Fiche Mémo TRIGONOMETRIE 1. Savoir convertir des angles de degrés en radians et réciproquement Les angles se mesurent en radians ou en degrés. Un tour complet fait 2 radians ou 360°. Un angle droit est un quart de tour il vaut 2 rd ou 90° Enoncé : Convertir 4rd en degrés puis convertir 100° en radians. On a 2 rd = 360° soit 1rd= 180/ ° donc 4rd= 720/ On a 1°=2 /360 rd donc 100°=200 / 360rd rd 2. Connaître les lignes trigonométriques usuelles Les deux fonctions trigonométriques essentielles sont le sinus et le cosinus ; elles sont définies sur R et périodiques de période 2 . Soit x un réel compris entre 0 et 2 et A le point du cercle de centre O et de rayon 1 tel que l’angle (OJ, OA) mesure x en radians, alors, cos x est l’abscisse de A et sin x son ordonnée. cos x= cos(OJ,OA) = mesure algébrique de OP sin x = sin (OJ,OA) = mesure algébrique de OQ Q A O P J La fonction tangente est le quotient de sin par cos c’est donc une fonction définie lorsque le cosinus est non nul c'est-à-dire sur On a : . (C’est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OPA.) Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant : Mesure en rd Mesure en ° cos sin tan 0 30° 60° Mesure en rd Mesure en ° cos sin tan 0 0° 30° 45° 60° 90° 1 0 0 /2 1/2 1/2 0 1 Non def. 1/ /2 /2 1 /2 Lignes trigonométriques d’angles associés On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes. Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant Mesure en rd Mesure en ° sin cos tan 120° 150° 240° Solution Mesure en rd Mesure en ° 120° cos 135° 150° -1/2 - 180° 240° 270° /2 -1 -1/2 330° 360° 0 1 sin 1/2 /2 0 -1 -1/2 0 tan - -1 -1/ 0 non déf. - 0 Formules d’addition et de différence Enoncé Touver l’amplitude A (nombre réel positif) et la phase nombreréelde sorte que : Asin(t + sin(t) + 2cos(t) Solution A sin(t + ) = A[cossint +sincost ]= sin(t) + 2cos(t) On cherche donc A et tels que a Acos et Asin Donc : tan =1/ donc =/6 et A2= 16 donc A=4. Trigonométrie dans le triangle rectangle Dans le triangle ITR rectangle en I, on a : 𝑐𝑜𝑠𝑅 = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐼𝑅 = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑅𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑅 = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝐼𝑇 = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑅𝑇 𝑡𝑎𝑛𝑅 = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝐼𝑇 = 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐼𝑅 Le projeté orthogonal du segment RT sur la droite (IR) est IR. On a 𝐼𝑅 = 𝑅𝑇𝑐𝑜𝑠𝑅 = 𝑅𝑇𝑠𝑖𝑛𝑇 Trigonométrie dans le triangle quelconque Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. a sin Aˆ b sin Bˆ c sin Cˆ Cette propriété est appelée loi des sinus. souvent Le projeté orthogonal du segment RT sur la droite (IR) vaut IR= RT cos Enoncé 1. La longueur AB mesure 130m, l’angle en B mesure 39°. Quelle est la longueur du projeté orthogonal de AB sur BC ? Enoncé 2 Déterminer les longueurs m et n des côtés LN et LM du triangle LMN ci-contre pour MN = 15 cm. N = 45° ; M = 105°. Solution de l’exercice 1 La longueur du projeté orthogonal de AB sur BC est la longueur de BC Or, le triangle ABC est rectangle en C, on a donc : 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐵 = = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 𝐵𝐴 Donc BC = AB* cos 𝐵= 130*cos(39°) 101,03m (39°) 101,03m Solution de l’exercice 2 Le troisième angle du triangle mesure 30° (puisque la somme des angles fait 180°) Donc d’après la loi des sinus, on a LM LN 15 . sin 45 sin 105 sin 30 Donc LM = 2 15 15 2 16.73cm 2 12.24cm et LN = 0.97 2 3 3