Invariance spectrale des alg`ebres d`opérateurs

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, S´ erie I, p. 1–??, 2001 - PXMA????.TEX -
Analyse fonctionnelle/
FunctionalAnalysis
(/)
Invariance spectrale des alg` ebres d’op´ erateurs
pseudodiff´ erentiels
Robert Lauter a, Bertrand Monthubert b, Victor Nistor c
aUniversit¨
at Mainz. Fachbereich 17-Mathematik, D-55099 Mainz, Germany
Courriel : [e-mail]
bLaboratoire Emile Picard, Universit´
e Paul Sabatier (UFR MIG), 118 route de Narbonne, F-31062 Toulouse
CEDEX 4
Courriel : [e-mail]
cPennsylvania State University, Math. Dept., University Park, PA 16802
Courriel : n[email protected].edu
(Rec¸u le jour mois ann´ ee, accept´ eapr
`
es r´ evision le jour mois ann´ ee)
R´ esum´ e. Nous construisons et ´eutidons plusieurs alg`ebres d’op´erateurs pseudodiff´erentiels qui sont
stables par calcul fonctionnel holomorphe. Nous obtenons ainsi une meilleure compr´ehension
de la structure des inverses d’op´erateurs pseudodiff´erentiels elliptiques sur certaines vari´et´es
non-compactes. Nous obtenons ´egalement des propri´et´es de d´ecroissance pour les solutions
de ces op´erateurs. c 2001 Acad´emie des sciences/´ Editions scientifiques et m´edicales El-
sevier SAS
Spectral Invariance of algebras of pseudodifferential operators
Abstract. We construct and study several algebras of pseudodifferential operators that are closed un-
der holomorphic functional calculus. This leads to a better understanding of the structure
of inverses of elliptic pseudodifferential operators on certain non-compact manifolds. It
also leads to decay properties for the solutions of these operators. c 2001 Acad´emie des
sciences/´ Editions scientifiques et m´edicales Elsevier SAS
Abridged English version
Being closed under holomorphic functional calculus is an important (but not always fulfilled) property
for an algebra of pseudodifferential operators, as it implies, for instance, that the parametrix of a Fredholm
operator lies in the algebra itself. In certain cases (e.g. for Melrose’s b-pseudodifferential calculus on
manifolds with corners), it is necessary to enlarge the algebra to obtain this property. In this note, we
present several results leading to the construction of such algebras.
Let Bbe a unital Banach algebra, and ϕ:A→Bbe a morphism of algebras, which we assume to
preserve the unit if Ahas one. Then Ais called locally spectral invariant with respect to ϕ, if there exists
Note pr´ esent´ ee par Pr´ enom NOM
S0764-4442(00)0????-?/FLA
c
2001 Acad´emie des sciences/´ Editions scientifiques et m´edicales Elsevier SAS. Tous droits r´eserv´es. 1

R. Lauter, B. Monthubert, V. Nistor
ε>0such that we have (e+ϕ(x))−1∈C+ϕ(A)for all x∈Awith kϕ(x)kB<ε. Recall that if Ais a
subalgebraof B,itissaidtobespectrally invariantin Bprovided that (Ce+A)∩B−1=(Ce+A)−1. Recall
further that a symmetric Fr´echet subalgebra A⊆Bof a unital C∗-algebra Bis said to be a Ψ∗-algebra if
Ais spectrally invariant in B[3].
We have the following result. If J⊆Bis a proper,closed two-sided idealin B,andI⊆Ais a two-sided
ideal in Awith I⊆Jand dense, then Ais spectrally invariant in Bprovided that Ce⊕Iis spectrally
invariant in Ce⊕J,andϕ−1(B/J)−1=(A/I)−1.
Let Gbe a continuousfamily groupoid,and Ψ∞,0(G)be the algebra of pseudodifferentialoperators on G
[4]. Let J:= C∗
r(G)=Ψ−∞,0(G)L(H),and B:= Ar(G)=Ψ0,0(G)L(H),whereHstands for the Hilbert
space R⊕
ML2(Gx;r∗D1
2)dν(x)with respect to a positive, smooth density ν∈C
∞(M,Ω) and D1/2is the
bundle of half-densities on M.
