144. On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ce dé est truqué de façon
que les probabilités d'obtenir 1, 2, 3, 4, 5 et 6 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique
de raison 2.
a) Quelles sont les probabilités d'obtenir chacune des faces en lançant une fois le dé ?
b) On lance deux fois le dé et l'on note le couple de points obtenu. Soit U l'ensemble des
couples possibles et X la variable aléatoire qui, à chaque couple, fait correspondre la somme
de ses éléments.
(1) Déterminer P, la loi de probabilité de X, et F, la fonction de répartition de X.
(2) Calculer P{2 < X < 6}, F(4) et E(X).
145. On considère deux variables aléatoires indépendantes, X et Y. X prend les valeurs 0 et 1 avec des
probabilités respectives 1/2 et 1/2. Y prend les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités respectives 1/4,
1/4 et 1/2.
a) Calculer les espérances mathématiques E(X) et E(Y).
b) Calculer la loi de probabilité de Z = X + Y, c'est-à-dire calculer P{Z = k}, où k est un entier
naturel, variant de 1 à 4. Calculer l'espérance mathématique E(Z).
146. Dans une urne, on place trois boules identiques numérotées de 1 à 3. On tire une boule au hasard.
•Si un nombre différent de 3 apparaît, on remet la boule dans l'urne et l'on tire à nouveau une
boule au hasard. On désigne par X le nombre porté par cette dernière boule.
•Si le nombre 3 apparaît, on remet la boule dans l'urne et l'on procède à deux tirages au
hasard, successifs, en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne. On désigne par X la
somme des nombres obtenus lors des deux derniers tirages.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir X = 3 et X = 4 ?
b) Quelle est la probabilité que la première boule tirée ait porté un nombre différent de 3, si l'on
sait que X = 1 ? Même question pour X = 2, et pour X = 3.
c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
d) Calculer l'espérance mathématique, E(X).
e) Chaque point tiré rapporte un gain de 10 francs. Soit Y le gain obtenu après chaque essai.
Calculer E(Y).
147. On considère un dé à six faces tel que une face est marquée 1, deux faces sont marquées 2 et trois
faces sont marquées 3.
Chaque face a la même probabilité d'apparaître. On lance le dé deux fois de suite (en admettant que
les deux lancers sont indépendants).
On appelle X la variable aléatoire réelle qui, à un couple de numéros (obtenu par deux lancers
successifs), fait correspondre la somme de ces numéros.
a) Déterminer la loi de probabilité de X, puis sa fonction de répartition.
b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.
148. Un vendeur estime que la probabilité qu'il réalise une vente lorsqu'il appelle un client est de 0,2. Il
reçoit une prime de 100 francs pour chacune des deux premières ventes de chaque jour. Il reçoit
un montant de 200 F pour chacune des ventes suivantes réalisées dans la même journée.
En supposant qu’il appelle 6 clients par jour,
a) quel est son gain quotidien espéré ?
b) quel est l'écart-type du gain quotidien ?
c) quelle est la probabilité que son gain soit à plus d'un écart-type de l'espérance ?
149. Un homme lançant une fléchette sur une cible reçoit 10 points si sa flèche est à moins de 1 cm du
centre de la cible, 5 points si elle s'en éloigne de 1 à 3 cm et 3 points si elle s'en éloigne de 3 à 5
cm. Trouver l'espérance du nombre de ses points si les lancers sont distribués aléatoirement sur la
cible dont le rayon est de 8 cm.
150. Une compagnie d'assurance établit un contrat stipulant qu'une somme d'argent A doit être versée si
un événement E se produit dans un intervalle d'un an. La compagnie estime que la probabilité que
E se produise en l'espace d'un an est p.
Comment calculer la prime d'assurance x de façon que le bénéfice représente 10% de A ?