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Fiche L2
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CALCULER UNE LONGUEUR AVEC LA TRIGONOMETRIE
3ème
Connaitre et utiliser le vocabulaire des côtés d’un triangle rectangle
Utiliser les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente d’un angle aigu
Utiliser l’égalité des produits en croix
Utiliser sa calculatrice pour calculer une longueur grâce à la trigonométrie
Arrondir ses résultats convenablement.
Traduire en langage mathématique une situation réelle
Construire une démarche qui combine des étapes de raisonnement
1 En 1751, François de Lalande et Louis de La Caille imaginent de calculer la distance entre la Terre et
la Lune. Voici la manière d’obtenir cette distance :
Un observateur se trouve à Berlin (B) en soirée. Lorsque la Lune se trouve sur le même plan que Berlin,
le centre de la Terre (T) et le méridien du pôle Nord, il mesure l’inclinaison de la Lune par rapport à la
verticale. Il obtient 53,29°.
Le rayon de la Terre est de 6 370 km et la latitude de Berlin est 52,52°.
Attention ce schéma n’est pas à l’échelle : la Lune est en réalité beaucoup plus loin de la Terre.
a. Calculer les longueurs BH et TH (au km près).
b. Déterminer la mesure des angles TBH et HBL.
c. Montrer que la distance TL entre la Terre et la Lune trouvée par ces deux scientifiques est environ
379 996 km.
Pour info : La distance réelle entre la Terre et la Lune est environ 384 400 km.
2 Un avion décolle de la piste suivant un angle d’inclinaison de 12° et se trouve au bout de 9 minutes
d’ascension, en suivant cet angle, à 5 km d’altitude.
a. Quelle distance a-t-il parcouru depuis le décollage (arrondir à l’unité) ?
b. Quelle est la vitesse moyenne (en km/h) de cet avion sur ce trajet ?
3 Quelle est la distance séparant les deux bateaux ci-dessous (arrondir au mètre près) ?
Correction Fiche L2
1 a. Dans le triangle TBH rectangle en H : sin BTH =
BH
BT
BH
6370
BH = 6370 × sin 52,52°
BH ≈ 5055 km
sin 52,52° =
b. TBH = 180 ‒ (90 + 52,52) = 37,48°
TH
BT
TH
cos 52,52° =
6370
TH = 6370 × cos 52,52°
TH ≈ 3876 km
cos BTH =
HBL = 180 ‒ (37,48 + 53,29) = 89,23°
HL
HB
HL
tan 89,23° ≈
5055
HL ≈ 5055 × tan 89,23°
HL ≈ 376 120 km
c. Dans le triangle BHL rectangle en H : tan HBL =
d. TL = TH + HL ≈ 3876 + 376 120 = 379 996 km.
A
2
a. Dans le triangle ABC rectangle en B : sin ACB =
5
AC
5
AC =
≈ 24 km.
sin 12°
sin 12° =
5 km
12°
C
B
d
9 min = 9 : 60 h = 0,15 h
t
24
V=
0,15
V = 160 km/h
b. V =
3
A
B
C
D
Dans le triangle BAC rectangle en B :
BA
tan BCA =
BC
40
tan 22° =
BC
40
BC =
≈ 99 m
tan 22°
BA
BD
40
tan 16° =
BD
40
BD =
≈ 139 m
tan 16°
Dans le triangle BAD rectangle en B : tan BDA =
CD = BD ‒ BC ≈ 139 ‒ 99 = 40 m
AB
AC
A
4 Calculer, au dixième près, le périmètre du triangle ABC.
6,5 cm
62°
B
28°
C
5 Julie veut installer des panneaux solaires sur le pan gris de la toiture de sa maison.
Doc.1 : Schéma de la maison
Doc.2 : Panneau solaire
Combien de panneaux solaires pourra-telle installer au maximum, sachant qu’ils
sont tous fixés dans le même sens ?
6 a. Construire un triangle RST tel que ST = 6,5 cm, TSR = 50° et SR = 3,4 cm.
b. Placer le point H pied de la hauteur issue de R.
c. Déterminer l’aire du triangle RST.
Correction du 4 : BAC = 180 − (62 + 38) = 90° donc le triangle ABC est rectangle en A.
AC
AB
6,5
tan 62° =
AB
6,5
AB =
≈ 3,5 cm
tan 62°
tan ABC =
AC
BC
6,5
cos 28° =
BC
6,5
BC =
≈ 7,4 cm
cos 28°
cos ACB =
Périmètre du triangle ABC ≈ 6,5 + 3,5 + 7,4 = 17,4 cm.
Correction du 6 :
RH
RS
RH
sin 50° =
3,4
RH = 3,4 × sin 50°
RH ≈ 2,6 cm
Dans le triangle SRH rectangle en H : sin RSH =
Aire du triangle RST =
ST × RH 6,5 × 2,6
≈
= 8,45 cm²
2
2
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