ExoslibresRMS2016 - Le site de la MP du lycée Pasteur

Épreuves orales
des concours d’entrée
aux grandes écoles
Les énoncés marqués d’une étoile seront corrigés ultérieurement
Cette liste sera complétée dans le prochain numéro par les exercices d’informatique posés
dans les ENS et les exercices posés dans les autres Écoles.
Le comité de rédaction remercie Jean-Pierre Barani, Isabelle Bigeard, Denis Choimet, Michel
Colin, Christian Devanz, Christophe Devulder, Jean-Denis Eiden, Karine Fournier, Alexis Fa-
gebaume, Serge Francinou, Max Hochart, Jean-Claude Jacquens, Antoine Landart, Catherine
Long, Jean-François Mallordy, François Moulin, Renaud Palisse, Philippe Patte, Alain Pom-
mellet, Emmanuel Roblet, Clément de Seguins-Pazzis, Jean-Claude Sifre pour leurs contri-
butions à cette liste d’exercices.
Autres Écoles - MP
Algèbre
1. TPE. Soit P=X3−X+ 1.
a) Montrer que Pa trois racines simples a,bet c.
b) Calculer a2+b2+c2et a7+b7+c7.
2. IMT. Soit El’ensemble des matrices de la forme a b
−b a, avec aet bréels.
a) Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de M2(R)et donner sa dimension.
b) Montrer que Eest un sous-anneau de M2(R).
3. ISUP. Soient A∈ Mn(C)et φAl’application définie de Mn(C)dans lui-même par
φA(M) = AM. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que φAsoit bijective.
4. IMT. Soient n∈N∗,A∈ Mn(R)et φune forme linéaire de Mn(R). Trouver une condi-
tion nécessaire et suffisante sur φ(A)pour que l’application f:M7→ M−φ(M)Asoit
bijective de Mn(R)sur lui-même.
5. TPE. Soit φune forme linéaire sur Mn(R). Montrer l’existence d’une matrice A∈ Mn(R)
telle que ∀M∈ Mn(R),φ(M) = Tr(AM).

2Revue de la filière Mathématiques
6. ENSEA. Soient Eun K-espace vectoriel de dimension 3, eune base de E, et u∈ L(E).
On définit φsur E3par φ(x, y, z) = dete(u(x), y, z) + dete(x, u(y), z) + dete(x, y, u(z)).
Étudier φ.
7. ENSEA. On pose ∀k, i ∈N∗, d[k]
i=di(di−1) ···(di−k+ 1) et d[0] i= 1. Calculer
V(d1, ..., dn) = 
1 1 ... 1
d1d2... dn
... ... ... ...
d[n−1]
1d[n−1] 2... d[n−1]
n
8. IMT. Soit H=Vect {AB −BA ;A, B ∈ Mn(R)}.
a) Montrer que l’application trace Tr est une forme linéaire sur Mn(R), et que Tr(AB) =
Tr(BA)pour tout couple de matrices.
b) On note (Ei,j )16i,j6nla base canonique de Mn(R). Calculer Ei,j Ei,i et Ei,iEi,j si
i6=j.
c) Soit φune forme linéaire de Mn(R)telle que, pour tout couple (A, B)de matrices,
φ(AB) = φ(BA). Montrer que la famille (φ, Tr)est liée.
d) Montrer que H= Ker(Tr).
e) Trouver un supplémentaire de H.
9. CCP. Soit A=
a1a1· · · a1
a2a2· · · a2
.
.
..
.
..
.
.
anan· · · an
∈ Mn(R), à coefficients non nuls.
a) Quel est le rang de la matrice A?
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que Asoit la matrice d’un projecteur.
c) On revient au cas général. On pose B= 2A−Tr(A)In.
d) Calculer le déterminant de B.
e) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que Bsoit inversible.
f) Calculer B2. Calculer B−1dans le cas où Best inversible.
10. Saint-Cyr. Soient Kun corps, Eun K-espace vectoriel de dimension finie, fet gdans
L(E)tels que Im(f+g) = Im(f)⊕Im(g). Montrer E=Ker(f) + Ker(g).
11. ICNA. Soient Eun R-espace vectoriel et f∈ L(E)vérifiant f3= id.
a) Montrer que E= Ker(f−id) ⊕Im (f−id).
b) Montrer que Ker(f−id) = Im (f2+f+ id).
c) Montrer que Ker(f2+f+ id) = Im (f−id).
12. Navale. Soient A, B ∈ Mn(C)telles que rg(AB −BA) = 1. Déterminer (AB −BA)2.
13. Navale. Soient Eun espace vectoriel de dimension finie, uet vdeux endomorphismes
de E. On suppose que uet vcommutent et que vest nilpotent. Montrer que u+vest un
automorphisme de Esi et seulement si uest un automorphisme de E.

