Logique, mathématiques, informatique

Logique, mathématiques, informatique 1
Logique, mathématiques, informatique
Objectifs
Ce document, inachevé, présente le plan du cours d’approfondissement et quelques complé-
ments sur les différentes parties du cours. Il ne vient donc qu’en complément des documents
distribués.
Table des matières
1 La syntaxe des mathématiques : la logique des prédicats 4
1.1 Usage mathématique et théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Lesformules ...................................... 4
1.3 Exemples ........................................ 6
1.4 Lalogiquedespropositions............................... 7
1.5 Passage syntaxique/sémantique : l’interprétation de la logique des prédicats . . . . . 8
1.6 Notion de vérité sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Qu’est-ce qu’une démonstration 9
2.1 Notiondethéorie .................................... 9
2.2 Le“toutsémantique” .................................. 9
2.3 Le tout syntaxique : la déduction formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Exemples de systèmes de déduction formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Formesdeladéduction............................. 10
2.4.2 Un exemple de système hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.3 Un exemple de système de “déduction naturelle” . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Formes normalisées des formules dans la logique classique . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 Cas du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 Casgénéral................................... 11
3 Théories et modèles 12
3.1 Liens entre la syntaxe des axiomes et les modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Quelquesexemples ................................... 12
3.2.1 Théorie de l’ordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Théoriedesgroupes .............................. 12
3.2.3 Théorie des corps ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 L’arithmétique...................................... 12
3.4 Lathéoriedesensembles ................................ 12
ECP 2005-2006 Cours d’approfondissement

Logique, mathématiques, informatique 2
4 Complétude et décidabilité 12
4.1 Le passage syntaxique/sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Théoriecomplète .................................... 12
4.3 Décidabilité....................................... 12
5 Fonction calculable et programme 12
5.1 Les différents styles de programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.1.1 Leslangagesusuels............................... 12
5.2 LesmachinesdeTuring................................. 13
5.3 La programmation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Le λ-calcul ....................................... 14
5.5 Les algorithmes de Markov ou systèmes de réécritures . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.6 Lesfonctionsrécursives................................. 15
5.7 La“thèse”deChurch.................................. 16
5.8 Qu’est-ce qu’un ordinateur : le programme universel, i.e. l’interpréteur . . . . . . . . 16
6 Les limites absolues de la calculabilité 16
6.1 Peut-on se passer des boucles “While” ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Leproblèmedel’arrêt ................................. 17
6.3 Commentaires de l’argument précédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.3.1 LadiagonaledeCantor............................. 18
6.3.2 Quelle est la portée de l’argument ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 Le problème des fondements de l’arithmétique 18
7.1 Le codage des fonctions, formules et programmes dans l’arithmétique . . . . . . . . 18
7.1.1 Lecodagedesarbres.............................. 18
7.1.2 Le codage des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.1.3 Le codage des programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1.4 Le codage des fonctions récursives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1.5 Le codage des démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 La représentation des fonctions récursives dans l’arithmétique . . . . . . . . . . . . 21
7.3 L’incomplétude de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.4 L’indécidabilité de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.5 La consistance de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 Les limites relatives de la calculabilité 24
8.1 Propriétés arithmétiques des fonctions non calculables . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2 Les limites relatives de la calculabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.3 Lacomplexitéentemps................................. 24
8.4 La conjecture P 6=NP.................................. 24
8.5 La complexité algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9 Applications 24
9.1 Démonstration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9.2 L’analysenonstandard ................................. 24
ECP 2005-2006 Cours d’approfondissement

Logique, mathématiques, informatique 3
Bibliographie
– Logique, informatique et paradoxes, J. P. Delahaye, Pour la science, Belin.
– Outils logiques pour l’intelligence artificielle, J. P. Delahaye, Eyrolles.
– A. Arnold, I. Guessarian, Mathématiques pour l’informatique, Masson.
– P. Gochet, P. Gribomont, Logique, Vol. 1, Hermes.
– Information, complexité et hazard, J. P. Delahaye, Hermes.
– Complexité et décidabilité, P. Dehornoy, Springer France.
ECP 2005-2006 Cours d’approfondissement

