Trigonométrie

Trigonométrie
Outils de mathématiques – Semestre 1 – Chapitre 1 Page 1
I] Cercle trigonométrique et radians
Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on
appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon
1 sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens
trigonométrique et correspondant au sens inverse des aiguilles
d’une montre.
Remarques :
 Le périmètre du cercle trigonométrique est de 2 .
 On considère la droite graduée tangente au cercle
en . Pour un réel  repéré sur la droite , on considère le
point M que l’on obtiendrait sur le cercle trigonométrique par
« enroulement » de sur le cercle. On dit que M est l’image sur
le cercle du réel 
Exercice 1 : Soit le cercle ci-contre de rayon 1.
Après avoir indiqué d’une flèche le sens positif,
compléter la figure en plaçant les points :
O, le centre du cercle
A, le point de coordonnées (1 ; 0)
M, un point du cercle
P, la projection sur l’axe des abscisses du point
M : cos 
Q, la projection sur l’axe des ordonnées du point
M : sin 
T, le point d’intersection entre le droit (OM) et la
tangente au cercle passant par A : tan 
Exercice 2 : Placer sur le cercle trigonométrique
les points correspondant à 
 puis les points :

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II] Sinus, cosinus et tangente
II-/ Définitions
Soit  le point de coordonnées (1 ; 0) dans le repère orthonormé.
On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel . On dit que  est une
mesure exprimée en radians, à  près  de l’arc orienté IM ou de l’angle orienté 
II-/ Relation fondamentale et propriétés élémentaires
Remarque : cette relation découle du théorème de Pythagore
Propriétés : 
Exercice 3 :
 est un réel tel que
Calculer la valeur de
Résultat
On ne peut pas le déterminer
II-/ Périodicité

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III] Quelques valeurs remarquables
IV] Angles orientés – Mesures
IV- / Définitions
Définition 1 : On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel 
On dit que  est une mesure en radians de l’angle orienté 
, noté plus simplement
Les mesures d’un angle en degrés et en radians sont proportionnelles.
Le coefficient de proportionnalité est de 
 pour passer des degrés aux radians et de 
pour passer des radians aux degrés.
Définition 2 : deux vecteurs  et  non nuls déterminent un angle orienté  .
En considérant un cercle trigonométrique, on définit une mesure  en radians de l’angle
orienté  .
Remarque : si  et  sont des réels strictement positifs, les mesures des angles   et
 sont identiques.
IV-/ Propriétés
Soit   un angle orienté et  une mesure en
radians de  .
L’ensemble des mesures de l’angle orienté   est
l’ensemble des réels  avec .
L’angle orienté   a une et une seule mesure
dans l’intervalle , cette mesure est appelé mesure
principale de l’angle  .

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Remarques :
 On assimilera souvent un angle orienté à ses mesures. Ainsi, on pourra écrire   = 
 ou
 ou  .
 Pour que deux réels soient des mesures du même angle orienté  , il faut et il suffit
que  soit un multiple entier de  (c'est-à-dire  avec ).
On écrira  ou .
Exercice 4 : Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont :
 .
Lorsque la mesure de l’angle n’est pas dans l’intervalle , il faut en faisant apparaître un
multiple entier de , se ramener à une mesure dans .
donc l’angle de mesure   a pour
mesure principale 
.
Avec la même méthode, on obtient ensuite :
Exercice 5 : Soit ABCD, un carré de centre O tel que 
 (on dit que ABCD est un
carré direct).
Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n’est
demandée). 
(voir figure en annexe)
Pour tout vecteur non nul  , on a : 
Pour tous vecteurs  et  non nuls, on a : 
Pour tous vecteurs non nuls  , et  , on a : 
(Relation de Chasles).
Soient  , deux vecteurs non nuls :
 sont colinéaires et de même sens 
 sont colinéaires et de sens contraires 
 sont colinéaires   c'est-à-dire 

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Exercice 6 : On considère deux vecteurs   tels que 
Déterminer   ;
Exercice 7 :
1°) Soit ABC un triangle
Démontrer que 
2°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que 
Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir 
En déduire que 
Justifier de même que 
3°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que 
Soit A’, B’ et C’les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB].
Déterminer  (on
justifiera).
Voir la correction en annexe.
V] Equations trigonométriques élémentaires
V-/ Propriétés
V-/ Application
Résoudre :
On sait que 
. Donc si  alors 
D’où 
 dans la relation 
 donc 