Raisonnement par contraposée

2014-2015
Logique
Raisonnement par contraposée
Soient P et Q deux propositions.
La contraposée de l’implication « P ⇒ Q » est
l’implication « non Q ⇒ non P ».
Une implication et sa contraposée sont équivalentes : elles sont simultanément vraies ou simultanément fausses.
Exemple
L’énoncé du théorème de Pythagore est :
« Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2 ».
Sa contraposée est :
« Si BC 2 6= AB 2 + AC 2 alors ABC n’est pas un triangle rectangle en A ».
Application
Le triangle ABC suivant est-il rectangle en A ?
C
b
5,6
4
b
A
b
4
B
On utilise la contraposée du théorème de Pythagore.
BC 2 = 31, 6 et AB 2 + AC 2 = 32.
On a BC 2 6= AB 2 + AC 2 , on en déduit que le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
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2014-2015
Logique
Démonstration par contraposée
Pour démontrer qu’une implication est vraie, on démontre que sa contraposée est vraie.
Exemple
• Démontrons par contraposée l’implication suivante :
« Pour tout entier naturel n, si n2 est pair, alors n est pair ».
• La contraposée de cette implication est :
« Pour tout entier naturel n, si n est impair, alors n2 est impair ».
• Démontrons que cette contraposée est vraie :
Soit n un entier naturel impair. Alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k + 1.
On a alors n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, n2 est donc impair.
• Conclusion :
On a démontré que :
« Pour tout entier naturel n, si n est impair, alors n2 est impair ».
On a démontré par contraposée que :
« Pour tout entier naturel n, si n2 est pair, alors n est pair ».
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