Fonctions numériques : dérivation

Fonctions numériques : dérivation
B. Aoubiza
Département GTR
29 septembre 2002
Table des matières
7 Fonctions d’une variable réelle : dérivation
7.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Préliminaires — Problème de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Préliminaires — droite tangente aux cercles . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Préliminaires — Droite tangente à la courbe
. . . . . . . . . . . .
7.1.4 Préliminaires — Droite sécante à la courbe . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Dérivation de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Dérivation — Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Dérivation — Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Dérivation — fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Différentielle d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Dérivation est continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Quelques situations où la fonction n’est pas différentiable . . . . .
7.2.7 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Règles de dérivation des fonctions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Règles de dérivation — Dérivée d’une fonction constante . . . . . .
7.3.2 Règles de dérivation — Dérivée de la fonction identité . . . . . . . .
7.3.3 Règles de dérivation — Dérivée de la fonction f (x) = xm . . . . . .
7.3.4 Règles de dérivation — Dérivée de la puissance d’une fonction . . .
7.3.5 Règles de dérivation — Dérivée d’une somme : règle de linéarité . .
7.3.6 Règles de dérivation — Dérivée du produit de deux fonctions . . . .
7.3.7 Règles de dérivation — Dérivée de l’inverse . . . . . . . . . . . . . .
7.3.8 Règles de dérivation — Dérivée du rapport . . . . . . . . . . . . . .
7.3.9 Dérivation d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.10 Dérivation d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.11 Graphe d’une fonctions et de ses deux premières dérivées . . . . .
7.4 Dérivation des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Dérivation des fonctions trigonométriques — limites fondamentales
7.4.2 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction sin . . . . . .
7.4.3 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction cos . . . . . .
7.4.4 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction tan et cot . .
7.4.5 Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonctions composées .
1
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2
2
2
3
3
4
4
4
5
7
9
10
11
11
12
12
12
13
14
15
16
17
17
20
22
22
23
23
26
26
27
27
Chapitre 7
Fonctions d’une variable réelle :
dérivation
7.1
7.1.1
Préliminaires
Préliminaires — Problème de base
Considérons le graphe d’une fonction y = f (x). Analyser cette fonction au moyen de son graphe.
y
x
on n’a pas besoin d’être très fort en mathématique pour constater un ensemble de faits : quand
x va de gauche à droite, le graphe descend puis remonte puis descend. Cette description qualitative est
acceptable mais elle n’est pas très précise.
Terme intuitif
remonter/montant
descendre/descente
ce qui signifie
ce qui signifie
Terme mathématique
croître/croissance
décroître/decroissance
Examinons les trois figures suivantes.
y
x
(a)
y
y
x
x
(b)
2
(c)
On constate qu’on a : une croissance lente (fig.a), une croissance modérée (fig.b) puis une croissance
forte (fig.c).
Ainsi, pour décrire un graphe correctement, on a besoin d’autres choses que les mots croissance et
décroissance, ce qui nous amène au problème de base : Comment mesurer avec précision la vitesse de
croissance ou de décroissance d’une courbe ?
Il y a moyen de répondre à cette question. Cette réponse fait appelle à la notion de ligne tangente.
7.1.2
Préliminaires — droite tangente aux cercles
Considérons le demi-cercle unité centré à l’origine. Notons qu’une ligne est tangente au cercle si leur
intersection est réduite à un point. Regardons ce qui se passe pour certains points particuliers.
1
1
y
y
-1
0
-0.5
1
0.5
1
x
Croissance brusque.
-1
y
0
-0.5
0.5
x
-1
1
Croissance modérée.
0
-0.5
0.5
x
1
Croissance lente
On constate que
La croissance et la décroissance de la courbe sont intimement liées à la pente de la ligne tangente.
Il reste maintenant à quantifier cette "découverte" mathématiquement.
7.1.3
Préliminaires — Droite tangente à la courbe
On dit qu’une droite est tangente à une courbe s’elle ne la touche qu’en un seul point (sans
la traverser). Il reste à définir l’unicité de la ligne.
Exemple 1 Considérons les graphes suivants :
y
f (x)
4
2
-3
-2
-1
0
y
y
4
2
1
2
3
x
-3
-2
-1
-2
1
2
3
x
f (x)
-2
0
-4
(a) Trois lignes “tangente".
0
f ( x)
-4
(b) Une tangente qui traverse la courbe.
(c) Pas de ligne tangente.
- Notons que la ligne tangente de la figure (b) est une exception (car elle traverse la courbe).
- Pour la figure (c) on constate que la ligne tangente n’est pas unique.
3
x
7.1.4
Préliminaires — Droite sécante à la courbe
Soit h un réel petit et (a, f (a)) et (a + h, f (a + h)) deux points du graphe de f . La droite, appelée
droite sécante, passant par ses deux points a pour pente :
y
Droite
sécante
mh =
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
(a + h) − a
h
(a+h,f(a+h))
Droite
tangente
(a,f(a))
a
a+h
Etant donné h et a, on peut calculer facilement la pente de cette droite.
Si on partage h par 2, c’est-à-dire h/2. La droite sécante passant par les deux points (a,
x
f (a)) et
(a + h2 , f (a + h2 )) a pour pente :
mh/2 =
f (a + h/2) − f (a)
f (a + h/2) − f (a)
=
(a + h/2) − a
h/2
Si on continue à diviser h, on constate que la droite sécante passant par les deux points (a, f (a)) et
(a + nh , f (a + nh )) s’approche de plus en plus de la droite tangente à la courbe au point (a, f (a)). Ainsi,
la pente de la tangente à la courbe au points x = a s’obtient en faisant tendre h vers 0. C’est-à-dire
mtan = lim mh = lim
h→0
h→0
f (a + h) − f (a)
h
Exemple 2 Considérons la fonction y = f (x) = x2 et le point a = 1. Calculer mh pour une petite
valeur de h.
Solution : La pente de la droite sécante mh est donnée par
mh =
(1 + h)2 − 12
h
Un calcul algébrique simple permet d’avoir
mh =
1 + 2h + h2 − 1
=2+h
h
et donc
mtan = lim mh = lim (2 + h) = 2
h→0
7.2
7.2.1
h→0
Dérivation de fonctions numériques
Dérivation — Définitions
Définition 1
La dérivée (pente) de la fonction f (x) en x = a est définie par
f 0 (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
Si la limite n’existe pas, on dit que la dérivée de f (x) en x = a n’existe pas.