THEOREM 0.1. – Let I⊂J be a subspace such that I=I∗,Iis a left- and right-Ψ0,0(G)-module
containing Ψ−∞,0(G)and locally spectrally invariant in J.LetA:= Ψ0,0(G)+I.Then
(CidH+A)∩L(H)−1=(CidH+A)−1.
In particular, if Ais a Fr´ echet algebra, then Ais a Ψ∗-algebra containing Ψ0,0(G).
PROPOSITION 0.2. – If each fiber Gx(for x∈M) is a manifold of boundedgeometry, then there exists a
Ψ∗-algebra A1containing Ψ0,0(G)as a dense subalgebra such that each P∈A
1is given by a G-invariant
family (Px)x∈Mof pseudodifferential operators Pxon Gx.
It is natural to look for algebras which are closed under holomorphic functional calculus and consist of
pseudodifferential operators in an appropriate sense. This is achievable in the case of a compact manifold
with boundary X, using the results above for the cn+1-calculus. The groupoid of the cn+1-calculus (for
n>1)isΓn+1 := {(u, v, µ)∈X×X×R|µρ(u)nρ(v)n=ρ(u)n−ρ(v)n}where ρis a boundary
defining function for X.
THEOREM 0.3. – Let Xbe a compact manifold with connected boundary, and n>1. Then there exists
an algebra Iof smooth kernels on X,i.e., an algebra contained in C∞(Γn+1(X)) ∩C∗(Γn+1(X)), that
is a Ψ∗-algebra and contains Ψ−∞(Γn(X)). Moreover, A:= Ψ0(Γn+1(X)) + Iis a Ψ∗-algebra as well.
If P∈Ais Fredholm, then its parametrix Qis also in Aand hence it has as kernel a distribution on
Γn+1(X)that is conormal to X. Also, if Pξ =0,thenξ∈xlHm(X), for any l, m ∈Z.
Another approach is via the Schwartz space of a continuous family groupoid.
DEFINITION 0.4. – Let Gbe a Hausdorff continuous family groupoid endowed with a continuous func-
tion φ:G→R+such that: φ(g1g2)6φ(g1)+φ(g2),∀g∈G,φ(g−1)=φ(g),φis proper, and
∃c, N, ∀x∈G
(0),∀r∈R+,µ
x(φ−1([0,r]) 6c(rN+1). Then the Schwartz space of Gwith respect to φis
(G,φ)=f∈C
0(G, Ω1
2),∀d∈N,∀v1,...,v
d∈C(A(G)),∀i6d,
v1...v
i·f·vi+1 ...v d∈C 0(G,Ω1
2)andsup
g∈G
|v1...v
i·f·vi+1 ...v d(g)|(1 + φ(g))k<∞}.
THEOREM 0.5. – TheSchwartzspaceofGwith respect to φ,(G,φ), is a subalgebra of C∗
r(G)that is
closed under holomorphic functional calculus.
1. Introduction
La stabilit´e par calcul fonctionnel holomorphe est une propri´et´e importante (mais pas toujours remplie)
pour une alg`ebre d’op´erateurs pseudodiff´erentiels, car elle assure, par exemple, que la parametrix d’un
2

Invariance spectrale des alg` ebres d’op´ erateurs pseudodiff´ erentiels
op´erateurde Fredholmest elle aussi dans l’alg`ebre. De telles alg`ebresinterviennentnaturellementen th´eorie
de l’indice, notamment dans les m´ethodes d´evelopp´ees par Alain Connes ([1, 2]).
Or dans certains cas (e.g. pour le b-calcul pseudo-diff´erentielsur une vari´et´e`a coins de Melrose, voir [5]),
il est n´ecessaire d’´elargir l’alg`ebre des op´erateurs pseudo-diff´erentielpour en obtenirune qui soit stable par
calcul fonctionnel holomorphe. Dans cette note, nous pr´esentons plusieurs r´esultats permettant d’obtenir de
telles alg`ebres.
2. Stabilit´ e par calcul fonctionnel holomorphe et extensions
Afin de construire des alg`ebres d’op´erateurs pseudo-diff´erentiel stables par calcul fonctionnel holo-
morphe, nous pouvons utiliser des constructions d’id´eaux stables par calcul fonctionnel holomorphe conte-
nant les op´erateurs r´egularisants. Pour cela, il est n´ecessaire d’´etudier les incidences des suites exactes
courtes sur la notion de stabilit´e par calcul fonctionnel holomorphe.
