Probabilités discrètes

Probabilités discrètes
Objectifs
XDéterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire.
XInterpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
1 – Généralités
La théorie des probabilités (autrefois appelé calcul des probabilités) est l’étude mathématique des phénomènes
caractérisés par le hasard et l’incertitude. On modélise une expérience aléatoire en lui associant un ensemble
Ω, appelé , contenant toutes les les possibles.
Un est une partie quelconque de Ω.
Un événement ne comprenant qu’une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
La correspondance entre langage ensembliste, des probabilités et des statistiques est résumée ci-dessous.
Langage ensembliste Langage des probabilités Langage des statistiques
L’ensemble EL’univers ΩLa population
Un élément a∈EUne éventualité a∈ΩUn individu
Un sous-ensemble F⊂EUn événement F⊂ΩUn échantillon
L’ensemble vide ∅L’événement impossible ∅
Ensembles disjoints Événements incompatibles
Exemples
On lance un dé à six faces et on note le numéro correspondant.
L’univers est donc l’ensemble Ω={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. On peut dénombrer 64 événements possibles.
Par exemple, l’événement A=« obtenir un numéro pair » est le sous-ensemble A={2 , 4 , 6} ⊂ Ω.
Constitué de trois éléments, An’est pas un événement élémentaire.
On lance une fléchette au hasard sur une cible de diamètre 40 cm. L’univers Ωest le disque de centre Oet
de rayon 40 et on repère le point d’impact par ses coordonnées dans un (voir figure).
Les événements élémentaires sont les points de ce disque.
On peut définir l’événement « toucher en plein dans le mille » par le disque Dde centre Oet de rayon 1.
Il existe bien entendu beaucoup d’autres événements possibles.
10
20
−10
−20
10 20−10−20 O
D
Première S – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris

Définitions
Soit Aet Bdeux événements de Ω.
•La réunion A∪Bde Aet Best l’événement constitué des éventualités qui appartiennent à Aou à B.
•L’intersection A∩Bde Aet Best constitué des éventualités qui appartiennent à Aet à B.
•Si A∩B=∅, on dit que Aet Bsont .
•L’événement contraire Ade Aest constitué des éventualités de Ωqui n’appartiennent pas à A.
ω∈Assi ω6∈ A
Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes : l’univers Ωest donc formé des 32 couples (v;c)où :
v∈ {7, 8, 9, 10, V,D,R,A}et c∈ {♥,♦,♠,♣} .
On définit les événements E1,E2et E3par
E1=« tirer un as » ; E2=« tirer un cœur » ; E3=« tirer l’as de pique ».
•L’événement E1∩E2est l’événement élémentaire {(A,♥)}(tirer l’as de cœur).
•L’événement E1∪E2est formé de 11 cartes (lesquelles ?).
•L’événement E2∩E3est l’événement impossible ∅:E2et E3sont donc incompatibles.
Définition
Une probabilité est une fonction Pqui associe à chaque événement A⊂Ωun nombre réel appelé
probabilité de l’événement A, noté P(A). Les propriétés importantes d’une probabilité sont les suivantes :
•La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
•Pour tout événement Aet B:
Ω
AB
A∩B
Corollaire
•
•
Démonstration
•Si Aet Bsont incompatibles, P(A∩B) = ∅, donc P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B) = P(A) + P(B).
•Aet Asont incompatibles donc P(A) + PA=PA∪A=P(Ω) = 1.
Première S – 2016 / 2017 2 Lycée Fresnel - Paris

Théorème (loi des grands nombres)
Si une expérience aléatoire est repétée un grand nombre de fois, alors
la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité.
Exemple
Les graphiques ci-dessous montrent l’évolution de la fréquence d’apparition du « six » lorsque l’on lance un
dé (non truqué) un grand nombre fois.
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
22%
24%
26%
28%
30%
32%
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
nb de lancers
fréquence d’apparition du six
1
6
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
22%
24%
26%
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
nb de lancers
fréquence d’apparition du six
1
6
Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence observée se stabilise autour de 1
6.
2 – Équiprobabilité sur un univers fini
Définition
L’ sur un univers fini consiste à attribuer à chaque éventualité la même probabilité.
Sous cette hypothèse, la probabilité d’un événement Avaut :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de Ω.
Première S – 2016 / 2017 3 Lycée Fresnel - Paris