4
Dérivée à gauche et dérivée à droite Puisque la définition de la dérivée en un point est basée sur
la notion de limite, on a donc nécessairement besoin de faire référence aux notions de limites à droite et
limite à gauche.
Définition 2 La dérivée à gauche (resp. à droite) de la fonction f (x) en x = a est définie par
lim
h→0−
f (a + h) − f (a)
h
(resp. lim+
h→0
f (a + h) − f (a)
)
h
Si la limite n’existe pas, on dit que la dérivée à gauche (resp. à droite) de f (x) en x = a n’existe pas.
Si on écrit x = a + h, alors h = x − a et donc
h → 0 est équivalent à x → a
et on a une définition équivalente de la dérivée au point a
f 0 (a) = lim
x→a
Remarque 1 Le rapport
f (x) − f (a)
x−a
f (a + h) − f (a)
est le taux de variation moyenne de f sur l’intervalle [a, a + h].
(a + h) − a
Définition 3 Si la dérivée f 0 (a) de la fonction f (x) en x = a existe, alors la droite tangente à la
fonction f (x) existe en x = a et son équation est donnée par
y − f (a) = f 0 (a)(x − a)
ou
y
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
f (x )
Droite
tangente
0
7.2.2
a
x
Dérivation — Exemples
Exemple 3 En utilisant la définition, déterminer la dérivée de la fonction y = x3 en a = 2.
Solution : en tenant compte de la définition on a
f (2 + h) − f (2)
h
(2 + h)3 − 23
= lim
h→0
h
8 + 12h + 6h2 + h3 − 8
= lim
h→0
h
= lim (12 + 6h + h2 ) = 12
f 0 (2) = lim
h→0
ou
mh
h→0
f (2 + h) − f (2)
h
(2 + h)3 − 23
=
h
8 + 12h + 6h2 + h3 − 8
=
h
= 12 + 6h + h2
=
f 0 (2) = lim mh = lim (12 + 6h + h2 ) = 12
h→0
5
h→0
Remarque 2 Les opérations algébriques ci-dessus sont nécessaires. Car si on substitue directement
h = 0 dans l’expresion
(2 + h)3 − 23
h
0
on obtiendrai la forme indéterminée .
0
x3
Exemple 4 En utilisant la définition, déterminer la dérivée de la fonction y =
− 2x en x = 1.
3
Solution : en tenant compte de la définition on a
f (1 + h) − f (1)
h→0
h
·
¸ · 3
¸
(1 + h)3
(1)
− 2(1 + h) −
− 2(1)
3
3
= lim
h→0
h
3
5
h
5
[− − h + h2 + ] − [− ]
3
3
3
= lim
h→0
h
h3
−h + h2 +
2
3 = lim −1 + h + h = −1
= lim
h→0
h→0
h
3
f 0 (1) =
lim
5
L’équation de la tangente est donc y − f (1) = f 0 (1)(x − 1). Sachant que f (1) = − et f 0 (1) = −1, on a
3
5
y + = −x + 1.
3
3
2
1
-3
-2
-1
1
x
2
3
-1
-2
-3
Exemple 5 En utilisant la définition, déterminer la dérivée de la fonction y = 4x2 + 3x + 1 en x = −1.
Solution : en tenant compte de la définition on a
f (1 + h) − f (1)
h
[4 (−1 + h)2 − 2 + 3h] − [2]
= lim
h→0
h
[2 − 5h + 4h2 ] − [2]
= lim
h→0
h
−5h + 4h2
= lim
= lim −5 + 4h = −5
h→0
h→0
h
f 0 (1) =
lim
h→0
L’équation de la tangente est donc y − f (−1) = f 0 (−1)(x − (−1)). Sachant que f (−1) = 2 et f 0 (1) =
−5, on a y − 2 = −5(x + 1) ou y = −5x − 3.
6
6
4
-2
-1.5
-1
x
-0.5
0
0.5
1
-2
-4
Exemple 6 Montrer que la fonction valeur absolue y = |x| n’est pas dérivable en a = 0.
Solution : En examinant le graphe de y = |x|, il est possible de d’accepter que cette fonction n’est pas
dérivable en a = 0 car il est clair qu’il n’ y a pas une droite tangente unique en ce point.
y
x
Mathématiquement, on essai de calculer
lim
h→0
si h > 0, alors |h| = h et donc
lim
h→0+
|0 + h| − |0|
|h|
= lim
h→0 h
h
|h|
h
= lim+ = lim+ 1 = 1
h
h→0 h
h→0
Par contre, si h < 0, alors |h| = −h et donc
lim−
h→0
h
|h|
= lim− − = lim− −1 = −1
h
h h→0
h→0
Comme la limite n’est pas unique quand h → 0, la limite lim
h→0
n’existe pas en a = 0.
7.2.3
|h|
n’existe pas et conséquent la dérivée
h
Dérivation — fonction dérivée
Notons que la dérivée d’une fonction est définie point par point. Si la dérivée est calculée
en tout point où elle existe, alors on génère une nouvelle fonction : qu’on appelle fonction
dérivée. On a noté f 0 (a) la dérivée de f (x) en x = a, de la même manière on note f 0 (x) ou
df
la dérivée de f (x) en x, et donc f 0 (x) est une fonction de x.
dx
7
Remarque 3 La fonction f 0 est appelée dérivée de f car elle dérive de f par une opération de limite.
Le domaine de f 0 est l’ensemble
{x ∈ Df tel que f 0 (x) existe}
qui est nécessairement inclus dans le domaine de f .
Remarque 4 Souvent on note
∆f = f (x + h) − f (x)
∆x = (x + h) − x
: variation de f
: variation de x
d’où
df
∆f
= lim
dx ∆x→0 ∆x
Exemple 7 Calculer la dérivée de f (x) = x2
Solution :
— Etape 1 : Calcul algébrique
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − x2
x2 + 2xh + h2 − x2
2xh + h2
=
=
=
= 2x + h
h
h
h
h
d’où
f (x + h) − f (x)
= 2x + h
h
— Etape 2 : Passage à la limite ou calcul différentiel
f (x + h) − f (x)
= lim 2x + h = 2x
h→0
h→0
h
f 0 (x) = lim
Noter qu’on ne prend h = 0 qu’après division par h.
Remarque 5 La seule différence entre ce calcul et celui qu’on faisait précédemment c’est que ici on
utilise un point arbitraire x à la place d’ un point particulier a = 1.
