Raisonnement par contraposée

2014-2015 Logique
Raisonnement par contraposée
Soient P et Q deux propositions.
La contraposée de l’implication « P ⇒Q » est
l’implication « non Q ⇒non P ».
Une implication et sa contraposée sont équivalentes : elles sont simultanément vraies ou simul-
tanément fausses.
Exemple
L’énoncé du théorème de Pythagore est :
«Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2=AB2+AC2».
Sa contraposée est :
«Si BC26=AB2+AC2alors ABC n’est pas un triangle rectangle en A ».
Application
Le triangle ABC suivant est-il rectangle en A?
4
4
5,6
AB
C
On utilise la contraposée du théorème de Pythagore.
BC2= 31,6 et AB2+AC2= 32.
On a BC26=AB2+AC2, on en déduit que le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
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2014-2015 Logique
Démonstration par contraposée
Pour démontrer qu’une implication est vraie, on démontre que sa contraposée est vraie.
Exemple
•Démontrons par contraposée l’implication suivante :
« Pour tout entier naturel n,si n2est pair,alors nest pair ».
•La contraposée de cette implication est :
« Pour tout entier naturel n,si nest impair,alors n2est impair ».
•Démontrons que cette contraposée est vraie :
Soit nun entier naturel impair. Alors il existe un entier naturel ktel que n= 2k+ 1.
On a alors n2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k) + 1, n2est donc impair.
•Conclusion :
On a démontré que :
« Pour tout entier naturel n,si nest impair,alors n2est impair ».
On a démontré par contraposée que :
« Pour tout entier naturel n,si n2est pair,alors nest pair ».
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