3 – Variables aléatoires
Définition
Une variable aléatoire est une fonction X:Ω−→ Rdéfinie sur Ωqui associe un nombre réel X(ω)à
chaque événement élémentaire ω∈Ω.
Exemples
•On considère un jeu à gratter : le gain correspondant à chaque ticket est une variable aléatoire.
•On lance deux dés à six faces : la somme correspondant à chaque éventualité est une variable aléatoire.
•La fonction qui à chaque jour associe le temps pour se rendre au lycée est une variable très aléatoire.
Notations
Si Xest une variable aléatoire définie sur un univers Ωet a,b∈R, on note :
•P(X=a)la probabilité que Xsoit égale à a;
•P(X6a)la probabilité que Xsoit inférieure ou égale à a(de même pour P(X>a),etc.) ;
•P(X∈[a;b]) ou P(a6X6b)la probabilité que Xappartienne à l’intervalle [a;b].
On dit que Xest une variable aléatoire lorsqu’elle ne prend que des valeurs isolées (c’est toujours
le cas lorsque Ωest fini). Ces valeurs sont alors notées xi(comme en statistique).
On pose
Loi d’une variable aléatoire
Soit Xune variable aléatoire discrète prenant chaque valeur xiavec une probabilité pi.
La loi de la variable aléatoire Xest la fonction qui associe à chaque valeur xisa probabilité pi.
Dans le cas fini, la loi d’une variable aléatoire peut être décrite à l’aide d’un tableau.
Exemple
On prélève au hasard un ticket de bingo lors de l’émission initiale du jeu. Soit Xla variable aléatoire égale au
gain correspondant. On lit sur le verso du ticket la mention obligatoire suivante :
«Tableau de lots : sur 1 500 000 tickets : 288 000 lots de 4e, 48 000 lots de 8e, 5 800 lots de 40e, 1 000
lots de 44e, 20 lots de 400eet 10 lots de 5 000e. »
Les valeurs prises par Xsont ainsi {4 ; 8 ; 40 ; 44 ; 1 000 ; 5 000 ; 0}.
Le tableau suivant résume la loi de X, où les probabilités ont été arrondies à trois chiffres significatifs.
xi4 8 40 44 1 000 5 000 0
pi0, 192 0, 032 3, 87 ·10−36, 67 ·10−41, 33 ·10−56, 67 ·10−60, 771
Pour calculer le gain moyen, on peut diviser la somme mise en jeu par le nombre total de tickets.
Gain moyen =288 000 ×4+48 000 ×8+···+10 ×5 000
1 500 000 ≃1, 25 .
On peut aussi former la somme de tous les gains multipliés par leur probabilité :
Gain moyen =0, 192 ×4+0, 032 ×8+···0, 771 ×0≃1, 25 .
Première S – 2016 / 2017 4 Lycée Fresnel - Paris

4 – Espérance, variance, écart-type
Définition
Soit Xune variable aléatoire discrète prenant chaque valeur xiavec une probabilité pi.
On appelle espérance de Xet on note E(X)le nombre réel :
E(X) = ∑pixi.
L’espérance représente la de la variable aléatoire : dans le cas d’un grand nombre
de répétitions d’une expérience aléatoire, la valeur moyenne observée se stabilise autour de l’espérance.
Propriété
Soit Xune variable aléatoire et a,bdeux nombres réels. Alors :
E(aX +b) = aE(X) + b.
Démonstration
Propriété
Si Xet Ysont deux variables aléatoires et si a∈R, alors : E(X+Y) = E(X) + E(Y).
Démonstration
On pose Z=X+Y: la variable aléatoire Zprend chaque valeur zij =xi+yjavec une probabilité piqjoù
pi=P(X=xi)et qj=PY=yj. Ainsi :
E(Z) = ∑
i
∑
j
piqjxi+yj=∑
i
pixi∑
j
yj+∑
i
xi∑
j
qjyj=E(X) + E(Y).
Définitions
Soit Xune variable aléatoire discrète prenant chaque valeur xiavec une probabilité pi.
La variance de X, notée V(X), est définie par :
L’écart-type de X, noté σ(X), est la racine carrée de la variance :
L’écart-type est une mesure de la dispersion des valeurs autour de l’espérance.
Remarques
•On retiendra que la variance est l’espérance du carré des écarts à l’espérance, tout comme en statistique
la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
•La variance et l’écart-type sont des quantités positives ou nulles.
Première S – 2016 / 2017 5 Lycée Fresnel - Paris