1
Exemple 8 Calculer la dérivée de f (x) =
x
Solution :
— Etape 1 : Calcul algébrique
f (x + h) − f (x) =
d’où
1
1
x − (x + h)
−h
− =
=
x+h x
(x + h)x
(x + h)x
f (x + h) − f (x)
−1
=
h
(x + h)x
— Etape 2 : Passage à la limite ou calcul différentiel
−1
f (x + h) − f (x)
−1
= lim
= 2
h→0
h→0 (x + h)x
h
x
√
Exemple 9 Calculer la dérivée f 0 (x) de la fonction f (x) = x.
Solution : Noter qu’on peut faire le calcul sans distinguer les deux étapes. Par définition on a :
√
√
f (x + h) − f (x)
x+h− x
0
f (x) = lim
= lim
h→0
h→0
h
h
f 0 (x) = lim
8
Pour simplifier
le dernier
terme on rationalise le numérateur, en multipliant le numérateur et denomi√
√
nator by x + h + x. D’où on a
√
√
√
√
x+h− x
x+h+ x
0
f (x) = lim
·√
√
h→0
h
x+h+ x
√
√
( x + h)2 − ( x)2
x+h−x
√
= lim √
= lim
√
√
h→0 h( x + h + x)
h→0 h( x + h + x)
1
h
1
1
√ = √
= lim √
√ = lim √
√ =√
h→0 h( x + h + x)
h→0
x+ x
2 x
x+h+ x
√
NOTE : Dans cette exemple, le domaine de f (x) = x comprend tous les réels x tel que x ≥ 0, alors
1
que le domaine de f 0 (x) = √ comprend tous les réels x tel que x > 0. Autrement la dérivée n’est pas
2 x
définie en x = 0.
En conclusion, pour une fonction donnée f (x), si on peut calculer sa dérivée f 0 (x), on a
obtient la réponse à la question posée au début. Cette fonction dérivée permet de mesurer
avec précision la croissance et la décroissance de la fonction en question.
Remarque 6 Les deux formules donnant la dérivée d’une fonction contiennent diverses nouvelles notations :
— la notion de limite ;
— une nouvelle fonction f 0 ;
— dx : variation infinitésimale de x ;
∆f
—
: taux de variation.
∆x
Notations de la dérivée
La dérivée par rapport à x de y = f (x) se note selon l’un des symboles suivants :
f 0 (x)
y0
d
y
dx
dy
dx
df
dx
Df (x)
Dx f (x)
dy
Les symboles D et
sont appelées opérateurs différentielles car ils indiquent l’opération de differentiation
dx
qui est le processus du calcul de la dérivée.
dy
, qui a été introduit par Leibniz, ne doit pas être compris comme un rapport
dx
(pour l’instant), il est simplement un synonyme de f 0 (x).
Remarque 7 Le symbole
7.2.4
Différentielle d’une fonction
Définition 4 Une fonction f est dite differentiable en un point a si f 0 (a) existe en ce point. Elle est
differentiable sur un intervalle ouvert, s’elle est differentiable en tout point de l’intervalle.
Dans ce cas, il existe une fonction ε(x) telle que :
f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a)ε(x)
9
avec
lim ε(x) = 0.
x→a
Définition 5 L’application linéaire
h 7−→ f 0 (a)h
est appelée différentielle de la fonction f en a. Cette application est notée : dfa
Notation 1 D’après la définition on a : dfa (h) = f 0 (a).h
Remarque 8 si h est petit h = dx(h), on a la notation du différentielle d’une fonction
dfa = f 0 (a)dx
et
df = f 0 (x)dx
On vérifiera que les formules de dérivation d’une somme, d’un produit, d’un quotient, se transposent,
df
en utilisant la notation différentielle de la dérivée f 0 (x) =
, en
dx
d(f + g) = df + dg
d(f g) = gdf + f dg
gdf − f dg
f
d( ) =
g
g2
Remarque 9 La notion de différentielle est très utilisée en physique.
Remarque 10 Pour de <<petite variations>>
∆f
df
est assimilable à
(Calcul d’incertitude)
f
f
Exemple 10 Calculons la variation relative de f (x) = cos x si x = π6 et dx =
1
— ∆f = cos(x + dx) − cos x = cos( π6 + 10
) − cos( π6 ) = −0.05 424 3
π 1
— df = − sin xdx = − sin( 6 ) 10 = −.0 5
∆f
df
—
≈ −0.054 et
≈ −0.057
f
f
7.2.5
1
10
Dérivation est continuité
Théorème 1 Si f est dérivable au point a, alors f est continue en a.
Preuve. Pour prouver que f est continue en a, on montre que lim f (x) = f (a). Pour cela, on montre
x→a
que f (x) − f (a) approche 0.
Pour x 6= a on peut écrire
f (x) − f (a) =
f (x) − f (a)
(x − a)
(x − a)
On utilise le fait que f est differentiable. On passe à la limite
f (x) − f (a)
(x − a)]
(x − a)
f (x) − f (a)
= lim [
] lim (x − a)]
x→a
x→a
(x − a)
= f 0 (a).0
=0
lim [f (x) − f (a)] = lim [
x→a
x→a
10
et donc
lim f (x) = lim [f (a) + (f (x) − f (a))]
x→a
x→a
= lim f (a) + lim [f (x) − f (a)]
x→a
x→a
= f (a) + 0
et par conséquent f est continue en a.
Remarque 11 La réciproque du théorème est fausse. Il suffit de prendre la fonction x → |x| au point 0.