D´
EFINITION 2.1. – Soit Bune alg` ebre de Banach d’unit´ ee,etϕ:A→Bun morphisme d’alg` ebres
pr´ eservant l’unit´ esiAen est munie. Alors Aest dite localement spectralement invariante relativement `aϕ,
si il existe ε>0tel que
(e+ϕ(x))−1∈C+ϕ(A)
pour tout x∈Atel que kϕ(x)kB<ε. En outre, si Aest unitale et ϕ−1(B−1)=A−1,alorsAest dite
spectralement invariante relativement `aϕ. Si de plus il existe une involution et une topologiede Fr´ echet TA
sur Arendant le plongement ι:(A,TA)→(B,k·k
B)continu, alors Aest appel´
ee une Ψ∗-alg`ebre [3].
TH´
EOR` EME 2.2. – Soit Bune alg` ebre de Banach unitaire, A⊆Bune sous-alg` ebre contenant l’unit´ e
de B,J⊆Bun id´ eal bilat` ere ferm´ e et propre, et I⊆Aun id´ eal bilat` ere tel que I⊆J;soitϕ:A/I −→
B/J:a+I7−→ a+Jl’application induite. Alors
1. Si I⊆J est dense, si Iest localement spectralement invariante dans Jet si A/I est spectralement
invariante relativement ` aϕ,alorsAest localement spectralement invariante dans B.
2. Si I⊆Jest dense, et si Aest localement spectralement invariante dans B,alorsA/I est localement
spectralementinvarianterelativement ` aϕ.SideplusAest dense dans B,alorsA/I est spectralement
invariante relativement ` aϕ.
3. Si Aest localement spectralement invariante dans B,alorsIl’est dans J.
4. Si ϕest injective et ϕ(A/I)est dense dans B/J,alorsA/I est spectralement invariante relativement
`
aϕsi et seulement si elle est localement spectralement invariante relativement ` aϕ.
3. Applications aux alg` ebres d’op´ erateurs pseudo-diff´ erentiels
Nous consid´erons maintenant des alg`ebres d’op´erateurs pseudo-diff´erentiels sur des groupo¨ıdes longitu-
dinalement lisses. De nombreux exemples de calculs pseudo-diff´erentiels sont contenus dans ce cadre (cal-
cul pseudo-diff´erentiel sur les vari´et´es lisses, les groupes de Lie, les feuilletages, les vari´et´es `a coins...).
Plus pr´ecis´ement un groupo¨ıde longitudinalement lisse est un groupo¨ıde localement compact muni d’un
atlas tel que toute carte Ωest hom´eomorphe `a deux ouverts de Rk×G
(0),Td×Udet Tr×Urtels que le
diagramme suivant soit commutatif :
Tr×Ur
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
Ω
'
oo
r
{{x
x
x
x
x
x
x
x
x
'//
d##
F
F
F
F
F
F
F
F
FTd×Ud
##
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Urr(Ω)
=
ood(Ω) =//Ud
(1)
et chaque changement de coordonn´ees est donn´e par une application (t, u)7→ (φ(t, u),u)o`uφest de classe
C∞,0,i.e.u7→ φ(., u)est continuede U∗dans C∞(T∗,T0
∗),∗=d, r. De plus, on impose que la composition
et l’inversion soient C∞,0. On supposera dans la suite, pour simplifier, que M:= G(0) est compact.
3

R. Lauter, B. Monthubert, V. Nistor
L’alg`ebre des op´erateurs pseudo-diff´erentiels d’ordre 0 sur G,d´efinie dans [4], est not´ee Ψ0,0(G). Elle
contient un id´eal d’op´erateurs r´egularisants, Ψ−∞,0(G). Ces alg`ebres sont des sous-alg`ebres denses des
C∗-alg`ebres Ar(G)et C∗
r(G).
Soit J:= C∗
r(G)=Ψ−∞,0(G)L(H)et B:= Ar(G)=Ψ0,0(G)L(H).
TH´
EOR` EME 3.1. – Soit I⊂J un sous-espace tel que I=I∗,Iest un Ψ0,0(G)-module ` a gauche et ` a
droite contenant Ψ−∞,0(G)et localement spectralement invariant dans J. Soit A:= Ψ0,0(G)+I.Alors
(CidH+A)∩L(H)−1=(CidH+A)−1.
