Probabilités discrètes

Probabilités discrètes
Objectifs
X Déterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire.
X Interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
1 – Généralités
La théorie des probabilités (autrefois appelé calcul des probabilités) est l’étude mathématique des phénomènes
caractérisés par le hasard et l’incertitude. On modélise une expérience aléatoire en lui associant un ensemble
Ω, appelé
, contenant toutes les les
possibles.
est une partie quelconque de Ω.
Un
Un événement ne comprenant qu’une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
La correspondance entre langage ensembliste, des probabilités et des statistiques est résumée ci-dessous.
Langage ensembliste
Langage des probabilités
Langage des statistiques
L’ensemble E
L’univers Ω
La population
Un élément a ∈ E
Une éventualité a ∈ Ω
Un individu
Un sous-ensemble F ⊂ E
Un événement F ⊂ Ω
Un échantillon
L’ensemble vide ∅
L’événement impossible ∅
Ensembles disjoints
Événements incompatibles
Exemples
On lance un dé à six faces et on note le numéro correspondant.
L’univers est donc l’ensemble Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. On peut dénombrer 64 événements possibles.
Par exemple, l’événement A = « obtenir un numéro pair » est le sous-ensemble A = {2 , 4 , 6} ⊂ Ω.
Constitué de trois éléments, A n’est pas un événement élémentaire.
On lance une fléchette au hasard sur une cible de diamètre 40 cm. L’univers Ω est le disque de centre O et
de rayon 40 et on repère le point d’impact par ses coordonnées dans un (voir figure).
Les événements élémentaires sont les points de ce disque.
On peut définir l’événement « toucher en plein dans le mille » par le disque D de centre O et de rayon 1.
Il existe bien entendu beaucoup d’autres événements possibles.
20
D
10
−20
−10
10
O
20
−10
−20
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Définitions
Soit A et B deux événements de Ω.
• La réunion A ∪ B de A et B est l’événement constitué des éventualités qui appartiennent à A ou à B.
• L’intersection A ∩ B de A et B est constitué des éventualités qui appartiennent à A et à B.
• Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont
.
• L’événement contraire A de A est constitué des éventualités de Ω qui n’appartiennent pas à A.
ω ∈ A ssi ω 6∈ A
Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes : l’univers Ω est donc formé des 32 couples (v; c) où :
v ∈ {7, 8, 9, 10, V, D, R, A}
et
c ∈ {♥, ♦, ♠, ♣} .
On définit les événements E1 , E2 et E3 par
E1 = « tirer un as » ;
E2 = « tirer un cœur » ;
E3 = « tirer l’as de pique ».
• L’événement E1 ∩ E2 est l’événement élémentaire {( A, ♥)} (tirer l’as de cœur).
• L’événement E1 ∪ E2 est formé de 11 cartes (lesquelles ?).
• L’événement E2 ∩ E3 est l’événement impossible ∅ : E2 et E3 sont donc incompatibles.
Définition
Une probabilité est une fonction P qui associe à chaque événement A ⊂ Ω un nombre réel appelé
probabilité de l’événement A, noté P( A). Les propriétés importantes d’une probabilité sont les suivantes :
• La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
• Pour tout événement A et B :
B
A
A∩B
Ω
Corollaire
•
•
Démonstration
• Si A et B sont incompatibles, P( A ∩ B) = ∅, donc P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = P( A) + P( B).
• A et A sont incompatibles donc P( A) + P A = P A ∪ A = P(Ω) = 1.
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Théorème (loi des grands nombres)
Si une expérience aléatoire est repétée un grand nombre de fois, alors
la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité.
Exemple
Les graphiques ci-dessous montrent l’évolution de la fréquence d’apparition du « six » lorsque l’on lance un
dé (non truqué) un grand nombre fois.
1
6
32%
30%
28%
26%
24%
22%
20%
18%
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
fréquence d’apparition du six
nb de lancers
10
1
6
26%
24%
22%
20%
18%
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
20
30
40
50
60
70
80
90
100
fréquence d’apparition du six
nb de lancers
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence observée se stabilise autour de 61 .
2 – Équiprobabilité sur un univers fini
Définition
L’
sur un univers fini consiste à attribuer à chaque éventualité la même probabilité.
Sous cette hypothèse, la probabilité d’un événement A vaut :
P( A) =
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nombre d’éléments de A
.
nombre d’éléments de Ω
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3 – Variables aléatoires
Définition
Une variable aléatoire est une fonction X : Ω −→ R définie sur Ω qui associe un nombre réel X (ω ) à
chaque événement élémentaire ω ∈ Ω.
Exemples
• On considère un jeu à gratter : le gain correspondant à chaque ticket est une variable aléatoire.
• On lance deux dés à six faces : la somme correspondant à chaque éventualité est une variable aléatoire.
• La fonction qui à chaque jour associe le temps pour se rendre au lycée est une variable très aléatoire.
Notations
Si X est une variable aléatoire définie sur un univers Ω et a, b ∈ R, on note :
• P( X = a) la probabilité que X soit égale à a ;
• P( X 6 a) la probabilité que X soit inférieure ou égale à a (de même pour P( X > a), etc.) ;
• P( X ∈ [ a; b]) ou P( a 6 X 6 b) la probabilité que X appartienne à l’intervalle [ a; b].
lorsqu’elle ne prend que des valeurs isolées (c’est toujours
On dit que X est une variable aléatoire
le cas lorsque Ω est fini). Ces valeurs sont alors notées xi (comme en statistique).