4
3
2
1
-4
7.2.6
-2
0
2 x
4
Quelques situations où la fonction n’est pas différentiable
Soit f une fonction numérique. Considérons le rapport
r=
f (x) − f (a)
x−a
1. Si r admet une limite à droite et une limite à gauche différentes, la courbe (Cf ) admet au point
(a, f (a)) deux demi-tangentes. Le point (a, f (a)) est un point anguleux. (pas de dérivéee) fig.a)
2. Si r −→ (±)∞ le point (a, f (a)) est un point d’inflexion à tangente parallèle à Oy (pas de dirigée).
fig.b)
3. Si r admet pour limite à droite +∞ et pour limite à gauche −∞, le point (a, f (a)) est un point de
rebroussement de première espèce à tangente parallèle à Oy. fig.c)
a)
Point anguleux
7.2.7
b)
c)
Tangente // à Oy
Point de rebroussement
Dérivées successives
Soit y = f (x) une fonction dérivable. Sa dérivée f 0 s’appelle dérivée première de f . Si la fonction f 0
d2 y ”
est dérivable sa dérivée s’appelle dérivée seconde de f et se note
, y ou f ” (x). De même, la dérivée
dx2
d3 y 000
, y ou f 000 (x). Et ainsi de suite.
de la dérivée seconde s’appelle la dérivée troisième de f et se note
dx3
Formule de Leibniz
11
Proposition 1 Formule de Leibniz. Soient f et g dérivables n fois sur D. Alors, on a :
(f g)(n) =
n
X
Cnk f (k) g (n−k) .
k=0
7.3
Règles de dérivation des fonctions algébriques
S’il était toujours nécessaire de calculer la dérivée directement à partir de la définition, de tels calculs deviennent trop compliqués et l’évaluation de certaines limites nécéssite une certaine ingéniosité.
Heureusement, plusieurs lois ont été développées pour la recherche de la dérivée sans passer par la définition.
Notons que les fonctions algébriques élémentaires sont dérivables sur leurs intervalles de définition,
hormis quelques points singulières. Le procédé de recherche de la dérivée d’une fonction s’appelle la
dérivation ou differentiation.
Dans cette section, u, v, et w sont des fonctions dérivables en x, et c et m sont des constantes.
7.3.1
Règles de dérivation — Dérivée d’une fonction constante
On considère la fonction f (x) = c. Calculons sa dérivée. Par définition, on a
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Calculons le rapport
f (x + h) − f (x)
c−c
0
=
= =0
h
h
h
d’où
f 0 (x) = lim
h→0
7.3.2
f (x + h) − f (x)
= lim 0 = 0
h→0
h
d
(c) = 0
dx
Règles de dérivation — Dérivée de la fonction identité
On considère la fonction f (x) = x. Calculons sa dérivée. Par définition, on a
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Calculons le rapport
f (x + h) − f (x)
x+h−x
h
=
= =1
h
h
h
d’où
f (x + h) − f (x)
= lim 1 = 1
h→0
h→0
h
d
(x) = 1
dx
f 0 (x) = lim
12
7.3.3
Règles de dérivation — Dérivée de la fonction f (x) = xm
Proposition 2 La dérivée de la fonction f (x) = xm est f 0 (x) = mxm−1
Preuve. En effet
f (x + h) − f (x)
h
=
=
(x + h)m − xm
h
m
P
p m−p p
Cm x
h − xm
p=0
m
P
p=1
p m−p p
Cm
x
h
=
h
h
1 m−1
2 m−2 2
m−1 1 m−1
m 0 m
Cm
x
h + Cm
x
h + · · · + Cm
x h
+ Cm
x h
=
h
1 m−1
2 m−2 0
m−1 1 m−2
m 0 m−1
x
+ h(Cm
x
h + · · · + Cm
x h
+ Cm
x h
)
= Cm
d’où
f (x + h) − f (x)
h→0
h
lim
1 m−1
x
= Cm
= mxm−1
Exemple 11 Déterminer la dérivée de f (x) = x3 .
Solution : d’après la règle précédente, on a
f 0 (x) = 3x3−1 = 3x2
Remarque 12 Notons que ce résultat est en accord avec le résultat du calcul de la dérivée en utilisant
la définition
(x + h)3 − x3
h→0
h
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3
= lim
h→0
h
3x2 h + 3xh2 + h3
= lim
h→0
h
= lim (3x2 + 3xh + h2 )
f 0 (x) =
lim
h→0
= 3x2
Exemple 12 Déterminer la dérivée de f (x) = x5 .
Solution : d’après la règle précédente, on a
f 0 (x) = 5x5−1 = 5x4
Remarque 13 Notons que ce résultat est en accord avec le résultat du calcul de la dérivée en utilisant
13
la définition
f 0 (x) =
=
=
=
=
(x + h)5 − x5
h→0
h
x5 + 5x4 h + 10x3 h2 + 10x2 h3 + 5xh4 + h5 − x5
lim
h→0
h
5x4 h + 10x3 h2 + 10x2 h3 + 5xh4 + h5
lim
h→0
h
5x4 h + 10x3 h2 + 10x2 h3 + 5xh4 + h5
lim
h→0
h
4
3
lim 5x + 10x h + 10x2 h2 + 5xh3 + h4
lim
h→0
4
= 5x
La clé c’est le développement en utilisant le triangle de Pascal
(x + h)5 = x5 + 5x4 h + 10x3 h2 + 10x2 h3 + 5xh4 + h5
7.3.4
Règles de dérivation — Dérivée de la puissance d’une fonction
C’est l’une des règles les plus importantes.
Proposition 3 La dérivée de la fonction f (x) = (u(x))m est f 0 (x) = mu0 (x)(u(x))m−1
Preuve. Démonstration par récurrence sur m.
Exemple 13 Calculer la dérivée de f (x) = (x + x2 )3 .
3
Solution : En posant u(x) = x + x2 , on a f (x) = (u(x)) . Notons que g 0 (x) = 1 + 2x , et par application
de la règle de dérivation de la puissance d’une fonction, on obtient
f 0 (x) = 3(x + x2 )3−1 (1 + 2x)
= 3(1 + 2x)(x + x2 )2
√
Exemple 14 Calculer la dérivée de f (x) = 1 − x2 .
