ExoslibresRMS2016 - Le site de la MP du lycée Pasteur

Épreuves orales
des concours d’entrée
aux grandes écoles
Les énoncés marqués d’une étoile seront corrigés ultérieurement
Cette liste sera complétée dans le prochain numéro par les exercices d’informatique posés
dans les ENS et les exercices posés dans les autres Écoles.
Le comité de rédaction remercie Jean-Pierre Barani, Isabelle Bigeard, Denis Choimet, Michel
Colin, Christian Devanz, Christophe Devulder, Jean-Denis Eiden, Karine Fournier, Alexis Fagebaume, Serge Francinou, Max Hochart, Jean-Claude Jacquens, Antoine Landart, Catherine
Long, Jean-François Mallordy, François Moulin, Renaud Palisse, Philippe Patte, Alain Pommellet, Emmanuel Roblet, Clément de Seguins-Pazzis, Jean-Claude Sifre pour leurs contributions à cette liste d’exercices.
Autres Écoles - MP
Algèbre
1. TPE. Soit P = X 3 − X + 1.
a) Montrer que P a trois racines simples a, b et c.
b) Calculer a2 + b2 + c2 et a7 + b7 + c7 .
2. IMT. Soit E l’ensemble des matrices de la forme
a
−b
b
, avec a et b réels.
a
a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 (R) et donner sa dimension.
b) Montrer que E est un sous-anneau de M2 (R).
3. ISUP. Soient A ∈ Mn (C) et φA l’application définie de Mn (C) dans lui-même par
φA (M ) = AM . Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que φA soit bijective.
4. IMT. Soient n ∈ N∗ , A ∈ Mn (R) et φ une forme linéaire de Mn (R). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur φ(A) pour que l’application f : M 7→ M − φ(M )A soit
bijective de Mn (R) sur lui-même.
5. TPE. Soit φ une forme linéaire sur Mn (R). Montrer l’existence d’une matrice A ∈ Mn (R)
telle que ∀M ∈ Mn (R), φ(M ) = Tr(AM ).
2
Revue de la filière Mathématiques
6. ENSEA. Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3, e une base de E, et u ∈ L(E).
On définit φ sur E 3 par φ(x, y, z) = dete (u(x), y, z) + dete (x, u(y), z) + dete (x, y, u(z)).
Étudier φ.
[k]
[0]
∗
7. ENSEA. On pose
∀k, i ∈ N , di = di (di − 1) · · · (di − k + 1) et di
1
1
...
1 d1
d2
...
dn V (d1 , ..., dn ) = ...
...
...
... [n−1]
[n−1]
[n−1] d
d2
... dn
1
= 1. Calculer
8. IMT. Soit H = Vect {AB − BA ; A, B ∈ Mn (R)}.
a) Montrer que l’application trace Tr est une forme linéaire sur Mn (R), et que Tr(AB) =
Tr(BA) pour tout couple de matrices.
b) On note (Ei,j )16i,j6n la base canonique de Mn (R). Calculer Ei,j Ei,i et Ei,i Ei,j si
i 6= j.
c) Soit φ une forme linéaire de Mn (R) telle que, pour tout couple (A, B) de matrices,
φ(AB) = φ(BA). Montrer que la famille (φ, Tr) est liée.
d) Montrer que H = Ker(Tr).
e) Trouver un supplémentaire de H.

a1
 a2
9. CCP. Soit A =
 .
 ..
an
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a1
a2
..
.
an
···
···
···

a1
a2 

.. ∈ Mn (R), à coefficients non nuls.
. 
an
Quel est le rang de la matrice A ?
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit la matrice d’un projecteur.
On revient au cas général. On pose B = 2A − Tr(A)In .
Calculer le déterminant de B.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que B soit inversible.
Calculer B 2 . Calculer B −1 dans le cas où B est inversible.
10. Saint-Cyr. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension finie, f et g dans
L(E) tels que Im(f + g) = Im(f ) ⊕ Im(g). Montrer E = Ker(f ) + Ker(g).
11. ICNA. Soient E un R-espace vectoriel et f ∈ L(E) vérifiant f 3 = id.
a) Montrer que E = Ker(f − id) ⊕ Im (f − id).
b) Montrer que Ker(f − id) = Im (f 2 + f + id).
c) Montrer que Ker(f 2 + f + id) = Im (f − id).
12. Navale. Soient A, B ∈ Mn (C) telles que rg(AB − BA) = 1. Déterminer (AB − BA)2 .
13. Navale. Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u et v deux endomorphismes
de E. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que u + v est un
automorphisme de E si et seulement si u est un automorphisme de E.
Revue de la filière Mathématiques
15. IMT. Soit D =

−a
−c . Calculer etA pour t ∈ R.
0

b
0
c
−1
0
0
. Déterminer les M ∈ M2 (R) vérifiant M 3 − 2M = D.
4
0
14. TPE. Soit A =−b
a




