Fonctions numériques : dérivation

Fonctions numériques : dérivation
B. Aoubiza
Département GTR
29 septembre 2002

Table des matières
7 Fonctions d’une variable réelle : dérivation 2
7.1 Préliminaires ........................................... 2
7.1.1 Préliminaires—Problèmedebase............................ 2
7.1.2 Préliminaires—droitetangenteauxcercles....................... 3
7.1.3 Préliminaires—Droitetangenteàlacourbe ..................... 3
7.1.4 Préliminaires—Droitesécanteàlacourbe....................... 4
7.2 Dérivationdefonctionsnumériques............................... 4
7.2.1 Dérivation — Définitions ................................. 4
7.2.2 Dérivation—Exemples.................................. 5
7.2.3 Dérivation—fonctiondérivée .............................. 7
7.2.4 Différentielled’unefonction............................... 9
7.2.5 Dérivationestcontinuité................................. 10
7.2.6 Quelques situations où la fonction n’est pas différentiable .............. 11
7.2.7 Dérivéessuccessives ................................... 11
7.3 Règlesdedérivationdesfonctionsalgébriques......................... 12
7.3.1 Règlesdedérivation—Dérivéed’unefonctionconstante ............... 12
7.3.2 Règlesdedérivation—Dérivéedelafonctionidentité................. 12
7.3.3 Règles de dérivation — Dérivée de la fonction f(x)=xm............... 13
7.3.4 Règlesdedérivation—Dérivéedelapuissanced’unefonction ............ 14
7.3.5 Règlesdedérivation—Dérivéed’unesomme:règledelinéarité ........... 15
7.3.6 Règlesdedérivation—Dérivéeduproduitdedeuxfonctions............. 16
7.3.7 Règlesdedérivation—Dérivéedel’inverse....................... 17
7.3.8 Règlesdedérivation—Dérivéedurapport....................... 17
7.3.9 Dérivationd’unefonctioncomposée .......................... 20
7.3.10 Dérivationd’unefonctionréciproque.......................... 22
7.3.11 Graphed’unefonctionsetdesesdeuxpremièresdérivées .............. 22
7.4 Dérivationdesfonctionstrigonométriques ........................... 23
7.4.1 Dérivationdesfonctionstrigonométriques—limitesfondamentales ......... 23
7.4.2 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction sin ............... 26
7.4.3 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction cos ............... 26
7.4.4 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction tan et cot ........... 27
7.4.5 Dérivationdesfonctionstrigonométriques—Fonctionscomposées.......... 27
1

Chapitre 7
Fonctions d’une variable réelle :
dérivation
7.1 Préliminaires
7.1.1 Préliminaires — Problème de base
Considérons le graphe d’une fonction y=f(x). Analyser cette fonction au moyen de son graphe.
y
x
on n’a pas besoin d’être très fort en mathématique pour constater un ensemble de faits : quand
xva de gauche à droite, le graphe descend puis remonte puis descend. Cette description qualitative est
acceptable mais elle n’est pas très précise.
Terme intuitif Terme mathématique
remonter/montant ce qui signifie croître/croissance
descendre/descente ce qui signifie décroître/decroissance
Examinons les trois figures suivantes.
x
y
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
2

On constate qu’on a : une croissance lente (fig.a), une croissance modérée (fig.b) puis une croissance
forte (fig.c).
Ainsi, pour décrire un graphe correctement, on a besoin d’autres choses que les mots croissance et
décroissance, ce qui nous amène au problème de base : Comment mesurer avec précision la vitesse de
croissance ou de décroissance d’une courbe ?
Il y a moyen de répondre à cette question. Cette réponse fait appelle à la notion de ligne tangente.
7.1.2 Préliminaires — droite tangente aux cercles
Considérons le demi-cercle unité centré à l’origine. Notons qu’une ligne est tangente au cercle si leur
intersection est réduite à un point. Regardons ce qui se passe pour certains points particuliers.
0
1
y
-1 -0.5 0.5 1
x
0
1
y
-1 -0.5 0.5 1
x
0
1
y
-1 -0.5 0.5 1
x
Croissance brusque. Croissance modérée. Croissance lente
On constate que
La croissance et la décroissance de la courbe sont intimement liées à la pente de la ligne tangente.
Il reste maintenant à quantifier cette "découverte" mathématiquement.
7.1.3 Préliminaires — Droite tangente à la courbe
On dit qu’une droite est tangente à une courbe s’elle ne la touche qu’en un seul point (sans
la traverser). Il reste à définir l’unicité de la ligne.
Exemple 1 Considérons les graphes suivants :
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3
x
y
f x
()
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3
x
y
f x
()
x
y
f x ()
0
(a) Trois lignes “tangente". (b) Une tangente qui traverse la courbe. (c) Pas de ligne tangente.
-Notonsquelalignetangentedelafigure (b) est une exception (car elle traverse la courbe).
-Pourlafigure (c) on constate que la ligne tangente n’est pas unique.
3

7.1.4 Préliminaires — Droite sécante à la courbe
Soit hun réel petit et (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) deux points du graphe de f. La droite, appelée
droite sécante, passant par ses deux points a pour pente :
mh=f(a+h)−f(a)
(a+h)−a=f(a+h)−f(a) h
aa+h
(a+h,f(a+h))
(a,f(a))
Droite
sécante
Droite
tangente
y
x
Etant donné het a, on peut calculer facilement la pente de cette droite.
Si on partage hpar 2, c’est-à-dire h/2.Ladroite sécante passant par les deux points (a, f(a)) et
(a+h
2,f(a+h 2)) apourpente:
mh/2=f(a+h/2) −f(a)
(a+h/2) −a=f(a+h/2) −f(a) h/2
Si on continue à diviser h, on constate que la droite sécante passant par les deux points (a, f(a)) et
(a+h
n,f(a+h n)) s’approche de plus en plus de la droite tangente à la courbe au point (a, f(a)).Ainsi,
lapentedelatangenteàlacourbeaupointsx=as’obtient en faisant tendre hvers 0. C’est-à-dire
mtan =lim
h→0mh= lim h→0
f(a+h)−f(a)
h
Exemple 2 Considérons la fonction y=f(x)=x2et le point a=1.Calculermhpour une petite
valeur de h.
Solution :Lapentedeladroitesécantemhest donnée par
mh=(1 + h)2−12
h
Un calcul algébrique simple permet d’avoir
mh=1+2h+h2−1
h=2+h
et donc
mtan = lim
h→0mh= lim h→0(2 + h)=2
7.2 Dérivation de fonctions numériques
7.2.1 Dérivation — Définitions
Définition 1 La dérivée (pente)delafonctionf(x)en x=aest définie par
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
Si la limite n’existe pas, on dit que la dérivée de f(x)en x=an’ex ist e pas.
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