Trigonométrie 1 Trigonométrie, notion et définition 1.1 Vocabulaire sur les triangles rectangles. Dans le triangle rectangle suivant, on a le vocabulaire suivant : C [AC] est l’hypoténuse du triangle [BC] est le côté opposé à l’angle A A B [AB] est le côté adjacent à l’angle A Remarque 1 [BC] est le côté opposé à l’angle A, mais c’est aussi le côté adjacent à l’angle C. De même le côté [AB] est le côté adjacent à l’angle A, mais c’est aussi le côté opposé à l’angle C. Dans les triangles suivants, dire quel est le côté opposé et le côté adjacent de l’angle marqué en rouge. Indiquer également l’hypoténuse. C M J I O K N A B le côté opposé ................................... ................................... ................................... le côté adjacent ................................... ................................... ................................... l’hypoténuse ................................... ................................... ................................... 1.2 Trigonométrie, remarque intéressante coller la feuille ici Remarque 2 justification de la trigonométrie On a vu dans l’activité que dans un triangle rectangle, que quand on divise deux côtés d’un triangle rectangle, on obtient un nombre qui ne dépend pas de la taille du triangle mais uniquement des angles du triangle. Ceci est justifié par le théorème de Thalès. De manière générale, dans un triangle rectangle, quand on divise le côté adjacent d’un angle par l’hypoténuse on obtient un résultat qui ne dépend que de l’angle. On dit que ce résultat est le cosinus de l’angle. Exemple 1 cosinus d’un même angle dans deux triangles différents C F A B 45˚ D 45˚ Dans le grand triangle le résultat de angle. E AB AC donne le même résultat que DE DF dans le petit tri- En effet, le calcul du cosinus ne dépend pas de la taille du triangle mais uniquement de l’angle. Or l’angle est le même dans les deux triangles donc le calcul du cosinus donne le même résultat, même si l’un des triangles est plus grand. 1.3 Trigonométrie, définition Définition 1 cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu De la même manière que le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent à l’angle par l’hypoténuse, on définit le sinus de l’angle comme le quotient du côté opposé par l’hypoténuse. Enfin, on définit la tangente de l’angle comme le quotient du côté opposé à l’angle par le côté adjacent à l’angle. Autrement dit : dans un triangle ABC, rectangle en B, on a : cos  = AB AC sin  = BC AC tan  = BC AB Autrement dit : cosinus = adjacent hypotenuse sinus = oppose hypotenuse tangente = oppose adjacent Exemple 2 Dans chacun des triangles suivants calculer le cosinus de l’angle marqué en rouge. C M J 5cm 5cm 5cm 5× √ 2cm 12cm 3cm I K 4cm O N 13cm A B 5cm le cosinus .................................. .................................. .................................. le sinus .................................. .................................. .................................. la tangente .................................. .................................. .................................. Remarque 3 Pour se souvenir c’est facile, il suffit de penser à quelqu’un.... Adjacent Oppos Oppos Cosinus = Hypotnuse Sinus = Hypotnuse Tangente = Adjacent Autrement dit : CAH SOH TOA. 2 2.1 Utilisation de la trigonométrie Situation simple,calcul de la longueur d’un côté Exemple 3 la trigonométrie pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle b de Méthode : on dispose de l’angle H, l’hypoténuse F H = 6cm et on cherche le côté adjacent à l’angle. On va donc utiliser b le cosinus de H. H FH=6 cm GH FH cos 65 = GH 6 cos 65 = GH 1 6 b= cos H 65 F G HG = 6 × cos 65 ÷ 1 HG = 6 × cos 65 ÷ 1 ' Exemple 4 dans chaque cas, trouver les longueurs demandées b=C C 45 J M IJ = 5cm I K G Ib = 30 b = 40 N A GN = 12cm B AB = 7cm Calculer IK Calculer GM Calculer AC ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... cos Iˆ = IK IJ cos 30 = cos 30 1 = IK 5 IK 5 sin N̂ = GM GN tan Ĉ = AB AC sin 40 = GM 12 tan 45 = 7 AC sin 40 1 = GM 12 tan 45 1 = 7 AC IK = 5 × cos 30 ÷ 1 ' ... GM = 12×sin 40÷1 ' ... AC = 1 × 7 ÷ tan 45 ' ... 2.2 Situation simple,calcul d’un angle Exemple 5 la trigonométrie pour calculer un angle dans un triangle rectangle Dans le triangle suivant calculer Ĝ. Méthode G 7 cm A on dispose du côté adjacent à l’angle Ĝ ainsi que de l’hypoténuse. On va donc utiliser le cosinus de l’angle Ĝ. 90˚ 15 cm B cos Ĝ = GA GB cos Ĝ = 7 15 en utilisant la touche arccos de la calculatrice on obtient que Ĝ ' .... Exemple 6 dans chaque cas, trouver les angles demandées C M J AC = 15cm GM = 9cm IJ = 10cm A I K G IK = 8cm B N GN = 15cm AB = 12cm b b Calculer Ib Calculer N Calculer C ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... cos Iˆ = IK IJ sin N̂ = GM GN tan Ĉ = AB AC cos Iˆ = 8 10 sin N̂ = 9 15 tan Ĉ = 12 15 Iˆ = arccos 2.3 3 3.1 8 10 ' ... N̂ = arcsin 9 15 ' ... Ĉ = arctan 12 15 ' ... Situation plus complexe Diverses choses à connaître sur la trigonométrie Valeur du cosinus, du sinus et de la tangente à connaître Remarque 4 Certaines valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente sont à connaître par coeur :  3.2 0 30 45 √ √ 3 2 cos  1 sin  0 1 2 tan  0 √1 3 2 2 √ 60 90 1 2 0 √ 2 2 3 2 √ 1 3 1 impossible Relations trigonométriques Théorème 1 Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en A, on a toujours. (cos A)2 + (sin A)2 = 1 De même on a : tan A = sin A cos A De même on a : 1 + (tan A)2 = 4 1 (cos A)2 Quelques formules classiques avec de la trigonométrie. Théorème 2 Formule de Héron Dans un triangle ABC dont la longueur des cotés est : AB = c,BC = a,CA = b,et le demipérimètre p, alors on a l’aire du triangle qui est égale à : p Aire = p(p − a)(p − b)(p − c) (1) Théorème 3 Théorème d’Al-Kashi Dans un triangle ABC dont la longueur des cotés est : AB = c,BC = a,CA = b, on a : a2 = b2 + c2 − 2bc cos  (2) Théorème 4 Formule des sinus Dans un triangle ABC dont la longueur des cotés est : AB = c,BC = a,CA = b,on a : a sin  = b sin B̂ = c sin Ĉ (3)