Maîtrise 2003/2004 Statistique. Feuille 1. Exercice 1 : 1) Soit U une

Maîtrise 2003/2004
Statistique. Feuille 1.
Exercice 1 :
1) Soit Uune variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1] et λun réel strictement
positif. Calculer la loi de la variable aléatoire X=−ln(1 −U)/λ.
2) Soient Fune fonction de répartition continue et strictement croissante et Uune
variable aléatoire uniforme sur [0,1]. Quelle est la loi de la variable aléatoire F−1(U),
où F−1est la fonction réciproque de F?
Exercice 2 :
Soit Xune variable aléatoire de L2(R, dx), de densité fsur Rpar rapport à la
mesure de Lebesgue dx. Déterminer
θ1= argmin
θ∈R
E(|X−θ|)et θ2= argmin
θ∈R
E(X−θ)2,
on supposera que f(θ1)est bien définie.
Exercice 3 :
Soient (Xi)1≤i≤ndes variables aléatoires indépendantes de même loi que X. On pose
¯
Xn=1
n
n
X
i=1
Xi.
1) On suppose que E(X) = µet Var (X) = σ2sont finies. Calculer E¯ Xnet
Var ¯ Xn. Calculer E((X−µ)2)et E(¯ Xn−µ)2.
2) On suppose que Xsuit la loi normale N(µ, σ2). Donner la loi de ¯ Xn.
3) On suppose que X−µsuit la loi de Cauchy de densité sur R
f(x) = 1
π(1 + x2).
Donner la loi de ¯ Xn. Cette variable admet-elle un moment d’ordre 2 ? Un mo-
ment d’ordre 1 ?
Exercice 4 :
Soient Uet Vdeux variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée
réduite. Montrer que la variable aléatoire X=U/V suit la loi de Cauchy.
1

Exercice 5 :
On dit que la variable aléatoire Xsuit la loi Gamma de paramètres pet θ(p > 0
et θ > 0), notée γ(p, θ)si sa densité sur Rpar rapport à la mesure de Lebesgue est
donnée par :
fp,θ(x) = θp
Γ(p)e−θxxp−11I{x>0}.
Sa fonction caractéristique est
ϕp,θ(t) = θ
θ−itp
.
On rappelle que pour tout α, α1, α2>0,
Γ(α) = Z+∞
0
xα−1e−xdx,
Γ(α+ 1) = αΓ(α),
Γ(1/2) = √π,
β(α1, α2) = Z1
0
uα1−1(1 −u)α2−1du =Γ(α1)Γ(α2)
Γ(α1+α2).
1) Vérifier que fp,θ est bien une densité de probabilité. Calculer E(X)et Var (X).
2) Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois respectives γ(p, θ)
et γ(q, θ). Soit a > 0.
Donner les lois des variables aléatoires X+Y,aX et X
Y.
3) Soient (Xi)1≤i≤ndes variables aléatoires indépendantes de même loi γ(1, θ)(loi
exponentielle de paramètre θ). Donner la loi de la variable aléatoire Sn=Pn
i=1 Xi.
4) Soit Xune variable aléatoire normale centrée réduite. Donner la loi de la variable
aléatoire X2.
5) Soient (Xi)1≤i≤net (Yj)1≤j≤mdes variables aléatoires normales centrées réduites
indépendantes.
5.1) Donner la loi de la variable aléatoire Zn=Pn
i=1 X2
i. Calculer E(Zn)et
Var (Zn).
5.2) Donner la loi de la variable aléatoire
F=
1
nPn
i=1 X2
i
1
mPm
j=1 Y2
j
.
Calculer E(F).
2