ALGÈBRE LINÉAIRE : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS

ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles
Année 2015/2016
Chapitre 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE : RÉVISIONS ET
COMPLÉMENTS
1 Espaces vectoriels 2
1.1 Notiond’espacevectoriel..................................... 2
1.2 Sous-espacesvectoriels...................................... 2
1.3 Familles libres, familles génératrices et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Dimension d’un espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Rangd’unefamilledevecteurs.................................. 5
2 Calcul matriciel 6
2.1 Opérationsmatricielles ...................................... 6
2.2 Matricesparblocs......................................... 6
2.3 AlgorithmedupivotdeGauss .................................. 7
2.4 Traced’unematricecarrée .................................... 7
3 Applications linéaires 7
3.1 Généralités............................................. 7
3.2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Images des vecteurs d’une base de l’espace de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Représentations matricielles 10
4.1 Représentationsmatricielles ................................... 10
4.2 Interprétation géométrique canonique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Changementdebases....................................... 11
4.4 Matricessemblables........................................ 11
4.5 Rangd’unematrice ........................................ 12
5 Sous-espaces supplémentaires, projecteurs et symétries 12
5.1 Sous-espaces en somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Projecteurs............................................. 13
5.4 Symétries.............................................. 14
5.5 Hyperplans et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 – Algèbre linéaire : révisions et compléments ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles
Dans tout le chapitre, Kdésigne le corps Rdes réels ou celui Cdes complexes.
1. Espaces vectoriels
1.1 Notion d’espace vectoriel
Définition 1.1 On appelle K-espace vectoriel tout triplet (E,+,·)formé d’un ensemble E, d’une loi de
composition interne +sur Eet d’une loi externe ·:K×E−→ Eà domaine d’opérateurs Ktel que :
•(E,+) est un groupe abélien :
âla loi +est associative : pour tous x,y,z∈E,(x+y) + z=x+ (y+z);
âla loi +est commutative : pour tous x,y∈E, x +y=y+x ;
âil existe un (unique) élément de E, noté 0(éventuellement 0E) et appelé élément nul (ou vecteur nul)
de Etel que, pour tout x ∈E, x +0=x ;
âpour tout x ∈E, il existe un (unique) élément de E, noté −x et appelé opposé de x, tel que x+(−x) = 0;
•pour tous λ∈Ket x,y∈E,λ(x+y) = λx+λy ;
•pour tous λ, µ ∈Ket x ∈E,(λ+µ)x=λx+µx ;
•pour tous λ, µ ∈Ket x ∈E,λ(µx)=(λµ)x ;
•pour tout x ∈E,1Kx=x.
Remarques 1.2 •Souvent, on utilise seulement la lettre E pour désigner un espace vectoriel (E,+,·)et on
omet la mention de ·dans les calculs, comme cela a été fait dans la dénition précédente : on note λx
plutôt que λ·xpour λ∈Ket x∈E.
•Les éléments de E sont appelés vecteurs, ceux de Ksont appelés scalaires.
Exemple 1.3 L’ensemble Knest muni d’une structure de K-espace vectoriel pour les lois
(xi)n
i=1,(yi)n i=17−→ (xi+yi)n i=1et λ, (xi)n i=17−→ (λxi)n i=1.
Plus généralement, si E1,...,Ensont des K-espaces vectoriels, alors les formules précédentes munissent
le produit cartésien E =E1× · · · × End’une structure de K-espace vectoriel appelée espace vectoriel
produit des Ei, 1 6i6n.
Exemple 1.4 Soient X un ensemble non vide et E un K-espace vectoriel.
On munit l’ensemble des applications de X dans E, noté EXou F(X,E), d’une addition et d’un produit
externe :
•la somme f+gde deux éléments f,gde EXest dénie par f+g:x∈X7−→ f(x) + g(x)∈E ;
•le produit λfd’un élément fde EXpar un scalaire λ∈Kest déni par λf:x∈X7−→ λf(x)∈E.
Muni de ces lois, EXest un K-espace vectoriel.
En particulier, l’ensemble KNdes suites à valeurs dans Ket celui KIdes fonctions dénies sur un intervalle
I de Ret à valeurs dans Ksont naturellement des K-espaces vectoriels.
Exemple 1.5 L’ensemble K[X]des polynômes à une indéterminée à coecients dans Kest un K-espace
vectoriel pour les lois usuelles.
Proposition 1.6 Soient Eun K-espace vectoriel, λ∈Ket x ∈E.
On a :
λx=0⇐⇒ λ=0ou x =0.
1.2 Sous-espaces vectoriels
Dans toute la section, E désigne un K-espace vectoriel.
Définition 1.7 On appelle sous-espace vectoriel de Etoute partie Fde Etelle que :
•Fest stable par l’addition de E: pour tous x,y∈F, x +y∈F;

Année 2015/2016 Algèbre linéaire : révisions et compléments – 3
•Fest stable par le produit externe : pour tous λ∈Ket x ∈F,λx∈F;
•Fest muni d’une structure de K-espace vectoriel pour les lois induites par celles de E.
