TD 2 Probabilités conditionnelles, indépendance

L2 MIASHS 51EE07MT
Probabilités & Statistiques
Université Paris Diderot
2016 - 2017
TD 2
Probabilités conditionnelles, indépendance
Exercice 1. On lance 2 dés. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux donne 6 sachant que les deux résultats sont différents ?
Exercice 2. On considère 2 boîtes : l’une contient une bille noire et une blanche et l’autre deux noires et une blanche.
On choisit au hasard une boîte de laquelle on tire une bille. Quelle est la probabilité que la bille ainsi tirée soit noire ?
Si l’on sait que la bille est blanche, quelle est la probabilité que ce soit la première boîte qui ait été choisie ?
Exercice 3. Soit r ∈ N∗52 . Un joueur A propose à un joueur B le jeu suivant : tirer r cartes parmi 52 et, si l’as de pique
figure parmi les r cartes, B a gagné.
1. Quelle est la probabilité que B gagne ?
2. A envisage de tricher de la façon suivante : il subtilise k cartes, où k É 52 − r , avant que B ne tire ses r cartes, les
k cartes subtilisées étant prises au hasard. Quelle est la probabilité que B gagne ?
¡T
¢
Exercice 4. Soient (Ω, A , P) un espace probabilisé, n ∈ N∗ et (E i )1ÉiÉn ∈ A n tel que P 1Éi<n E i > 0. Montrer que
P
³\
n
i=1
´
´
Y ³ ¯¯ \
Ej .
P Ei ¯
Ei =
1É j <i
1ÉiÉn
Exercice 5 (U RNE DE P OLYÀ ). Soit (b, r, d) ∈ (N∗ )3 . Une urne contient b boules bleues et r boules rouges. Une boule
est tirée au hasard ; on la replace dans l’urne en ajoutant d boules de la même couleur. Quelle est la probabilité
1. que la seconde boule tirée soit rouge ?
2. que la première boule soit rouge sachant que la seconde est rouge ?
Exercice 6. Une compagnie d’assurance répartit les gens en 3 classes : personne à bas risque, à risque moyen et à haut
risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité d’accident sur une période de 1 an est respectivement 5% , 15% et
30% selon la catégorie. On estime que 20% de la population est à bas risque, 50% à moyen risque et 30% à haut risque.
1. Quelle proportion des gens a un accident au cours d’une année donnée ?
2. Si un assuré donné n’a pas eu d’accident en 2012, quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à bas
risque ? Et à risque moyen ?
Exercice 7. Un groupe comporte 4 garçons et 6 filles de première année, 6 garçons de seconde année. Combien doit-il
y avoir de filles de deuxième année si l’on veut que, dans le choix au hasard d’un étudiant, les événements « être un
garçon » et « être en première année » soient indépendants ?
Exercice 8 (C ONFLIT DYNASTIQUE ?). La duchesse d’Aquitaine et la duchesse de Bourgogne attendent chacune l’héritier de leur duché. Montrer que les événements A : « l’héritier d’Aquitaine est un garçon », B : « l’héritier de Bourgogne
est un garçon » et C :« les duchés vont pouvoir faire alliance en mariant les enfants attendus » sont indépendants deux
à deux mais pas dans leur ensemble.
Exercice 9 (L’ INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÉNEMENTS DÉPEND DU CHOIX DE LA PROBABILITÉ ). Montrer qu’existent un
espace probabilisé (Ω, A , P), deux événements A ∈ A et B ∈ A P-indépendants, un événement C ∈ A tel que P(C ) > 0
tels que A ∈ A et B ∈ A ne sont pas PC -indépendants, où l’on a noté PC = P(· | C ).
Exercice 10. Soient (Ω, A , P) un espace probabilisé, n ∈ N∗ et (E i )1ÉiÉn ∈ A n un n-uplet d’événements mutuellement
P-indépendants. Montrer que
!
Ã
n ¡
n
Y
[
¢
Ei = 1 −
1 − P (E i ) .
P
i=1
i=1
Exercice 11. Soient (Ω, A , P) un espace probabilisé et (A, B,C ) ∈ A 3 un triplet d’événements mutuellement P-indépendants.
S
1. Prouver que A c et B C sont P-indépendants.
2. On suppose que P(B) > 0 et P(C ) > 0. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A ∩ B et A ∩ C
soient P-indépendants.
Exercice 12. Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]. Peut-il exister sur un espace probabilisé (Ω, A , P) n événements P-indépendants
de même probabilité p et dont la réunion est de probabilité 1 ?
1
Exercice 13 (U NE AFFAIRE DE FAMILLE). Soient p ∈ ]0, 1[ et a ∈ ]0, 1/2[. Dans une population donnée, on suppose que
la probabilité pour un enfant d’être un garçon est p et que, pour tout k ∈ N, la probabilité qu’une famille ait k enfants
est p k , où la suite (p k )k∈N est définie par p 0 = p 1 = a, p k = (1 − 2a)2−(k−1) pour k Ê 2. Pour tout k ∈ N, on note A k
l’événement « la famille a k enfants », F k « la famille a k filles » et G k « la famille a k garçons ».