Solution : Notons que f (x) = (1 − x2 )1/2 . Ainsi, en posant u(x) = 1 − x2 , on a f (x) = [g(x)]1/2 . , et
par application de la règle de dérivation de la puissance d’une fonction, on obtient
1
(1 − x2 )(1/2)−1 · (−2x)
2
= −x(1 − x2 )−1/2
f 0 (x) =
Soit
−x
f 0 (x) = √
1 − x2
Remarque 14 Si u0 (x) est la dérivée de u(x), quelle est la dérivée de f (x) = (u(x))2 ? Attention (u2 )0
du
6= ( )2 . Calculons ∆f
dx
∆f
= f (x + ∆x) − f (x)
= (u(x + ∆x))2 − (u(x))2
= (u(x + ∆x) + u(x))(u(x + ∆x) − u(x))
14
On divise maintenant par ∆x
(u(x + ∆x) − u(x))
∆f
= (u(x + ∆x) + u(x))
∆x
∆x
Passage à la limite
∆f
(u(x + ∆x) − u(x))
= lim (u(x + ∆x) + u(x))
= 2u(x).u0 (x)
∆x→0
h→0 ∆x
∆x
f 0 (x) = lim
7.3.5
Règles de dérivation — Dérivée d’une somme : règle de linéarité
Proposition 4 la dérivée de la fonction f (x) = au(x) + bv(x) est f 0 (x) = au0 (x) + bv 0 (x)
Preuve. Par définition
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
d’où
f (x + h) − f (x)
h
au(x + h) + bv(x + h) − au(x) − bv(x)
h
a [u(x + h) − u(x)] + b [v(x + h) − v(x)]
=
h
[u(x + h) − u(x)]
[v(x + h) − v(x)]
= a
+b
h
h
=
f (x + h) − f (x)
[u(x + h) − u(x)]
[v(x + h) − v(x)]
= a lim
+ b lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
lim
soit
f 0 (x) = au0 (x) + bv 0 (x)
En général, on a :
d
d
(a.u(x)) = a. (u(x))
dx
dx
d
d
d
(u + v + · · · ) =
(u) +
(v) + · · ·
dx
dx
dx
d
d
d
(u − v − · · · ) =
(u) −
(v) − · · ·
dx
dx
dx
Exemple 15 Calculer la dérivée f (x) = 12x3 .
Solution : d’après la règle de linéarité ci-dessus, on a
f 0 (x) = 12 · 3x3−1 = 36x2
√
Exemple 16 Calculer la dérivée
f (x) = 3 x.
√
√
Solution : rappelons que x = x1/2 . Le domaine de
x est [0, ∞[. d’après la règle de linéarité
ci-dessus, on a
1 1
3
f 0 (x) = 3 · . √ = √ ,
x>0
2 x
2 x
Noter que le domaine de f 0 (x) est ]0, ∞[.
15
√
Exemple 17 Calculer la dérivée de f (x) = x + 3x4 ,
x >√0.
Solution : Comme f (x) est la somme de deux fonction g(x) = x = x1/2 et h(x) = 3x4 , on appliquer la
règle de linéarité. On a g 0 (x) = 12 √1x et h0 (x) = 3(4x4−1 ) = 12x3 . Ainsi
f 0 (x) =
7.3.6
1 1
√ + 12x3 ,
2 x
x>0
Règles de dérivation — Dérivée du produit de deux fonctions
Proposition 5 la dérivée de la fonction f (x) = u(x)v(x) est
f 0 (x) = u(x)v 0 (x) + v(x)u0 (x)
Preuve. Calculons ∆f = f (x + h) − f (x)
f (x + h) − f (x) = u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x)
= u(x + h) [v(x + h) − v(x)] + v(x) [u(x + h) − u(x)]
d’où
f (x + h) − f (x)
h
u(x + h) [v(x + h) − v(x)] + v(x) [u(x + h) − u(x)]
h
[v(x + h) − v(x)]
[u(x + h) − u(x)]
= u(x + h)
+ v(x)
h
h
=
et donc
lim
h→0
[u(x + h) − u(x)]
[v(x + h) − v(x)]
f (x + h) − f (x)
= lim u(x + h)
+ lim v(x)
h→0
h→0
h
h
h
soit
f 0 (x) = u(x)v 0 (x) + v(x)u0 (x)
ou
d
d
d
(uv) = u (v) + v (u)
dx
dx
dx
Exemple 18 Soit y = (x3 + x)(x2 + 1)9 . Déterminer dy/dx, la dérivée de y par rapport à x.
Solution : il serait fastidieux de chercher à développer l’expression de y. Par contre on peut considérer
cette fonction comme produit de (x3 + x) et (x2 + 1)9 et on lui applique la règle du produit. Ainsi
dy
dx
d
(u(x).v(x))
dx
d
=
[(x3 + x)(x2 + 1)9 ]
dx
d
d
= (x3 + x) (x2 + 1)9 + (x2 + 1)9 (x3 + x)
dx
dx
= (x3 + x)9(x2 + 1)8 2x + (x2 + 1)9 (3x2 + 1)
= (x2 + 1)9 (21x2 + 1)
√
Exemple 19 Soit f (x) = (x + 2)(x2 + 3x)( x). Calculer f 0 (x).
Solution : On écrit la fonction comme suit
√
f (x) = (x + 2)[(x2 + 3x) x] = u(x).v(x)
=
16
par application de la règle de dérivation à ce produit on obtient
√
√ d
d
[(x2 + 3x) x] + [(x2 + 3x) x] (x + 2)
dx
dx
√
√
d
2
2
= (x + 2) [(x + 3x) x] + (x + 3x) x
dx
√
Maintenant cherchons la dérivée (d/dx)[(x2 + 3x) x]. De la même manière,on lui applique de la règle de
dérivation du produit. On obtient donc
·
¸
√
√
1
0
2
√
f (x) = (x + 2) (x + 3x)
+ (2x + 3) x + (x2 + 3x) x
2 x
f 0 (x) = (x + 2)
Remarque 15 A partir de cet exemple, on constate qu’on peut appliquer la règle du produit à des fonctions de plusieurs facteurs.
7.3.7
Règles de dérivation — Dérivée de l’inverse
Proposition 6 La dérivée de la fonction f (x) =
Preuve. En effet :
u(x).(
1
−u0 (x)
pour u(x) 6= 0 est f 0 (x) =
u(x)
(u(x))2
1
)=1
u(x)
Dérivons des deux côtés, en tenant compte de la règle de dérivation du produit
(u(x).(
1
))0 = 0
u(x)
soit
d’où on déduit
(
u0 (x)(
1
1 0
) + u(x)(
) =0
u(x)
u(x)
−u0 (x)
1 0
) = 2
u(x)
u (x)
1
.
3x2 − 2x + 5
Solution : On peut mettre cette fonction sous la forme : f (x) =
Exemple 20 Calculer la dérivée de f (x) =
application de la règle du dérivée de l’inverse, on a f 0 (x) =
f 0 (x) =
7.3.8
1
avec u(x) = 3x2 − 2x + 5. Par
u(x)
−u0 (x)
. Comme u 0 (x) = 6x − 2, on a
(u(x))2
− (6x − 2)
2
(3x2 − 2x + 5)
Règles de dérivation — Dérivée du rapport
Proposition 7 La dérivée de f (x) =
u(x)
pour v(x) 6= 0 est
v(x)
d
d
u(x) − u(x) dx
v(x))
v(x) dx
v(x)u0 (x) − u(x)v 0 (x))
=
2
2
(v(x))
(v(x))
17
Preuve. En effet
d u(x)
d
1
(
)=
(u(x).
