2. Structure des corps (commutatifs) finis - UTC

2. Structure des corps (commutatifs) finis
Notation g´en´erique : soient p∈et n∈ \ {0}
(K, 0,+,∗, e), ou simplement K, d´esigne un corps fini de caract´eristique
car(K) = pet de cardinal card(K) = q=pn.
Hypoth`ese provisoire : Kest commutatif.
1Kcomme ensemble des racines de Xq−X
2(K∗,∗, e)est un groupe cyclique
3K=p(α),i.e. Kadmet un ´el´ement primitif sur p
4K=p[X]/(P), o`u P∈p[X]est irr´eductible
5Les sous-corps de K
6Le groupe des automorphismes de Kest Aut p(K) = Gal(K/ p)
7Existence et unicit´e “du” corps fini `a q=pn´el´ements

1. Kcomme ensemble des racines de Xq−X
Th´eor`eme
Soit Kun corps fini de cardinal card(K) = q. Alors (∀x∈K)xq=x,
et donc :
Xq−X=Y
a∈K
(X−a)∈K[X]
D´emonstration :
1(K∗,∗, e)est un groupe d’ordre q−1, donc (∀x∈K∗)xq−1=e,
et finalement : (∀x∈K)xq=x.
2Le polynˆome Xq−X∈K[X]admet comme racines distinctes les q
´el´ements de K. Comme Kest int`egre, Xq−Xest divisible par
Qa∈K(X−a). Comme ces deux polynˆomes ont mˆeme degr´e et ont
mˆeme cœfficient dominant, ils sont ´egaux.

2. (K∗,∗, e)est un groupe cyclique
Th´eor`eme
Soit (K, 0,+,∗, e)un corps fini commutatif de cardinal card(K) = q. Alors
(K∗,∗, e)est un groupe cyclique d’ordre q−1.
D´emonstration : Comme par hypoth`ese le groupe (K∗,∗, e)est commutatif,
on peut utiliser le crit`ere de cyclicit´e (revoir groupes cycliques ...).
Soit d∈un diviseur de q−1. Le polynˆome Xd−1admet au plus d
racines dans K(car Kint`egre). Par suite,
(∀d|(q−1)) card nx∈K∗:xd=eo≤d
(K∗,∗, e)est donc cyclique d’ordre q−1.

3. Kadmet un ´el´ement primitif sur p
Soit Kun corps de caract´eristique car(K) = pet de cardinal q=pn.
(K∗,∗, e), groupe cyclique d’ordre q−1, admet φ(q−1) g´en´erateurs.
Corollaire (K=p(α))
Tout g´en´erateur α∈Kdu groupe cyclique (K∗,∗, e)est un ´el´ement primitif
de l’extension K/ p:
K=p(α)
D´emonstration :
1p(α)est le plus petit sous-corps de Kcontenant α(et bien sˆur p),
en particulier p(α)⊂K.
2K={0} ∪ K∗={0; e;α;. . . ;αq−2} ⊂ p(α).
Attention : Les φ(q−1) g´en´erateurs de K∗sont des ´el´ements primitifs de
K/ p. L’inverse est FAUX : un ´el´ement primitif de K/ ppeut ne pas
engendrer K∗.

4. K=p[X]/(P), o`u P∈p[X]est irr´eductible
Soit Kun corps de caract´eristique car(K) = pet de cardinal q=pn.
Th´eor`eme (K=p[X]/(P))
Soient α∈Ket Pαson polynˆome minimal sur p.
K=p(α)⇐⇒ K=p[X]/(Pα)⇐⇒ deg(Pα) = n
D´emonstration : d´ecoule de card ( p[X]/(Pα)) = pdeg(Pα)et de la
factorisation :
p[X]
π
ϕα//K
p[X]/(Pα)
fϕα//p(α)
?
OO