BTS-CPI1 E- Probabilité Cours 2, E1- Probabilités Conditionnelles 1

BTS-CPI1
E- Probabilité
Cours 2, E1- Probabilités Conditionnelles
1. Probabilités Conditionnelles :
(a) Exemple 1 : Deux urnes contiennent chacune deux boules noires et trois boules rouges. On tire au hasard une boule de
l’urne U1 on note sa couleur et on la place dans l’urne U2 . On tire ensuite une boule dans l’urne U2 on note sa couleur.
On appelle N1 et N2 les événements "la boule tirée dans l’urne U1 est noire" et "la boule tirée dans l’urne U2 est noire" .
. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous,
. Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient noires,
. Calculer la probabilité que la boule tirée dans l’urne U2 soit noire.
N1
b
N2
b
N2
...
b
...
...
P (N1 et N2 ) = P (N1 ∩ N2 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et
b
N2
b
...
N1
...
P (N2 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
N2
On remarque : la probabilité d’obtenir une boule noire de l’urne U2 , sachant qu’on a obtenu une boule noire de l’urne
U1 est différente de P (N2 )
...
b
Notons PN1 (N2 ) la probabilité d’obtenir une boule noire de l’urne U2 sachant qu’on a obtenu une boule noire de U1 .
Alors P (N1 ) × PN1 (N2 ) = P (N1 ∩ N2 ).
Sur un arbre de probabilité, les probabilités portées par les branches de niveau supérieur à 2 sont des probabilités sachant
le résultat obtenu au niveau 1.
On dit que les probabilités des branches de niveau supérieur à 2 sont des probabilités conditionnelles.
(b) Définition : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers, l’ensemble des issues possibles, p la loi de probabilité
de cette expérience.
Soient A et B deux événements avec P (A) 6= 0, on appelle probabilité de B sachant A,
la probabilité conditionnelle PA (B), définie par P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) soit
PA (B) =
P (A ∩ B)
P (A)
(c) Exemple 2 : Avec un arbre de Probabilité.
f
Pour fabriquer un objet, un artisan constitue un stock important d’un
certain type de pièces auprès de trois fournisseurs f , g et h. La moitié
des pièces du stock provient de f , 30% provient de g le reste provient
de h.
La proportion de pièces défectueuses est de 1% chez f , de 2% chez g
et de 5% chez h.
On prélève au hasard une pièce dans le stock. Quelle est la probabilité
qu’elle soit défectueuse ?
D
b
...
b
b
...
D
b
...
g
...
D
b
...
b
D
b
...
h
...
D
b
...
b
b
...
D
(d) Exemple 3 : Avec un tableau.
Dans une entreprise de 120 employés, on s’intéresse aux caractères suivants F "être
fumeur" et C "être cadre". On donne le tableau des effectifs. On choisit un employé
au hasard.
. Quelle est la probabilité qu’il soit fumeur ?
. Quelle est la probabilité qu’il soit fumeur sachant qu’il est cadre ?
. Quelle est la probabilité qu’il soit fumeur et cadre ?
. Quelle est la probabilité qu’il soit fumeur ou cadre ?
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C
F
Total
48
72
16
F
Total
C
40
120
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E- Probabilité
Cours 2, E1- Probabilités Conditionnelles
2. Événements Incompatibles et Événements Indépendants :
On considère une expérience aléatoire, Ω son univers, l’ensemble des issues possibles, p la loi de probabilité de cette expérience.
(a) On dit que deux événements A et B sont incompatibles, s’ils ne peuvent être réalisés en même temps, simultanément.
En terme d’ensemble :
A∩B =∅
En terme de Probabilités : P (A ∩ B) = P (∅) = 0,
soit
Ω
B
A
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
En effet : Dans tout les cas P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Lorsque A ∩ B = ∅, Alors P (A ∩ B) = 0
Alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(b) On dit que deux événements de probabilité non nulle, A et B sont indépendants, si le fait de savoir A réalisé ne modifie
pas la probabilité d’obtenir B.
Dans tout les cas PA (B) =
P (A ∩ B)
, Alors A et B sont indépendants ⇔ PA (B) = P (B) ⇔ P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
P (A)
(c) Exemple 1 : On lance un dé équilibré, on appelle A l’événement "obtenir un nombre pair" et B l’événement "obtenir 1 ou 3".
A
On peut représenter l’expérience par l’arbre ci-contre,
Les événements A et B ne peuvent pas être réalisés simultanément.
2
La probabilité d’obtenir B est P (B) =
6
Lorsque A a été réalisé, on dira sachant A, la probabilité d’obtenir B
est nulle, on notera PA (B) = 0
1
2
B
b
0
b
b
1
B
b
2
3
1
2
B
b
A
b
1
3
b
B
(d) Exemple 2 : Dans une population, un individu est atteint par la maladie m1 avec la probabilité 0,05
et par la maladie m2 avec la probabilité 0,14. On choisit au hasard un individu dans cette population.
On admet que les événements M1 "l’individu a la maladie m1 " et M2 "l’individu a la maladie m2 " sont indépendants.
a) Quelle est la probabilité de l’événement E "l’individu a contracté au moins une de ces deux maladies" ?
b) Présenter dans un tableau les probabilités des événements M1 ∩ M2 , M1 ∩ M2 , M1 ∩ M2 et M1 ∩ M2 .
c) Déterminer la probabilité de l’événement F "l’individu présente une seule de ces deux maladies".
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