) A = ⎜ −2 4 0 ⎟ et B = ⎜ 2 5 −2⎟ .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 5 1 −1⎠
⎝ 3 2 1 ⎠
Calculer A × B .
€
€
€
€
€
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Propriétés (admises)
n désigne un entier naturel non nul. A, B, C sont trois matrice carrées d’ordre n.
Ø Distributivité : (A + B) × C = A × C + B × C
C × (A + B) = C × A + C × B .
Ø Associativité : A × (B × C) = (A × B) × C .
€
Ø Multiplication par un réel k : k × (A × B) = (k × A) × B = A × (k × B) .
€
Ø Matrice identité : A × In = In × A = A .
€
€
III – Matrice unité ou matrice identité d’ordre n
€
Définition
n désigne un nombre entier naturel, n ≥ 2 . La matrice unité In est la matrice carrée d’ordre n qui
contient des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
Pour toute matrice carrée A d’ordre n, A × In = In × A = A .
€
€
IV – Matrice inverse
d’une matrice carrée
Définition
A est une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice carrée A' d’ordre n telle que A' × A = In ,
on dit que A' est la matrice inverse de A et on la note A −1.
La matrice A −1 est unique si elle existe et A × A −1 = A€−1 × A = In .
€
−1
Le
€
€ calcul de A se fait habituellement à la calculatrice.
€
Exemple
⎛ 2
€⎜
A = ⎜ 1
⎜
⎝ 4
€
−5 3 ⎞
⎟
−1
7 −2⎟ . Calculer A .
⎟
5
2 ⎠
€
€
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V – Résolution d’un système d’inéquations
Exemple
⎧2x − 3y = 1
(S) est le système de deux équations à deux inconnues ⎨
.
⎩5x + 7y = −3
⎛2 −3⎞
⎛ x ⎞
⎛ 1 ⎞
Avec A = ⎜
⎟ , X = ⎜ ⎟ et B = ⎜ ⎟ . Le système (S) s’écrit : A × X = B .
⎝5 7 ⎠
⎝ y ⎠
⎝ −3⎠
€
Propriété
€ −1
matrice carrée
€ A est une €
€ qui admet une matrice inverse A . Le système d’équations linéaires dont
l’écriture matricielle est A × X = B admet une solution unique : X = A −1 × B . Il est important de
bien respecter le sens des opérations.
Exemple
€
€
€
⎧ x + y − z = 2
⎪
Résoudre le système à trois inconnues ⎨ −x + y + z = 4 .
⎪
⎩2x − y + z = −5
€
VI – Puissance n-ième d’une matrice carrée
Définition
Soit un entier naturel n et soit une matrice carré A. La puissance n-ième de A, est la matrice :
An = 
A ×A
×
A×
A

…
×

n facteurs
Remarque
A n +1 = A n × A = A × A n .
€
€
Conséquence
Pour tous entiers naturels n et p et pour toute matrice carrée A : A n × A p = A n + p .
€ Suites
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Cas de matrices diagonales
⎛ a1 0  0 ⎞
⎜
⎟
0 a2   ⎟
⎜
Soit une matrice diagonale A d’ordre k : A =
. Pour tout entier naturel n :
⎜    0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0  0 ak ⎠
⎛ a1n
⎜
0
n
A = ⎜
⎜ 
⎜
⎝ 0
€
0  0 ⎞
⎟
a2n   ⎟
.
  0 ⎟
⎟
 0 akn ⎠
€
Dans le cas général, il n’existe pas de formule pour calculer A n , il est possible d’utiliser le
raisonnement par récurrence ou des propriétés particulières de la matrice A.
€
VII – Exemples d’études d’une suite de matrices
Théorème
Soit une matrice carrée A dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.
(1) Si les sommes des coefficients de chaque colonne de A sont égales à 1, alors :
☞ Il existe une matrice colonne U à coefficients positifs ou nuls (unique si tous les
coefficients de A sont non nuls), de somme égale à 1, telle que A × U = U .
☞ Pour toute matrice colonne U 0 à coefficients positifs ou nuls, de somme égale à 1, on
définit la suite (U n ) sur IN par U n +1 = A × U n .
€
☞ Si la suite de matrices (U n ) converge alors sa limite U vérifie : A × U = U (la
€
convergence est assurée si aucun coefficient de A n’est nul).
€
€
€
€
(2) Si les sommes des coefficients de chaque colonne de A sont strictement inférieures à 1,
alors la suite (An) converge vers la matrice nulle.
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