Maîtrise 2003/2004 Statistique. Feuille 1. Exercice 1 : 1) Soit U une

Maîtrise 2003/2004
Statistique. Feuille 1.
Exercice 1 :
1) Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1] et λ un réel strictement
positif. Calculer la loi de la variable aléatoire X = − ln(1 − U )/λ.
2) Soient F une fonction de répartition continue et strictement croissante et U une
variable aléatoire uniforme sur [0, 1]. Quelle est la loi de la variable aléatoire F −1 (U ),
où F −1 est la fonction réciproque de F ?
Exercice 2 :
Soit X une variable aléatoire de L2 (R, dx), de densité f sur R par rapport à la
mesure de Lebesgue dx. Déterminer
θ1 = argmin E (|X − θ|) et θ2 = argmin E (X − θ)2 ,
θ∈R
θ∈R
on supposera que f (θ1 ) est bien définie.
Exercice 3 :
Soient (Xi )1≤i≤n des variables aléatoires indépendantes de même loi que X. On pose
n
X̄n =
1X
Xi .
n i=1
2
1) On suppose
que
E
(X)
=
µ
et
Var
(X)
=
σ
sont
finies.
Calculer
E
X̄
et
n
2
2
Var X̄n . Calculer E ((X − µ) ) et E (X̄n − µ) .
2) On suppose que X suit la loi normale N (µ, σ 2 ). Donner la loi de X̄n .
3) On suppose que X − µ suit la loi de Cauchy de densité sur R
f (x) =
1
.
π(1 + x2 )
Donner la loi de X̄n . Cette variable admet-elle un moment d’ordre 2 ? Un moment d’ordre 1 ?
Exercice 4 :
Soient U et V deux variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée
réduite. Montrer que la variable aléatoire X = U/V suit la loi de Cauchy.
1
Exercice 5 :
On dit que la variable aléatoire X suit la loi Gamma de paramètres p et θ (p > 0
et θ > 0), notée γ(p, θ) si sa densité sur R par rapport à la mesure de Lebesgue est
donnée par :
θp −θx p−1
fp,θ (x) =
e x 1I{x>0} .
Γ(p)
Sa fonction caractéristique est
ϕp,θ (t) =
θ
θ − it
p
.
On rappelle que pour tout α, α1 , α2 > 0,
Z +∞
Γ(α) =
xα−1 e−x dx,
0
Γ(α + 1) = αΓ(α),
√
π,
Γ(1/2) =
Z 1
Γ(α1 )Γ(α2 )
uα1 −1 (1 − u)α2 −1 du =
.
β(α1 , α2 ) =
Γ(α1 + α2 )
0
1) Vérifier que fp,θ est bien une densité de probabilité. Calculer E (X) et Var (X).
2) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives γ(p, θ)
et γ(q, θ). Soit a > 0.
.
Donner les lois des variables aléatoires X + Y , aX et X
Y
3) Soient (Xi )1≤i≤n des variables aléatoires indépendantes de même loi γ(1,
Pnθ) (loi
exponentielle de paramètre θ). Donner la loi de la variable aléatoire Sn = i=1 Xi .
4) Soit X une variable aléatoire normale centrée réduite. Donner la loi de la variable
aléatoire X 2 .
5) Soient (Xi )1≤i≤n et (Yj )1≤j≤m des variables aléatoires normales centrées réduites
indépendantes.
Pn
2
5.1) Donner la loi de la variable aléatoire Zn =
i=1 Xi . Calculer E (Zn ) et
Var (Zn ).
5.2) Donner la loi de la variable aléatoire
Pn
1
Xi2
n
F = 1 Pi=1
.
m
2
j=1 Yj
m
Calculer E (F ).
2