On pose
Loi d’une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire discrète prenant chaque valeur xi avec une probabilité pi .
La loi de la variable aléatoire X est la fonction qui associe à chaque valeur xi sa probabilité pi .
Dans le cas fini, la loi d’une variable aléatoire peut être décrite à l’aide d’un tableau.
Exemple
On prélève au hasard un ticket de bingo lors de l’émission initiale du jeu. Soit X la variable aléatoire égale au
gain correspondant. On lit sur le verso du ticket la mention obligatoire suivante :
« Tableau de lots : sur 1 500 000 tickets : 288 000 lots de 4e, 48 000 lots de 8e, 5 800 lots de 40e, 1 000
lots de 44e, 20 lots de 400e et 10 lots de 5 000e. »
Les valeurs prises par X sont ainsi {4 ; 8 ; 40 ; 44 ; 1 000 ; 5 000 ; 0}.
Le tableau suivant résume la loi de X, où les probabilités ont été arrondies à trois chiffres significatifs.
xi
4
8
40
44
1 000
5 000
0
pi
0, 192
0, 032
3, 87 · 10−3
6, 67 · 10−4
1, 33 · 10−5
6, 67 · 10−6
0, 771
Pour calculer le gain moyen, on peut diviser la somme mise en jeu par le nombre total de tickets.
Gain moyen =
288 000 × 4 + 48 000 × 8 + · · · + 10 × 5 000
≃ 1, 25 .
1 500 000
On peut aussi former la somme de tous les gains multipliés par leur probabilité :
Gain moyen = 0, 192 × 4 + 0, 032 × 8 + · · · 0, 771 × 0 ≃ 1, 25 .
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4 – Espérance, variance, écart-type
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète prenant chaque valeur xi avec une probabilité pi .
On appelle espérance de X et on note E( X ) le nombre réel :
E(X ) =
.
∑ pi xi
L’espérance représente la
de la variable aléatoire : dans le cas d’un grand nombre
de répétitions d’une expérience aléatoire, la valeur moyenne observée se stabilise autour de l’espérance.
Propriété
Soit X une variable aléatoire et a, b deux nombres réels. Alors :
E(aX + b) = aE(X ) + b.
Démonstration
Propriété
Si X et Y sont deux variables aléatoires et si a ∈ R, alors : E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ).
Démonstration
On pose Z = X + Y : la variable aléatoire Z prend chaque valeur zij = xi + y j avec une probabilité pi q j où
pi = P ( X = xi ) et q j = P Y = y j . Ainsi :
E( Z ) =
∑ ∑ pi q j
i
j
xi + y j =
∑ p i x i ∑ y j + ∑ x i ∑ q j y j = E ( X ) + E (Y ) .
i
j
i
j
Définitions
Soit X une variable aléatoire discrète prenant chaque valeur xi avec une probabilité pi .
La variance de X, notée V ( X ), est définie par :
L’écart-type de X, noté σ( X ), est la racine carrée de la variance :
L’écart-type est une mesure de la dispersion des valeurs autour de l’espérance.
Remarques
• On retiendra que la variance est l’espérance du carré des écarts à l’espérance, tout comme en statistique
la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
• La variance et l’écart-type sont des quantités positives ou nulles.
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Propriétés
Si X est une variable aléatoire et si a, b ∈ R, alors
Démonstration
V (aX + b)
= E (aX + b − E(aX + b))2 par définition
= E (aX + b✁ − aE(X ) − b✁)2 car E(aX + b) = aE(X ) + b
= E a2 (X − E(X ))2
= a2 E (X − E(X ))2
car E(αY ) = αE(Y ), où ici α = a2
V (aX + b)
= a2 V ( X )
On en déduit que σ( aX + b)2 = a2 σ( X )2 , donc que σ( aX + b) = | a| σ( X ) car un écart-type est positif.
Remarques
• En appliquant la formule avec a = 1, on a V ( X + b) = V ( X ) : la variance est invariante par translation.
• Avec a = 0, on trouve V (b) = 0 pour tout nombre réel b : la variance d’une constante est nulle.
Théorème de König-Huygens
Soit X une variable aléatoire. Alors :
V (X ) = E X 2 − E(X )2 = ∑ pi xi2 − E(X )2 .
Démonstration
V (X ) =
∑ pi ( xi − E(X ))
2
= ∑ pi x2i − 2xi E( X ) + E( X )2
= ∑ pi x2i − ∑ 2pi xi E( X ) + ∑ pi E( X )2
= ∑ pi x2i − 2E( X ) · ∑ pi xi + E( X )2 · ∑ pi
= ∑ pi x2i − 2E( X ) · E( X ) + E( X )2
avec
∑ pi xi = 1 et ∑ pi = 1
= ∑ pi x2i − E( X )2
Autre version
V (X )
=
E ( X − E( X ))2
=
E X 2 − 2XE( X ) + E( X )2
E X 2 − 2E ( XE( X )) + E( X )2
E X 2 − 2E( X ) E( X ) + E( X )2
E X 2 − E ( X )2
=
=
=
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car E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
car E( aX ) = aE( X ), où ici a = E( X )
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