Logique, mathématiques, informatique 4
1 La syntaxe des mathématiques : la logique des prédicats
1.1 Usage mathématique et théorie des ensembles
Le langage des mathématiques de nos jours fait un grand usage des notions ensemblistes : il y
a peu d’énoncés mathématiques qui ne commencent par “soit l’ensembles des...”. L’énoncé d’une
proposition de la théorie des groupes est par exemple de la forme
∀x∈G∃y x ∗y=e
faisant référence à un groupe Gquelconque. De même la définition de l’uniforme continuité d’une
fonction
∀ > 0∈R∃δ > 0∈R(∀x, y ∈R(|x−y| ≤ δ)⇒(|f(x)−f(y)| ≤ ))
semble nécessiter l’usage de la notion ensembliste d’appartenance ∈. Cet usage est relativement ré-
cent , l’usage “classique” consiste à dire en français “pour tout réel” ou “il existe un entier” faisant
appel à une qualité du nombre (être entier) sans référence à un “ensemble de tous les entiers”. Dans
l’usage classique “être entier” ou “être réel” c’est s’écrire sous la forme d’une suite finie ou infinie
de chiffres (en caricaturant un peu) tandis que dans l’usage moderne “être entier” c’est appartenir à
un ensemble dont la définition renvoie à des constructions ensemblistes : un entier c’est une classe
d’équivalence d’ensembles finis, un réel c’est une classe d’équivalence de suites de Cauchy de ration-
nels...
Cet usage est très commode mais il a de gros inconvénients :
−il dissimule la complexité logique des énoncés : dire qu’une certaine équation du second degré a
une racine se démontre à partir de considérations purement algébriques (tout nombre positif a une
racine carrée), ce n’est pas du même ordre que de dire que tan x=xa une racine non nulle, ce qui,
dans sa définition comme dans sa démonstration, fera appel à l’existence de certaines suites conver-
gentes, c’est à dire à des notions ensemblistes de haut niveau car une suite est un sous-ensemble de
N×R... ;
−il s’appuie sur une théorie, la théorie des ensembles, dont les fondements sont problématiques1.
Nous allons donc écrire les énoncés des mathématiques en évitant toutes références à la notion
d’ensemble sauf si cela paraît absolument nécessaire auquel cas ce sera un énoncé de la théorie des
ensembles. Un énoncé dans lequel apparaissent des objets x, y sans référence à l’ensemble auxquels
ils appartiennent est un énoncé contextuel : le contexte est la théorie dans laquelle cet énoncé prend
un sens, c’est à dire les axiomes qui définissent l’usage des objets.
1.2 Les formules
Nous présentons ici informellement le vocabulaire et les éléments de la syntaxe de la logique des
prédicats, pour définir avec précision les formules qui traduisent les énoncés plus ou moins vague du
langage usuel des mathématiques :
1On ne fait souvent qu’un usage “naïf” de la théorie des ensembles, sans référence à un système axiomatique. Parfois
cet usage naïf est très élémentaire et il peut être évité, d’autre fois, comme dans la théorie de la mesure, il peut conduire à
des paradoxes.
ECP 2005-2006 Cours d’approfondissement

Logique, mathématiques, informatique 5
•Les propositions :
Autrement dit les “formules booléennes” (A⇒(Bou C)). Elles sont construites à partir de symboles
de propositions pouvant avoir des significations concrètes (“la pomme est rouge”, “4est un carré”) et
de connecteurs , on plus précisément on définit les :
−symboles de proposition :P1, ..., Pi, usage courant : P,Q,R...
−connecteurs ¬(“négation”), ∧(“et”), ∨(“ou”), ⊃(“implique” , préféré en logique à l’usage ma-
thématique ⇒), ⇔. Noter que, selon les variantes de présentation de la logique des prédicats, certains
des connecteurs sont primitifs, tandis que les autres sont définis par les premiers, c’est à dire qu’ils
ne servent qu’à alléger l’écriture d’expressions complexes, par exemple A∨Bpourra dans certaines
présentations être défini par ¬(¬A∧ ¬B)et A⊃Bêtre défini par ¬A∨B.
−les parenthèses : certaines conventions d’écriture permettent de s’en passer (la notation polonaise
inverse), la règle voudrait qu’elles soient utilisées systématiquement pour lever les ambiguïtés, l’usage
est de ne les mettre que pour éviter les expressions ambiguës.
−Une proposition est une expression construite à partir de symboles de proposition, des parenthèses
et des connecteurs : ¬P⇒(Q∨R)
•Les termes, ou expressions fonctionnelles, expressions construites par composition de fonctions pri-
mitives, plus précisément, on définit les :
−constantes :a0,...,ai
usage courant : a, b, c... ;
Exemples : dans le langage des corps : 0et 1
−lvariables :x0,...,xi
usage courant : x, y, z....
−symboles de fonctions à k arguments : fi(x1, x2, ..., xk)
usage courant : notation conventionnelle (sin(x),√x, x2et surtout notation opératorielle (plus(x, y)→
x+y), le passage de la forme opératorielle à la forme fonctionnelle conduit à la notation polonaise
inverse.
Exemples : dans le langage des corps +,−, /, . (mais noter les ambiguïtés du langage ordinaire :
le signe −est utilisé pour désigner une fonction à un argument(le signe −x) ou à deux arguments
(l’opérateur x−y), la multiplication est remplacée par un blanc, voire la simple juxtaposition...).
−Un terme est une expression construite à l’aide des constantes, variables et fonctions : f(x, g(f(x, y), y))),
Exemples : dans le langage des corps un terme est une fraction rationnelle.
•Les prédicats ce sont les expressions logiques usuelles avec des variables et des quantificateurs (ac-
compagnés d’exemples pris dans la théorie des corps ordonnés), on définit plus précisément les :
−Symboles de prédicats àkvariables, ce sont les symboles de proposition avec des variables :
Pi(x1, x2, ..., xk)
usage courant : la notation conventionnelle >, =... n’est pas préfixée, on écrit x>yet non pas
>(x, y); dans le langage des corps ordonnés =,≥
−Formule atomique : application d’un prédicat à des termes :
P1(f(x, y), g(f(x, y), y)
c’est donc une proposition. Dans le langage des corps ordonnés
x2+ 1 >0
x
x2+y2=1 y
ECP 2005-2006 Cours d’approfondissement