1. Calculer P(G j | A k ) pour tout couple ( j , k) ∈ N2 .
2. Calculer P(G j ) pour tout j ∈ N tel que j Ê 2.
3. Calculer la probabilité qu’une famille de j garçons ait seulement k enfants. Application : p = 21 , k = j = 2.
4. Quelle est la probabilité qu’une famille ait exactement deux filles sachant qu’elle a exactement deux garçons ?
Exercice 14. Soient A, B deux événements de l’espace probabilisé (Ω, A , P) tels que 0 < P(B) < 1.
1. Montrez que
¯
¯
¯
¯
¯P(A ∩ B) − P(A)P(B)¯ É 1 ¯P(A|B) − P(A|B c )¯
4
Indication : exprimer P(A|B) − P(A|B c ) en fonction des seules probabilités P(A ∩ B), P(A), P(B).
(⋆)
2. Que donne l’inégalité (⋆) lorsque A ⊆ B ? Dans quels cas est-ce une égalité ?
Exercice 15. Soient n ∈ N∗ , p ∈ [0, 1] et (Ω, A , P) l’espace probabilisé sous-jacent. On observe une suite de n lancers
d’une pièce. On suppose que les lancers sont P-indépendants les uns des autres et que la P-probabilité d’obtenir Pile
à chaque lancer vaut p.
1. Décrire l’espace probabilisé associé à cette expérience. Calculer la probabilité
(a) d’obtenir au moins un Pile au cours des n lancers,
(b) d’obtenir exactement k Pile où k ∈ N.
2. Décrire l’espace probabilisé obtenu lorsqu’on conditionne par l’événement Bk , « obtenir exactement k Pile au
cours des n lancers ».
3. Si n = 6, calculer la probabilité, sachant qu’on a obtenu exactement deux Pile, que ces Pile soient consécutifs.
Exercice 16. Soient p ∈ [0, 1] et (Ω, A , P) l’espace probabilisé sous-jacent. L’expérience consiste en une infinité de
lancers d’une même pièce. On suppose que les lancers sont P-indépendants les uns des autres et que la probabilité
d’obtenir Pile à chaque lancer vaut p.
1. Décrire l’espace probabilisé associé à cette expérience. Pour tout n ∈ N∗ , calculer la probabilité que le premier
Pile survienne au n e lancer.
2. Montrer que, si p > 0, on est sûr d’obtenir au moins un Pile au cours de l’expérience.
3. On suppose dorénavant p > 0.
(a) Soit n ∈ N∗ . Montrer que les événements An : « le premier Pile survient au n-ième lancer » et C1 : « le
premier Pile est immédiatement suivi d’un Face » sont P-indépendants.
(b) Est-ce encore le cas si on remplace C1 par D3 : « le premier Pile est immédiatement suivi de trois Pile » ?
Exercice 17. Émilie et Denis jouent aux dés. On note (Ω, A , P) l’espace probabilisé sous-jacent.
1. Le jeu est le suivant. Émilie commence la partie et lance son dé. Elle gagne si Denis obtient, en lançant à son
tour le dé, un nombre plus petit ou égal au sien. Déterminer la probabilité p que Emilie gagne cette partie.
2. Émilie et Denis font plusieurs parties de ce type de la manière suivante. Émilie commence la première partie.
Si elle gagne, elle commence la deuxième partie ; sinon, c’est Denis. Et ainsi de suite : le joueur qui gagne une
partie donnée commence la partie suivante.
Pour tout n ∈ N∗ , on désigne par En l’événement « Émilie gagne la n e partie » et l’on note un = P(En ) .
(a) Calculer u1 .
(b) Montrer que la suite (un )n∈N∗ vérifie la relation de récurrence :
∀n ∈ N∗
un = (2p − 1)un−1 + 1 − p.
(c) Chercher a ∈ R telle que la suite de terme général un − a définisse une suite géométrique.
(d) En déduire pour tout n ∈ N∗ l’expression de un en fonction de p et de n. Comment se comporte un quand
n tend vers +∞ ? Commenter.
Exercice 18 (I NDÉPENDANCE REVISITÉE ). Soient (Ω, A , P) un espace probabilisé. Pour tout événement A ∈ A , on note
A +1 = A, A −1 = Ω \ A et A 0 = Ω. Soient n ∈ N∗ et (A k )1ÉkÉn ∈ A n . Montrer l’équivalence des trois assertions suivantes :
(A k )1ÉkÉn est une famille finie d’événements P-indépendants
´
³ \
Y
ε
ε
P(A kk )
∀(εk )1ÉkÉn ∈ {−1, 0, +1}n P
A kk =
1ÉkÉn
∀(C k )1ÉkÉn ∈
Y
σ({A k }) P
³ \
1ÉkÉn
1ÉkÉn
2
(18.1)
(18.2)
1ÉkÉn
´
Y
P(C k )
Ck =
1ÉkÉn
(18.3)