)
dx v(x)
dx
v(x)
Par application de la règle de dérivation du produit au second membre on obtient
1
1 0
d u(x)
(
) = u0 (x).
+ u(x).(
)
dx v(x)
v(x)
v(x)
et par application de la règle de dérivation de l’inverse, on obtient
1
d u(x)
−v(x)
(
) = u0 (x).
+ u(x).
dx v(x)
v(x)
(v(x))2
0
0
v(x)u (x) − u(x)v (x))
=
(v(x))2
µ
¶
d x2 − x − 6
Exemple 21 Calculer
.
dx
x−3
Solution : La fonction est sous forme de a quotient de deux fonctions. En prenant u(x) = x2 − x − x6 et
u(x) = x − 3, et en appliquant la règle de dérivation du quotient, on obtient
d
dx
µ
x2 − x − 6
x−3
¶
=
=
=
d
d
(x2 − x − 6) − (x2 − x − 6) dx
(x − 3)
(x − 3) dx
(x − 3)2
(x − 3)(2x − 1) − (x2 − x − 6)1
(x − 3)2
2
2x − 7x + 3 − x2 + x + 6
x2 − 6x + 9
(x − 3)2
=
=
= 1,
(x − 3)2
(x − 3)2
(x − 3)2
x 6= 3
¸
·
d (x3 + 3)4
, puis simplifier.
Exemple 22 Déterminer
dx (x2 + 1)2
3
4
Solution : En prenant u(x) = (x + 3) et u(x) = (x2 + 1)2 , et en appliquant la règle de dérivation du
quotient, on obtient
¸
·
d (x3 + 3)4
=
dx (x2 + 1)2
=
d 3
d
(x + 3)4 − (x3 + 3)4 (x2 + 1)2
dx
dx
(x2 + 1)4
(x2 + 1)2 4(x3 + 3)3 3x2 − (x3 + 3)4 2(x2 + 1)2x
(x2 + 1)4
(x2 + 1)2
Cette expression peut être simplifier en utilisant la factorisation
¸
·
(x2 + 1)(x3 + 3)3 [12x2 (x2 + 1) − 4x(x3 + 3)]
d (x3 + 3)4
=
2
2
dx (x + 1)
(x2 + 1)4
(x3 + 3)3
4x(x3 + 3)3
4
2
=
(8x
+
12x
−
12x)
=
(2x3 + 3x − 3)
(x2 + 1)3
(x2 + 1)3
Remarque 16 Dérivée d’une puissance fractionnelle.
1. Dérivée de u(x) = x1/2 .
(u(x))2 = x
18
dérivons des deux côtés par rapport à x, on obtient
2u0 (x)u(x) = 1
soit
√ √
2( x)0 x = 1
d’où
√
1
1 1
( x)0 = √ = x− 2
2 x
2
Notons qu’on peut retrouver cette dérivée en passant par la définition :
√
√
x+h− x
0
f (x) = lim
h→0
h
√
√
√
√
x+h− x
x+h+ x
= lim
·√
√
h→0
h
x+h+ x
¢2
¡√
√ 2
x + h − ( x)
¡√
= lim
√ ¢
h→0 h
x+h+ x
(x + h) − x
= lim ¡√
√ ¢
h→0 h
x+h+ x
h
= lim ¡√
√ ¢
h→0 h
x+h+ x
1
√
= lim √
h→0 ( x + x)
1
1
√ = x−1/2
=
2
2 x
1 −1/2
x
2
2. Dérivée de u(x) = xp/q
Ainsi, y 0 =
(u(x))q = xp
dérivons des deux côtés par rapport à x, on obtient
qu0 (x)(u(x))q−1 = pxp−1
soit
q(xp/q )0 (xp/q )q−1 = pxp−1
d’où
(xp/q )0 =
p(q−1)
pxp−1
p
p
= x(p−1)− q = xp/q−1
q
q
q(xp/q )q−1
Qui est de la forme
d n
(x ) = nxn−1
dx
Résumé 1 : Soient u et v des fonctions dérivables en x, et a, b et n des constantes.
1. (au + bv)0 = au0 + bv 0
2. (uv)0 = u0 v + uv 0
19
u
u0 v − uv 0
3. ( )0 =
v
v2
0
1
−v
4. ( )0 = 2
v
v
5. (un )0 = nu0 un−1
7.3.9
Dérivation d’une fonction composée
Définition et exemples
Définition 6 Soient f et g deux fonctions et supposons que pour tout x, le noumbre g(x) est dans le
domaine de f . Alors on peut déterminer la valeur de la fonction f au point g(x). Qu’on écrit comme suit
f (g(x))
et qu’on appelle la composée de la fonction f avec la fonction g.
x
g(x)
g
ii
f
f
f
f(g(x))
i
Exemple 23 Ecrire la composée de f et g, avec g(x) = x2 et f (x) = x3 + 1.
Solution : Comme f (x) = x3 + 1, on a
f (g(x)) = [g(x)]3 + 1
Ainsi,
f (g(x)) = f (x2 ) = (x2 )3 + 1 = x6 + 1
Noter que g(f (x)) = g(x3 + 1) = (x3 + 1)2 = x6 + 2x3 + 1. Ainsi, en général g(f (x)) 6= f (g(x)).
√
Exemple 24 Ecrire la composée de f et g, avec g(x) = x et f (x) = 1/x2 .
Solution : Comme f (x) = 1/x2 , on a pour x > 0
1
[g(x)]2
√
1
1
f (g(x)) = f ( x) = √ 2 =
x
( x)
f (g(x)) =
Calcul de la dérivée
Soient
f : D1 → R
x 7−→ y = f (x)
et
g : D2 → R
y 7−→ z = g(y)
On considère la fonction composée gof
gof : D1 → R
x 7−→ z = g(f (x))
20
avec f (D1 ) ⊂ D2
Par définition
∆u
∆x
On s’intéresse maintenant à la recherche de la dérivée de z = gof .