Revue de la filière Mathématiques 3
14. TPE. Soit A=
0b−a
−b0−c
a c 0
.Calculer etA pour t∈R.
15. IMT. Soit D=−1 0
0 4.Déterminer les M∈ M2(R)vérifiant M3−2M=D.
16. TPE. On note M=
1 1 . . . 1−1
−1−1. . . −1 1
.
.
.
1 1 . . . 1−1
−1−1. . . −1 1
2 2 . . . 2−2
∈ M2n+1(R). Montrer que Mest
diagonalisable et la diagonaliser explicitement.
17. IMT. Soient n∈N∗,Jn∈ Mn(R)la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf
ceux d’indice de la forme (i, n + 1 −i)qui valent 1 et An=JnIn
InJnDiagonaliser Jn.
La matrice Anest-elle diagonalisable ?
18. TPE. Soient A∈ Mn(R),B=A0
A A,Pun polynôme de R[X].
a) Calculer P(B).
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que Bsoit diagonalisable.
19. ISUP. Soit Aune matrice de Mn(C). On note FAl’endomorphisme de Mn(C)qui à une
matrice Massocie FA(M) = AM. Comparer les spectres de Aet de FA.
20. TPE. Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie, u∈ L(E)et µle polynôme
minimal de u. Soit P∈C[X]. Montrer que P(u)est dans GL(E)si et seulement si µet P
sont premiers entre eux.
21. ISUP. a) Donner une matrice de Mn(C)qui n’est pas diagonalisable.
b) L’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C)est-il un sous-espace vectoriel ?
22. CCP. Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie, u∈ L(E)diagonalisable, χu
son polynôme caractéristique, (e1, . . . , en)une base de vecteurs propres de u.
a) Montrer que χu(u)=0sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
b) Soit x=
n
X
i=1
xieiun élément de E. Calculer dete(x, u(x), . . . , un−1(x)).
c) Montrer que les valeurs propres de usont simples si et seulement si on peut trouver x∈E
tel que (x, u(x), . . . , un−1(x)) soit une base de E.
23. IMT. Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie n>1et u∈ L(E)un endomor-
phisme ayant nvaleurs propres distinctes.
a) Que peut-on dire de u?