En particulier, si Aest une alg` ebre de Fr´ echet, alors Aest une Ψ∗-alg`
ebre contenant Ψ0,0(G).
Sous certaines conditions, l’existence d’une alg`ebre d’op´erateurs pseudo-diff´erentiels stable par calcul
fonctionnel holomorphe est assur´ee :
PROPOSITION 3.2. – Si chaque fibre Gx(pour x∈M) est une vari´
et´ edeg
´
eom´ etrie born´ ee, alors il
existe une Ψ∗-alg`
ebre dont Ψ0,0(G)est une sous-alg` ebre dense et telle que chaque ´ el´ ement est donn´ e par
une famille G-invariante (Px)x∈Md’op´
erateurs pseudo-diff´ erentiels Pxsur Gx.
4. Cas des vari´ et´ es ` acoins
Soit Xune vari´et´e`a coins. Plusieurs groupo¨ıdes ont ´et´e construits ([4, 6, 9]), dont les calculs pseudo-
diff´erentiels associ´es co¨ıncident avec le b-calcul et les cn+1-calculs (si n=1,onparleducusp-calcul defini
par Melrose). Ces groupo¨ıdes peuvent ˆetre d´efinis pour toute vari´et´e`a coins, mˆeme si les hyperfacesne sont
pas plong´ees.
Dans le cas simple d’une vari´et´e`a bord X, munie d’une fonction de d´efinition du bord ρ, le groupo¨ıde du
b-calcul, Γ1(X), est isomorphe `a{(x, y, λ)∈X×X×R∗
+|ρ(x)=λρ(y)}.Le groupo¨ıde du cn+1-calcul,
Γn+1(X), par ailleurs, est isomorphe `a{(u, v, µ)∈X×X×R|µρ(u)nρ(v)n=ρ(u)n−ρ(v)n}.
TH´
EOR` EME 4.1. – Soit Xune vari´ et´ e` a bord compacte, dont le bord est connexe, et n>2. Alors il
existe une alg` ebre de noyaux lisses sur Xpour le cn+1-calcul (n>1), c’est-`
a-dire une sous-alg` ebre I⊂
C∞(Γn+1(X)) contenant Ψ−∞(Γn+1(X)), et qui soit une Ψ∗-alg`
ebre. L’alg` ebre A:= Ψ0(Γn+1(X)) + I
est aussi uneΨ∗-alg`
ebre. Par cons´ equent,le noyau d’uneparametrixQd’unop´ erateur de Fredholm P∈A
est conormal ` aXet toute solution de Pξ =0est telle que ξ∈xlHm(X), pour tous l, m ∈Z.
Pour cela, soit I:= ˙ C∞(X×X)l’espace des fonctions lisses sur X×Xqui s’annullent `a tout ordre
sur l’ensemble des hyperfaces de X×X. Par ailleurs, soit A:= (∂M ×∂M ×[0,∞)), alors il existe
une action `a croissance polynomiale de Rsur Apermettant de d´efinir l’espace de Schwartz (R,A).En
utilisant une fonction lisse φ∈C
∞([0,∞)), telle que φ(x)=1au voisinage de 0,etφ(x)=0si x>1,
on peut d´efinir A=φ(R,A)φ+I⊂C∗(Γn+1(M)) ;lesr´esultats pr´ec´edents permmettent de prouver
que c’est une alg`ebre de noyaux lisses sur X. Pour d´emontrer que Aest une alg`ebre, on ´etudie A/x∞Aqui
est isomorphe `al’alg`ebre des s´eries formelles B0[[t−1/n]],o`uB0=Ψ
∞(∂X ×R)R+S(R,Ψ−∞(∂X))
et [t−1/n,P]=P∞
k=0 Ck
−1/nadk
t(P), pour Ck
l=l(l−1) ...(l−k+1)/k!et adt(P)=[t, P ].Icit−1/n
correspond `axqui d´efinit ∂X.
5. L’espace de Schwartz d’un groupo¨ıde longitudinalement lisse
Dans certains cas, il est possible de d´efinir un espace de Schwartz associ´e`a un groupo¨ıde longitudinale-
ment lisse, qui est stable par calcul fonctionnel holomorphe.