Théorème 1.8 Soit Fune partie de E.
L’ensemble Fest un sous-espace vectoriel de Esi, et seulement si, les conditions suivantes sont réalisées :
•Fest non vide ;
•Fest stable par combinaisons linéaires : pour tous λ∈Ket x,y∈F,λx+y∈F.
Remarque 1.9 On peut remplacer, dans la caractérisation précédente, la condition F 6=∅par 0 ∈F. Ainsi,
étant donné un sous-espace vectoriel F de E, son complémentaire E\F n’est jamais un sous-espace vectoriel
de E !
Exemples 1.10 •L’ensemble des suites bornées à termes dans K, l’ensemble des suites convergentes à
termes dans Ksont deux sous-espaces vectoriels de KN.
•L’ensemble C(I,K)des fonctions continues sur un intervalle I donné de Ret à valeurs dans Kest un
sous-espace vectoriel de KI.
Exemple 1.11 Pour n∈Ndonné, l’ensemble Kn[X]des polynômes de degré inférieur ou égal à nest un
sous-espace vectoriel de K[X]. L’ensemble des polynômes de degré égal à nn’en est pas un !
Lemme 1.12 Soit (Fi)i∈Iune famille de sous-espaces vectoriels de E.
Leur intersection F=Ti∈IFiest un sous-espace vectoriel de E.
Proposition-Définition 1.13 Soit Aune partie de E.
Parmi les sous-espaces vectoriels de Econtenant A, il en est un, et un seul, qui est inclus dans tous les autres ;
on l’appelle le sous-espace vectoriel de Eengendré par Aet on le note Vect A.
Proposition-Définition 1.14 Soit Aune partie de E.
Le sous-espace vectoriel de Eengendré par Aest l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A:
Vect A =nx∈E:∃r>0,∃(λi)r
i=1∈Kr,∃(ai)r i=1∈Ar,x=
r
P
i=1
λiaio.
Exemple 1.15 Le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur x6=0 est l’ensemble des vecteurs de la
forme λx,λ∈K, appelé droite vectorielle dirigée par xet noté Vect(x) = Kx.
Remarque 1.16 Attention, la réunion de plusieurs sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vecto-
riel en général (même dans le cas de deux sous-espaces). C’est pourquoi on s’intéresse à la notion suivante.
Proposition-Définition 1.17 Soient F1,...,Fndes sous-espaces vectoriels de E.
On appelle somme des sous-espaces vectoriel F1,...,Fn, et l’on note Pn
i=1Fi=F1+· · · +Fn, le sous-espace
vectoriel de Eengendré par F1∪ · · · ∪ Fn.
Il s’agit du plus petit sous-espace vectoriel de E(pour l’inclusion) contenant les sous-espaces vectoriels F1,...,Fn.
Il est composé des vecteurs de la forme x =x1+· · · +xn, où xi∈Fipour tout i ∈J1,nK.
Exemple 1.18 Pour x1,...,xn∈E, on a Vect{x1,...,xn}=Kx1+· · · +Kxn.
1.3 Familles libres, familles génératrices et bases
Soient E un K-espace vectoriel et I un ensemble non vide.
Définition 1.19 •On appelle famille d’éléments de Eindexée par l’ensemble Itoute application x :I−→ E.
Pour i ∈I, on note xiplutôt que x(i)et on désigne la famille x par (xi)i∈I.
•L’image d’une famille (xi)i∈Id’éléments de Eest notée {xi}i∈I; c’est une partie de E.
•Une famille (xi)i∈Iest dite nie lorsque l’ensemble Iest ni.

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Définition 1.20 Soient (xi)i∈Iune famille de Eet June partie de I.
On dit que (xj)j∈Jest une sous-famille de (xi)i∈Iet que (xi)i∈Iest une sur-famille de (xj)j∈J.
Dans toute la suite de la section, on suppose que l’ensemble I est ni et on se donne une famille x= (xi)i∈I
d’éléments de E (notée plutôt (xi)n
i=1= (x1,...,xn)si I =J1,nK).
On étudie à présent les combinaisons linéaires formées à partir de cette famille. Pour ce faire, on introduit
l’application
fx:KI−→ E,(λi)i∈I7−→ P
i∈I
λixi.
Définition 1.21 On dit que la famille x est :
•libre si l’application fxest injective ;
•génératrice si l’application fxest surjective ;
•une base de Esi l’application fxest bijective.