L’idée
∆z
∆z ∆y
=
·
∆x
∆y ∆x
u0 (x) = lim
∆x→0
on passe à la limite
lim
∆x→0
∆z ∆y
∆z
= lim (
·
)
∆x→0
∆x
∆y ∆x
dy
∆y
→
et par conséquent ∆y doit tendre vers 0, et donc le
Notons que quand ∆x → 0, le rapport
∆x
dx
dz
∆z
tend vers
, d’où
rapport
∆y
dy
lim
∆x→0
∆z
∆z
∆y
= lim
· lim
∆x ∆y→0 ∆y ∆x→0 ∆x
Ainsi, on obtient la loi de la dérivation de la composée de fonctions
dz dy
dz
=
·
dx
dy dx
0
( gof (x)) = f 0 (g(x)).g 0 (x)
ou
Remarque 17 Attention. Cette loi de dérivabilité de la composée ne veut pas dire que sin x2 = (cos x).2x.
La dérivée de sin x2 est (cos x2 ).2x
Exemple 25 Calculer la dérivée de z = sin(3x).
Solution : on a z = sin y avec y = 3x. Par application de la règle de dérivation ci-dessus, on obtient
dz dy
dz
=
·
= (cos y).3 = 3 cos(3x)
dx
dy dx
√
df
.
Exemple 26 Si f (s) = 3s2 et s(t) = t. Déterminer
dt
Solution : Par application de la règle de dérivation de la composée, on a
√ 1
1
df ds
d ¡ 2¢ d √
df
t = 6s · √ = 6 t √ = 3
=
·
=
3s ·
dt
ds dt
ds
dt
2 t
2 t
√
df
pour t = 2 ?
Exemple 27 Si f (s) = s5 + 2s − s et s = t3 − t, calculer
dt
Solution : Par application de la règle de dérivation de la composée, on a
df
dt
=
=
Pour t = 2 on a s = 23 − 2 = 6. Ainsi,
dg
|t=2
dt
df ds
·
ds dt
µ
1
5s4 + 2 − √
2 s
¶
(3t2 − 1)
µ
¶
1
4
=
5(6 ) + 2 − √
[3(22 ) − 1]
2 6
µ
¶
1
=
6482 − √
11
2 6
21
7.3.10
Dérivation d’une fonction réciproque
Proposition 8 On suppose que f est définie sur I, continue et strictement monotone sur I, dérivable en
x0 ∈ I. On suppose que f 0 (x0 ) 6= 0. Alors, f −1 est aussi dérivable en y0 = f (x0 ) et sa dérivée est :
(f −1 )0 (y0 ) =
1
f 0 (x0 )
c’est—à-dire
(f −1 )0 =
=
1
f0
(f −1 (y0 ))
.
1
f 0 of −1
Preuve. On considère :
f −1 (y) − f −1 (f (x0 ))
f −1 (y) − f −1 (y0 )
=
.
y − y0
y − f (x0 )
On compose avec x 7−→ f (x) ; on obtient :
lim
y→y0
1
f −1 (y) − f −1 (y0 )
f −1 (f (x)) − f −1 (f (x0 ))
x − x0
= lim
= lim
= 0
x→x0
x→x0 f (x) − f (x0 )
y − y0
f (x) − f (x0 )
f (x0 )
Exemple 28 Calculer dy/dx sachant que x =
√
y + 5 ce qui est équivaut à y = (x − 5)2
1. Première méthode
Résolvons d’abord l’équation en y pour trouver : y = (x − 5)2
d’où dy/dx = 2(x − 5)
2. Deuxième méthode
1
Appliquons la formule dy/dx = 1/(dx/dy) = 12 y − 2 =
√1
y
=x−5
Remarque 18 On verra dans le chapitre suivant des applications aux réciproques des fonctions usuelles :
sin x, cos x, · · ·
7.3.11
Graphe d’une fonctions et de ses deux premières dérivées
Dans ce paragraphe on se propose de tracer le graphe de f 0 et f ” à partir de celui de Cf .
Exemple 29 Soit f la fonction définie par f (x) = x4 − 7x3 + 14x2 − 8x. Ses deux premières dérivée sont
f 0 (x) = 4x3 − 21x2 + 28x − 8 et f 00 (x) = 12x2 − 42x + 28
15
10
5
-1
1
2
x
3
4
5
-5
-10
-15
Vous pouvez distinguer les graphes en cherchant l’image de 0 : f (0) = 0, f 0 (0) = −8 et f 00 (0) = 28.
22
7.4
7.4.1
Dérivation des fonctions trigonométriques
Dérivation des fonctions trigonométriques — limites fondamentales
Notons que les deux limites indéterminées
(cos h − 1)
h→0
h
lim
et
sin h
h→0 h
lim
interviennent dans le calcul des dérivées des fonctions trigonométriques.
On utilise la figure suivante pour l’évaluation de ces deux limites.
C
1
B
sin h
h tan h
On a la relation suivante entre les trois aires :
Aire 4OAB < Aire^OAB < Aire 4OAC
Le calcul de ces aires donne
sin h < h < tan h
En divisant par h on obtient
sin h
tan h
<1<
h
h
h
O
1A
D
1 cos h
Sachant que tan h =
sin h
, on a
cos h
sin h
sin h
<1<
h
h cos h
Comme lim cos h = 1,
h→0
sin h
sin h
< 1 and lim
>1
h→0 h
h→0 h
lim
Par conséquent
sin h
=1
h
Par ailleurs, par application du théorème de Pythagore au triangle ABD, on a
lim
h→0
2
sin2 h + (1 − cos h) = AB 2 < h2
En divisant par h2 on obtient
sin2 h (1 − cos h)2
+
<1
h2
h2
Comme lim
h→0
sin h
= 1, on obtient
h
1 − cos h
=0
h→0
h
lim
Ainsi, on a
lim
h→0
sin h
=1
h
et
lim
h→0
23
1 − cos h
=0
h
Exemple 30 Déterminer les limites suivantes :
sin 2x
1. lim
x → 0 3x
sin x2
2. lim
x→0
x
tan 3x
3. lim
x→0
x
Solutions : Pour faire ces calculs, on applique quelques transformations.
sin 2x
1. On écrit la limite lim
sous la forme
x → 0 3x
lim
x→0
sin 2x
sin 2x
2 sin 2x
= lim
= lim
3
x
→
0
x
→
0
3x
3 2x
2x
2
Sachant que la limite du produit est le produit des limites, on a
lim
x→0
sin 2x
3x
2 sin 2x
3 2x
2
sin 2x
= lim
lim
x→0 3 x→0
2x
µ ¶
2
2
(1) =
car
=
3
3
=
lim
x→0
lim
x→0
sin 2x
sin h
est de la forme lim
où h = 2x.