D´
EFINITION 5.1. – Soit Gun groupo¨ ıde longitudinalement lisse de Hausdorff, et µun syst` eme de Haar
sur G. Une fonction longueur ` a croissance polynomiale sur Gest une fonction continue φ:G→R+telle
que :
1. φ(g1g2)6φ(g1)+φ(g2),
2. ∀g∈G,φ(g−1)=φ(g),
4

Invariance spectrale des alg` ebres d’op´ erateurs pseudodiff´ erentiels
3. φest propre,
4. ∃c, N, ∀x∈G
(0),∀r∈R+,µ
x(φ−1([0,r]) 6c(rN+1).
D´
EFINITION 5.2. – Soit Gun groupo¨ ıde longitudinalement lisse de Hausdorff muni d’une fonction
longueur ` a croissance polynomiale φ. L’espace de Schwartz associ´ e` aGrelativement ` aφest
(G,φ)=f∈C
0(G, Ω1
2),∀d∈N,∀v1,...,v
d∈C(A(G)),∀i6d,
v1...v
i·f·vi+1 ...v d∈C 0(G,Ω1
2)et sup
g∈G
|v1...v
i·f·vi+1 ...v d(g)|(1 + φ(g))k<∞}.
TH´
EOR` EME 5.3. – L’espace de Schwartz de Grelativement ` aφ,(G,φ), est une sous-alg` ebre de
C∗
r(G)stable par calcul fonctionnel holomorphe.
La d´emonstration est inspir´ee des m´ethodes de Vincent Lafforgue [8]. Grˆace au th´eor`eme 2.2, on a
´egalement le r´esultat suivant.
COROLLAIRE 5.4. – Soit Gun groupo¨
ıde longitudinalement lisse, et φune fonction longueur ` acrois-
sance polynomiale. Soit Ψ0
s(G):=Ψ
0(G)+ (G,φ).AlorsΨ0
s(G)est stable par calcul fonctionnel holo-
morphe. De plus, si P∈Ψ0
s(G)est un op´
erateur de Fredholm, alors il admet une parametrix Q∈Ψ0
s(G).
Dans le cas des vari´et´es `a coins compactes, on peut facilement d´efinir de tels espaces de Schwartz. Ainsi,
dans le cas du b-calcul sur une vari´et´e`a coins, avec Γ1(X)'{(x, y, λ)∈X×X×R∗
+|ρ(x)=λρ(y)},
la fonction φ1(x, y, λ)=|log(λ)|est une fonction longueur `a croissance polynomiale. Dans le cas du
cn+1-calcul, avec Γn+1(X)'{(u, v, µ)∈X×X×R|µρ(u)nρ(v)n=ρ(u)n−ρ(v)n},la fonction
φn(u, v, µ)=|µ|est une fonction longueur `a croissance polynomiale.
Remerciements. Les remerciements.
R´ ef´ erences bibliographiques
[1] A. Connes. Sur la th´eorie non commutative de l’integration.Alg`ebres d’op´erateurs, LNM 725, Springer Verlag,
19–143, 1979.
[2] A. Connes. Noncommutative Geometry. Academic Press, New York - London, 1994.
[3] B. Gramsch. Relative Inversion in der St¨orungstheorie von Operatoren und Ψ-Algebren. Math. Annalen,269
(1984),27–71.
[4] R. Lauter, B. Monthubert and V. Nistor. Pseudodifferential analysis on continuous family groupoids, Documenta
Math. 5 (2000), 625–655
[5] R. B. Melrose, The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, A.K. Peters, Wellesley, Mass. 1993.
[6] B. Monthubert. Pseudodifferential calculus on manifolds with corners and groupoids, Proc. Amer. Math. Soc.
127,10 (1999), pages 2871–2881.
[7] B. Monthubert and F. Pierrot. Indice analytique et groupo¨ıdes de Lie. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I,325(2) (1997),
193–198.
[8] V. Lafforgue, KK-th´eorie bivariante pour les alg`ebres de Banach et conjecture de Baum-Connes,Th`ese de
l’universit´e Paris 11, 1999.
[9] V. Nistor, A. Weinstein, and P. Xu. Pseudodifferential operators on groupoids. Pacific. J. Math. 189 (1999),
117–152.
5