4Revue de la filière Mathématiques
b) Montrer que si g∈ L(E)est solution de l’équation (E)g2=u, alors tout vecteur propre
de uest aussi vecteur propre de g.
c) Combien l’équation (E)admet-elle de solutions ?
24. CCP. a) Soit P∈R[X], montrer que l’intégrale Z1
0
P(t)
√1−tdtconverge.
b) Soit E=Rn[X]. Pour P, Q ∈E, on pose hP, Qi=Z1
0
P(t)Q(t)
√1−tdt. Montrer que cette
application est un produit scalaire de E.
c) Soit A∈E. On considère l’application fAqui à P∈Eassocie le reste de la division
euclidienne de Ppar A. Montrer que fAest un projecteur de E. Déterminer son image et son
noyau.
25. CCP. Soit E=C2([0,1],R). Pour f, g ∈E, on pose hf, gi=Z1
0
(fg +f0g0).
a) Montrer que h,iest un produit scalaire sur E.
b) On note Ul’ensemble des f∈Evérifiant f(0) = f(1) = 0, et Vl’ensemble des f∈E
vérifiant f00 =f. Montrer que Uet Vsont deux sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux
pour le produit scalaire précédent.
c) A-t-on U⊕V=E?
26. CCP. a) Montrer que l’on définit un produit scalaire de Mn(R)en posant, pour Aet B
dans Mn(R),hA, Bi= Tr(t A B).
b) Soit M=
0 1 2
2 0 1
−1−1 0 
. Calculer la distance de MàS3(R).
c) Soit Hl’ensemble des matrices de M3(R)de trace nulle. Montrer que Hest un sous-
espace vectoriel et calculer sa dimension. Soit J∈ M3(R)la matrice dont tous les coeffi-
cients sont égaux à 1. Calculer la distance de JàH.
27. CCP. Soient (E, h,i)un espace euclidien, a, b deux vecteurs unitaires indépendants, et
u:x∈E7→ ha, xib+hb, xia.
a) Montrer que uest un endomorphisme symétrique.
b) Trouver le noyau de u.
c) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de u.
28. Saint-Cyr. Soient ndans N∗,k k la norme euclidienne canonique sur Rn,Adans Sn(R),
λ16··· 6λnles valeurs propres de Acomptées avec multiplicité. Pour Xdans Rn, soit
qA(X) = tXAX.
a) Montrer, pour xdans Rn:λ1kXk26qA(X)6λnkXk2.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que q−1
A({1})soit un compact non
vide de Rn.
Analyse

Revue de la filière Mathématiques 5
29. IMT. On note El’espace vectoriel des fonctions de classe C1de [0,1] dans R. Pour f∈E,
on note N(f) = sf(0)2+Z1
0
f02(t) dt.
a) Montrer que Nest une norme sur E.
b) La comparer à la norme k k∞.
30. TPE. Montrer que S++
n(R)est un ouvert dense de S+ n(R).
31. Dauphine. a) Soient (un)une suite réelle et, pour tout n,vn=un+1 −un. Montrer que
la suite (un)et la série Xvnsont de même nature.
b) Pour tout n∈N∗, on pose xn=nne−n√n
n!, puis yn= ln xn+1 xn. Montrer que la série
de terme général ynconverge.
c) Montrer qu’il existe une constante c > 0telle que lim
n→+∞
n!
√ne−nnn=c.
32. CCP. a) Soient (un)une suite réelle convergeant vers `∈Ret, pour n∈N∗,
vn=1
n
n−1
X
k=0
uk. Montrer que (vn)converge vers `.
b) On considère la suite (un)définie par u0= 1 et, pour n∈N,un+1 =une−un.
c) Montrer que la suite (un)converge et donner sa limite.
d) On définit vn=1
un+1 −1 un
. Montrer que (vn)converge vers 1.
e) En déduire un équivalent de un. La série de terme général unconverge-t-elle ?
33. TPE. Soit f: [n0,+∞[→R, avec n0∈N, de classe C1. On suppose que fest d’intégrale
convergente sur [n0,+∞[, et que f0est intégrable sur cet intervalle. Montrer que la série
Xf(n)converge. Montrer que Xsin(π√n)
nconverge.
34. Saint-Cyr. Étudier la fonction f:x7→ Zx2
x
ln(t)2dt.
35. IMT. Étudier, suivant αet βdans R, l’intégrabilité sur R+∗de x7→ xαln(1 + xβ).
36. Existe-t-il un polynôme Ptel que Z+∞
03
px3+x−pP(x)dxconverge ?
37. TPE. Soit f: [0,+∞[→Rune fonction continue et de carré intégrable sur [0,+∞[. Pour
x > 0, on pose g(x) = 1
xZx
0
f(t) dt
a) Peut-on prolonger gpar continuité en 0 ? Si oui, avec quelle valeur de g(0) ?
b) Soit (a, b)∈R2avec 0< a < b. Montrer Zb
a
g(t)2dt=ag(a)2−bg(b)2+2 Zb
a
f(t)g(t) dt.