Trigonométrie

Trigonométrie
I] Cercle trigonométrique et radians
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
, on
appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon
1 sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens
trigonométrique et correspondant au sens inverse des aiguilles
d’une montre.
Remarques :
 Le périmètre du cercle trigonométrique est de 2.
 On considère la droite graduée  tangente au cercle
en
. Pour un réel repéré sur la droite , on considère le
point M que l’on obtiendrait sur le cercle trigonométrique par
« enroulement » de  sur le cercle. On dit que M est l’image sur
le cercle du réel
Exercice 1 : Soit le cercle ci-contre de rayon 1.
Après avoir indiqué d’une flèche le sens positif,
compléter la figure en plaçant les points :
O, le centre du cercle
A, le point de coordonnées (1 ; 0)
M, un point du cercle
P, la projection sur l’axe des abscisses du point
M : cos 
Q, la projection sur l’axe des ordonnées du point
M : sin 
T, le point d’intersection entre le droit (OM) et la
tangente au cercle passant par A : tan 
Exercice 2 : Placer sur le cercle trigonométrique
les points correspondant à
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puis les points :
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II] Sinus, cosinus et tangente
II-/ Définitions
Soit le point de coordonnées (1 ; 0) dans le repère orthonormé.
On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel . On dit que
mesure exprimée en radians, à
près
est une
de l’arc orienté IM ou de l’angle orienté
II-/ Relation fondamentale et propriétés élémentaires
Remarque : cette relation découle du théorème de Pythagore
Propriétés :
Exercice 3 :
est un réel tel que
Calculer la valeur de
Résultat
On ne peut pas le déterminer
II-/ Périodicité
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III] Quelques valeurs remarquables
IV] Angles orientés – Mesures
IV- / Définitions
Définition 1 : On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel 
On dit que  est une mesure en radians de l’angle orienté
, noté plus simplement
Les mesures d’un angle en degrés et en radians sont proportionnelles.
Le coefficient de proportionnalité est de
pour passer des degrés aux radians et de
pour passer des radians aux degrés.
Définition 2 : deux vecteurs et non nuls déterminent un angle orienté
.
En considérant un cercle trigonométrique, on définit une mesure en radians de l’angle
orienté
.
Remarque : si et sont des réels strictement positifs, les mesures des angles
et
sont identiques.
IV-/ Propriétés
Soit
un angle orienté et une mesure en
radians de
.
L’ensemble des mesures de l’angle orienté
est
l’ensemble des réels
avec
.
L’angle orienté
a une et une seule mesure
dans l’intervalle
, cette mesure est appelé mesure
principale de l’angle
.
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Remarques :
 On assimilera souvent un angle orienté à ses mesures. Ainsi, on pourra écrire
ou
que
= ou
.
 Pour que deux réels soient des mesures du même angle orienté
soit un multiple entier de
(c'est-à-dire
avec
On écrira
ou
.
, il faut et il suffit
).
Exercice 4 : Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont :
.
Lorsque la mesure de l’angle n’est pas dans l’intervalle
multiple entier de , se ramener à une mesure dans
.
, il faut en faisant apparaître un
donc l’angle de mesure
mesure principale
a pour
.
Avec la même méthode, on obtient ensuite :
Exercice 5 : Soit ABCD, un carré de centre O tel que
(on dit que ABCD est un
carré direct).
Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n’est
demandée).
(voir figure en annexe)
Pour tout vecteur non nul , on a :
Pour tous vecteurs et non nuls, on a :
Pour tous vecteurs non nuls
Soient
, et
, on a :
(Relation de Chasles).
, deux vecteurs non nuls :
sont colinéaires et de même sens
sont colinéaires et de sens contraires
sont colinéaires
c'est-à-dire
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Exercice 6 : On considère deux vecteurs
tels que
Déterminer
;
Exercice 7 :
1°) Soit ABC un triangle
Démontrer que
2°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que
Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir
En déduire que
Justifier de même que
3°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que
Soit A’, B’ et C’les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB].
Déterminer
(on
justifiera).
Voir la correction en annexe.
V] Equations trigonométriques élémentaires
V-/ Propriétés
V-/ Application
Résoudre :
On sait que
D’où
. Donc si
alors
dans la relation
donc
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D’après les propriétés élémentaires,
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