Proposition 1.22 La famille x est :
(i) libre si, et seulement si,
∀(λi)i∈I∈KI,P
i∈I
λixi=0=⇒∀i∈I, λi=0;
(ii) génératrice si, et seulement si, tout élément de Eest combinaison linéaire de x i.e. si, et seulement si, le
sous-espace vectoriel engendré par {xi}i∈Iest égal à E;
(iii) une base si, et seulement si, tout élément y ∈Es’écrit de façon unique sous la forme y =Piλixiavec
(λi)i∈I∈KI. On dit alors que les λi, i ∈I, sont les coordonnées du vecteur y dans la base x.
Exemples 1.23 •N’importe quel vecteur non nul d’une droite vectorielle en forme une base.
•Les vecteurs (1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)forment une base de Kndite canonique.
•La famille (1,X,X2,...,Xn)est une base de Kn[X], appelée base canonique de cet espace.
Définition 1.24 On dit que la famille x est liée si elle n’est pas libre.
Proposition 1.25 Toute sous-famille d’une famille libre est libre. Toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice.
Remarques 1.26 •Lorsque l’ensemble I est inni, on dit qu’une famille (xi)i∈Iest libre si toutes ses sous-
familles nies sont libres.
Une famille (xi)i∈Iest donc liée si, et seulement si, il en existe une sous-famille nie qui est liée.
•Les vecteurs composant une partie A de E sont dits linéairement indépendants (resp. linéairement
dépendants) si la famille (a)a∈Aest libre (resp. liée).
Théorème 1.27 Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E.
La famille (xi)i∈Iest liée si, et seulement si, il existe i0∈Itel que xi0soit combinaison linéaire de la famille
(xi)i∈I\{i0}.
Remarque 1.28 Attention : l’énoncé précédent exprime que l’un des vecteurs d’une famille liée est combi-
naison linéaire des autres, mais il n’en va pas de même de tous les vecteurs de la famille en général.
Ainsi, étant donnés deux vecteurs x,yde E, les énoncés
(i) la famille (x,y)est liée ;
(ii) il existe λ∈Ktel que y=λx(autrement dit, yest colinéaire à x)
ne sont pas équivalents ! On a bien sûr (ii) implique (i), mais la réciproque est fausse. Il sut de considérer
le contre-exemple donné par x=0 et un vecteur y6=0.
Le théorème précédent exprime seulement l’équivalence de (i) avec
(ii0)xest colinéaire à you yest colinéaire à x.

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Il est toutefois un cas dans lequel on est assuré qu’un vecteur donné d’une famille liée est combinaison
linéaire des autres ; c’est l’objet du théorème suivant.
Théorème 1.29 Soient (xi)i∈Iune famille liée de vecteurs de Eet i0∈I.
Si la famille (xi)i∈I\{i0}est libre, alors xi0est combinaison linéaire de la famille (xi)i∈I\{i0}.
Corollaire 1.30 Toute famille de polynômes non nuls et de degrés deux-à-deux distincts est libre.
1.4 Dimension d’un espace vectoriel de dimension nie
Définition 1.31 On dit qu’un K-espace vectoriel est de dimension nie s’il admet une famille génératrice
nie ; dans le cas contraire, on dit qu’il est de dimension innie.
Théorème 1.32 (de la base incomplète) Soient Eun K-espace vectoriel de dimension nie.
Toute famille libre de Epeut être complétée en une base de E. Les vecteurs à ajouter peuvent être choisis dans
une famille génératrice donnée à l’avance.
Corollaire 1.33 Tout espace vectoriel de dimension nie admet une base.
Théorème 1.34 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie.
Toutes les bases de Esont nies et ont même cardinal.
Définition 1.35 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie.
On appelle dimension de E, et on note dim E, la valeur commune des cardinaux des bases de E.
Exemples 1.36 Au vu des exemples 1.23,
•Les droites vectorielles sont les espaces vectoriels de dimension 1.
•L’espace vectoriel Knest de dimension n.
•L’espace vectoriel Kn[X]est de dimension n+1.
Proposition 1.37 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie n.
(i) Toute famille libre de Eest nie et a un cardinal inférieur ou égal à n avec égalité si, et seulement si, c’est
une base de E.
(ii) Toute famille génératrice nie de Ea un cardinal supérieur ou égal à n avec égalité si, et seulement si,
c’est une base de E.
Proposition 1.38 Soient E1et E2des K-espaces vectoriels de dimension nie.
L’espace produit E=E1×E2est de dimension nie : dim E1×E2=dim E1+dim E2.
Proposition 1.39 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension nie et Fun sous-espace vectoriel de E.
(i) L’espace vectoriel Fest de dimension nie ;
(ii) On a dim F 6dim E avec égalité si, et seulement si, F=E.
Théorème 1.40 (Formule de Grassman) Soient Eun K-espace vectoriel et F,Gdeux sous-espaces vectoriels
de dimension nie de E.
Le sous-espace F+Gest un sous-espace vectoriel de dimension nie de E, et
dim(F+G) = dim F +dim G −dim(F∩G).
1.5 Rang d’une famille de vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie.
Définition 1.41 Soit (x1,...,xn)une famille d’éléments de E.