Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout

Chap 3. PGCD et Théorème de Bézout
Terminale S spécialité
Etienne Bézout (1730 -1783)
Mathématicien français, célèbre pour le
théorème de Bachet-Bézout lié aux équations
diophantiennes en arithmétique et pour son
théorème sur le nombre de points
d'intersection de deux courbes algébriques,
résultat crucial en géométrie algébrique.
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et
I. Le PGCD de deux entiers
désignent deux nombres entiers relatifs non nuls.
Notation
On note "#$; &' l’ensemble des diviseurs communs à $ et & ainsi
+ # ; ' = + # ' ∩ + # '.
Exemples :
o Déterminer +#12; 30', +# ; 0', +#1; ' pour tout .
o Quel élément appartient à +# ; ' pour tout et ?
o Si divise , que peut-on en déduire ?
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Propriétés :
1. Soient et deux entiers relatifs
+# ; ' = +# − ; ' et ∀9 ∈ ℤ +# ; ' = +# − 9 ; '
2. Soient un entier relatif et un entier naturel non nul
Si < est le reste de la division euclidienne de par alors
+# ; ' = +# ; <'
Démonstration
Propriété et définition :
Soient et deux entiers relatifs non nuls, +# ; ' admet un
plus grand élément, on le note =>?@#$; &' #Plus Grand Diviseur
Commun'.
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Propriétés :
Soient et deux entiers relatifs non nuls
o DEFG # ; ' = DEFG # − ; '
o ∀9 ∈ ℤ DEFG # ; ' = DEFG # − 9 ; '
Lemme d’Euclide :
Soient un entier relatif et un entier naturel non nul
Si I est le reste de la division euclidienne de $ par & alors
=>?@#$; &' = =>?@#&; I'
Exemples :
Déterminer le DEFG de 1602 et 2670.
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Propriétés :
Soient et deux entiers relatifs non nuls
∀9 ∈ ℤ∗ DEFG #9 ; 9 ' = |9 |DEFG # ; '
Définition :
On dit que deux entiers relatifs non nuls,
entre eux lorsque =>?@#$; &' = O.
et
sont premiers
Propriétés :
Soient et deux entiers relatifs non nuls
DEFG # ; ' = P si, et seulement si, il existe deux entiers ′ et ′
premiers entre eux tels que = P ′ et = P ′.
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Propriété :
Soient et deux entiers relatifs non nuls
Si DEFG # ; ' = P alors il existe deux entiers relatifs R et S tels
que P = R + S.
Remarque :
Un tel couple appelé coefficient de Bézout n’est pas unique.
Exemple :
Pour = 120 et = 75, déterminer un couple d’entiers relatifs
tels que R + S = DEFG # ; '.
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Théorème de Bézout :
Soient et deux entiers relatifs non nuls
DEFG # ; ' = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs
R et S tels que R + S = 1.
Exemple :
Pour tout [ ∈ ℕ∗ , 2[ + 1 et 3[ + 1 sont-ils premiers entre eux ?
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Exemple :
Pour tout [ ∈ ℕ∗ , si [ divise 42 alors [ divise 6 ou [ divise 7.
Vrai ou faux ?
Théorème de Gauss :
Soient , et _ trois entiers relatifs non nuls
Si divise _ et est premier avec alors divise _.
Démonstration
Exemple :
Déterminer tous les couples d’entiers relatifs #`; a' solution de
l’équation 6` = 5a.
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II. Nombres premiers
Définition :
Un entier naturel c est premier lorsqu’il admet exactement deux
diviseurs : 1 et lui-même.
Un nombre ayant au moins trois diviseurs est dit composé.
Exemple :
Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ?
7 - 6 - 5 - 1 - 154 - 647382915 - 899 – 9059 – 142 661
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Propriété :
Tout entier naturel [ ≥ 2 admet au moins un diviseur premier.
Théorème, critère de primalité :
Soit [ un entier naturel, [ ≥ 2
Si [ n’est pas premier alors il admet au moins un diviseur
premier c tel que c ≤ √[.
Corollaire, test de primalité :
Soit [ un entier naturel, [ ≥ 2
Si [ n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à √[
alors il est premier.
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Lemme :
Soit c un nombre premier
Si [ est un entier naturel alors soit c divise [ soit c et [ sont
premiers entre eux.
démo :
Propriété :
Soit et deux entiers relatifs non nuls et c un nombre premier,
Si c divise
alors c divise ou c divise .
démo :
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Théorème :
L’ensemble des nombres premiers est infini.
démo :
Théorème de décomposition en nombres premiers :
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 est un produit
de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre
des facteurs près. C'est-à-dire que, ∀[ ∈ ℕ, [ ≥ 2
k = lO mO ×lo mo × …×lq mq
où cs < cu < ⋯ < cw sont des nombres premiers et xs , xu , … , xw
sont des entiers naturels non nuls.
Exemple : Décomposer 3600 et 420 en facteurs premiers.
Donner le PGCD et le PPCM de 3600 et 420.
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