Trigonométrie

Trigonométrie
1 Trigonométrie, notion et définition
1.1 Vocabulaire sur les triangles rectangles.
Dans le triangle rectangle suivant, on a le vocabulaire suivant :
[AB] est le côté adjacent à l’angle A
[BC] est le côté opposé à l’angle A
[AC] est l’hypoténuse du triangle
AB
C
Remarque 1
[BC] est le côté opposé à l’angle A, mais c’est aussi le côté adjacent à l’angle C. De même le côté [AB] est le côté adjacent à
l’angle A, mais c’est aussi le côté opposé à l’angle C.
Dans les triangles suivants, dire quel est le côté opposé et le côté adjacent de l’angle marqué en rouge. Indiquer également
l’hypoténuse.
IK
J
N
M
OAB
C
le côté opposé ................................... ................................... ...................................
le côté adjacent ................................... ................................... ...................................
l’hypoténuse ................................... ................................... ...................................
1.2 Trigonométrie, remarque intéressante
coller la feuille ici
Remarque 2 justification de la trigonométrie
On a vu dans l’activité que dans un triangle rectangle, que quand on divise deux côtés d’un
triangle rectangle, on obtient un nombre qui ne dépend pas de la taille du triangle mais uni-
quement des angles du triangle.
Ceci est justifié par le théorème de Thalès.
De manière générale, dans un triangle rectangle, quand on divise le côté adjacent d’un
angle par l’hypoténuse on obtient un résultat qui ne dépend que de l’angle. On dit
que ce résultat est le cosinus de l’angle.

Exemple 1 cosinus d’un même angle dans deux triangles différents
AB
45˚
C
DE
45˚
F
Dans le grand triangle le résultat de AB
AC donne le même résultat que DE DF dans le petit tri-
angle.
En effet, le calcul du cosinus ne dépend pas de la taille du triangle mais uniquement
de l’angle.
Or l’angle est le même dans les deux triangles donc le calcul du cosinus donne le même
résultat, même si l’un des triangles est plus grand.
1.3 Trigonométrie, définition
Définition 1 cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
De la même manière que le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent à l’angle
par l’hypoténuse,
on définit le sinus de l’angle comme le quotient du côté opposé par l’hypoténuse.
Enfin, on définit la tangente de l’angle comme le quotient du côté opposé à l’angle par
le côté adjacent à l’angle.
Autrement dit : dans un triangle ABC, rectangle en B, on a :
cos ˆ A=AB
AC sin ˆ
A=BC
AC tan ˆ
A=BC
AB
Autrement dit :
cosinus =adjacent
hypotenuse sinus =oppose hypotenuse tangente =oppose adjacent

Exemple 2 Dans chacun des triangles suivants calculer le cosinus de l’angle marqué en rouge.
IK
J
4cm
3cm
5cm
N
M
O
12cm5cm
13cm
AB
C
5cm
5cm 5×√2cm
le cosinus .................................. .................................. ..................................
le sinus .................................. .................................. ..................................
la tangente .................................. .................................. ..................................
Remarque 3 Pour se souvenir c’est facile, il suffit de penser à quelqu’un....
Cosinus =Adjacent
Hypotnuse Sinus =Oppos Hypotnuse Tangente =Oppos Adjacent
Autrement dit : CAH SOH TOA.

2 Utilisation de la trigonométrie
2.1 Situation simple,calcul de la longueur d’un côté
Exemple 3 la trigonométrie pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle
FH=6 cm 65
FG
H
Méthode : on dispose de l’angle b H, de
l’hypoténuse F H = 6cm et on cherche le
côté adjacent à l’angle. On va donc utiliser
le cosinus de b H.
cos b H=GH
F H
cos 65 = GH
6
cos 65
1=GH 6
HG = 6 ×cos 65 ÷1
HG = 6 ×cos 65 ÷1'
Exemple 4 dans chaque cas, trouver les longueurs demandées
IK
J
IJ = 5cm
b
I= 30
N
M
G
GN = 12cm
b
N= 40 AB
C
AB = 7cm
b
C= 45
Calculer IK Calculer GM Calculer AC
......................... ......................... .........................
......................... ......................... .........................
......................... ......................... .........................
......................... ......................... .........................
cos ˆ I=IK
IJ sin ˆ
N=GM
GN tan ˆ
C=AB
AC
cos 30 = IK
5sin 40 = GM 12 tan 45 = 7 AC
cos 30
1=IK 5
sin 40
1=GM 12
tan 45
1=7 AC
IK = 5 ×cos 30 ÷1'... GM = 12×sin 40÷1'... AC = 1 ×7÷tan 45 '...
2.2 Situation simple,calcul d’un angle
Exemple 5 la trigonométrie pour calculer un angle dans un triangle rectangle
Dans le triangle suivant calculer ˆ G.

7 cm
15 cm
A
B
G
90˚
Méthode
on dispose du côté adjacent à l’angle
ˆ
Gainsi que de l’hypoténuse. On va donc
utiliser le cosinus de l’angle ˆ G.
cos ˆ G=GA
GB
cos ˆ G=7
15
en utilisant la touche arccos de la
calculatrice on obtient que ˆ G'....
Exemple 6 dans chaque cas, trouver les angles demandées
IK
J
IJ = 10cm
IK = 8cm
N
M
G
GN = 15cm
GM = 9cm
AB
C
AB = 12cm
AC = 15cm
Calculer b ICalculer b NCalculer b C
......................... ......................... .........................
......................... ......................... .........................
......................... ......................... .........................
......................... ......................... .........................
cos ˆ I=IK
IJ sin ˆ
N=GM
GN tan ˆ
C=AB
AC
cos ˆ I=8
10 sin ˆ
N=9
15 tan ˆ
C=12
15
ˆ
I= arccos 8
10 '... ˆ
N= arcsin 9
15 '... ˆ
C= arctan 12
15 '...
2.3 Situation plus complexe
3 Diverses choses à connaître sur la trigonométrie
3.1 Valeur du cosinus, du sinus et de la tangente à connaître
Remarque 4 Certaines valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente sont à connaître par
coeur :