h→0 h
2x
sin x2
sous la forme
x→0
x
2. On écrit la limite lim
sin x2
x→0
x
lim
sin x2
sin x2
= lim x
x→0 1 2
x→0
x2
x
x
sin x2
= lim x lim
x→0
x→0
x2
sin x2
sin h
= (0) (1) = 0
car lim
est de la forme lim
où h = x2 .
x→0
h→0 h
x2
=
lim
sin x
tan 3x
, on note que tan x =
. On a donc
x→0
x
cos x
3. Pour déterminer lim
tan 3x
lim
x→0
x
sin 3x
1 sin 3x
= lim cos 3x = lim
x→0
x → 0 cos 3x 1
x
3x
3
1
sin 3x
lim 3
= lim
x → 0 cos 3x x → 0
3x
µ ¶
1
(3) = 3
=
1
Exemple 31 Calculer les limites suivantes.
1. lim
x→0
(cos 5x − 1)
2x
24
(cos x − 1)
tan x
¢
¡
cos x3 − 1
3. lim
x→0
x2
2. lim
x→0
Solutions : Pour faire ces calculs, on applique quelques transformations.
1. On écrit lim
x→0
(cos 5x − 1)
sous la forme
2x
lim
x→0
(cos 5x − 1)
(cos 5x − 1)
5 (cos 5x − 1)
= lim
= lim
2
x→0
x→0 2
2x
5x
5x
5
Sachant que la limite du produit est le produit des limites, on a
lim
x→0
5 (cos 5x − 1)
2
5x
5 (cos 5x − 1)
2
5x
5
(cos 5x − 1)
= lim
lim
x→0 2 x→0
5x
µ ¶
5
=
(0) = 0
2
=
lim
x→0
(cos 5x − 1)
cos h − 1
est de la forme lim
où h = 5x.
h
→
0
5x
h
(cos x − 1)
2. Calcul de lim
,
x→0
tan x
car
lim
x→0
lim
x→0
(cos x − 1)
tan x
=
=
=
=
=
=
(cos x − 1)
(cos x − 1)
= lim cos x
sin x
x→0
sin x
cos x
(cos x − 1)
lim cos x lim
x→0
x→0
sin x
(cos x − 1)
lim cos x lim
sin x
x→0
x→0
x
x
x (cos x − 1)
lim cos x lim
x→0
x → 0 sin x
x
x
(cos x − 1)
lim cos x lim
lim
x→0
x → 0 sin x x → 0
x
(1 ) (1) (0) = 0
lim
x→0
¢
¡
cos x3 − 1
, on utilise la transformation
3. Pour calculer lim
x→0
x2
¢
¢
¡
¡
cos x3 − 1
cos x3 − 1
lim
= lim
1 3
x→0
x→0
x2
x
x
¢
¡
cos x3 − 1
= lim x
x→0
x¡3
¢
cos x3 − 1
= lim x lim
x→0
x→0
x3
= (0) (0) = 0
25
7.4.2
Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction sin
Par application de la définition, la dérivée de la fonction sin x est donnée par
d
sin (t + h) − sin t
sin t = lim
h→0
dx
h
En utilisant la relation sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, on obtient
d
sin t =
dx
=
=
=
=
car
lim
h→0
sin (t + h) − sin t
h
sin t cos h + cos t sin h − sin t
lim
h→0
h
(cos h − 1) sin t + cos t sin h
lim
h→0
h
(cos h − 1)
sin h
sin t lim
+ cos t lim
h→0
h→0 h
h
cos t
lim
h→0
(cos h − 1)
=0
h
et
lim
h→0
sin h
=1
h
Et donc la dérivée de la fonction sin est
d
sin t = cos t
dx
d
sin 2t.
dt
Solution : par application de la règle de dérivation de la fonction composée : f (t) = u(v(t)) = sin(2t), on
a
d
sin 2t = u0 (v(x)).v 0 (x) = 2 cos 2t
dt
Exemple 32 Déterminer la dérivée
7.4.3
Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction cos
Par application de la définition, la dérivée de cos t, est donnée par
d
cos t =
dt
=
=
=
=
car
lim
h→0
cos (t + h) − cos t
h
cos t cos h − sin t sin h − cos t
lim
h→0
h
− sin t sin h
cos t cos h − cos t
lim
+ lim
h→0
h→0
h
h
sin h
cos h − 1
− sin t lim
+ cos t lim
h→0 h
h→0
h
− sin t
lim
h→0
sin h
=1
h
et
lim
h→0
26
1 − cos h
=0
h
Et donc la dérivée de la fonction cos est
d
cot s = − sin t
dx
7.4.4
Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonction tan et cot
Sachant qu’on a calculé les dérivées des fonctions sin t et cos t, il est facile maintenant de calculer les
dérivée des deux autres fonctions tan et cot.
Dérivée de tan t
Rappelons que tan t =
sin t
. Ainsi par application de la règle de dérivation du rapport, on a
cos t
d
d
(sin t) − sin t (cos t)
dt
dt
cos2 t
2
2
cos t + sin t
=
cos2 t
1
= 1 + tan2 x =
cos2 t
d
tan t =
dt
cos t
Dérivée de cot t
Rappelons que cot t =
cos
. Ainsi par application de la règle de dérivation du rapport, on a
sin t
d
d
(cos t) − cos t (sin t)
dt
dt
sin2 t
− sin2 t − cos2 t
=
sin2 t
1
= − 2 = −1 − cot2 t
sin t
d
cot t =
dt
7.4.5
sin t
Dérivation des fonctions trigonométriques — Fonctions composées
Par application de la règle de dérivation des fonctions composée, on a
d
sin f (t) = [cos f (t)]f 0 (t)
dt
d
cos f (t) = −[sin f (t)]f 0 (t)
dt
d
tan f (t) = [1 + tan2 f (t)]f 0 (t)
dt
d
cot f (t) = −[1 + cot2 f (t)]f 0 (t)
dt
27
¡ ¢
d
Exemple 33 Calculer
tan t4
dt
Solution : Par application des règles ci-dessus, on obtient
£
¡ ¢¤
¡ ¢
d
tan t4 = 1 + tan2 t4 4t3
dt
¡ ¢
= 4t3 (1 + tan2 t4 )
28