16. TPE. On note M =




3
1
−1
..
.
1
−1
2
1
−1
...
...
1
−1
1
−1
2
...
...
...
1
−1
2

−1
1 



∈ M2n+1 (R). Montrer que M est
−1 

1 
−2
diagonalisable et la diagonaliser explicitement.
17. IMT. Soient n ∈ N∗ , Jn ∈ Mn (R) la matrice dont tousles coefficients
sont nuls, sauf
ceux d’indice de la forme (i, n + 1 − i) qui valent 1 et An =
Jn
In
In
Jn
Diagonaliser Jn .
La matrice An est-elle diagonalisable ?
A 0
18. TPE. Soient A ∈ Mn (R), B =
, P un polynôme de R[X].
A A
a) Calculer P (B).
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que B soit diagonalisable.
19. ISUP. Soit A une matrice de Mn (C). On note FA l’endomorphisme de Mn (C) qui à une
matrice M associe FA (M ) = AM . Comparer les spectres de A et de FA .
20. TPE. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) et µ le polynôme
minimal de u. Soit P ∈ C[X]. Montrer que P (u) est dans GL(E) si et seulement si µ et P
sont premiers entre eux.
21. ISUP. a) Donner une matrice de Mn (C) qui n’est pas diagonalisable.
b) L’ensemble des matrices diagonalisables de Mn (C) est-il un sous-espace vectoriel ?
22. CCP. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) diagonalisable, χu
son polynôme caractéristique, (e1 , . . . , en ) une base de vecteurs propres de u.
a) Montrer que χu (u) = 0 sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
n
X
b) Soit x =
xi ei un élément de E. Calculer dete (x, u(x), . . . , un−1 (x)).
i=1
c) Montrer que les valeurs propres de u sont simples si et seulement si on peut trouver x ∈ E
tel que (x, u(x), . . . , un−1 (x)) soit une base de E.
23. IMT. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n > 1 et u ∈ L(E) un endomorphisme ayant n valeurs propres distinctes.
a) Que peut-on dire de u ?
4
Revue de la filière Mathématiques
b) Montrer que si g ∈ L(E) est solution de l’équation (E) g 2 = u, alors tout vecteur propre
de u est aussi vecteur propre de g.
c) Combien l’équation (E) admet-elle de solutions ?
Z
1
P (t)
√
dt converge.
0 Z 1−t
1
P (t) Q(t)
√
b) Soit E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E, on pose hP, Qi =
dt. Montrer que cette
1−t
0
application est un produit scalaire de E.
c) Soit A ∈ E. On considère l’application fA qui à P ∈ E associe le reste de la division
euclidienne de P par A. Montrer que fA est un projecteur de E. Déterminer son image et son
noyau.
24. CCP. a) Soit P ∈ R[X], montrer que l’intégrale
25. CCP. Soit E = C 2 ([0, 1], R). Pour f, g ∈ E, on pose hf, gi =
Z
1
(f g + f 0 g 0 ).
0
a) Montrer que h , i est un produit scalaire sur E.
b) On note U l’ensemble des f ∈ E vérifiant f (0) = f (1) = 0, et V l’ensemble des f ∈ E
vérifiant f 00 = f . Montrer que U et V sont deux sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux
pour le produit scalaire précédent.
c) A-t-on U ⊕ V = E ?
26. CCP. a) Montrer que l’on définit un produit scalaire de Mn (R) en posant, pour A et B
dans Mn (R),hA, Bi = Tr(tAB).
0
b) Soit M = 2
−1
1
0
−1
2
1 . Calculer la distance de M à S3 (R).
0
c) Soit H l’ensemble des matrices de M3 (R) de trace nulle. Montrer que H est un sousespace vectoriel et calculer sa dimension. Soit J ∈ M3 (R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Calculer la distance de J à H.
27. CCP. Soient (E, h , i) un espace euclidien, a, b deux vecteurs unitaires indépendants, et
u : x ∈ E 7→ ha, xi b + hb, xi a.
a) Montrer que u est un endomorphisme symétrique.
b) Trouver le noyau de u.
c) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de u.
28. Saint-Cyr. Soient n dans N∗ , k k la norme euclidienne canonique sur Rn , A dans Sn (R),
λ1 6 · · · 6 λn les valeurs propres de A comptées avec multiplicité. Pour X dans Rn , soit
qA (X) = tXAX.
a) Montrer, pour x dans Rn : λ1 kXk2 6 qA (X) 6 λn kXk2 .
−1
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que qA
({1}) soit un compact non
n
vide de R .
Analyse
Revue de la filière Mathématiques
5
1
29. IMT. On note E
sl’espace vectoriel des fonctions de classe C de [0, 1] dans R. Pour f ∈ E,
Z 1
on note N (f ) = f (0)2 +
f 02 (t) dt.
0
a) Montrer que N est une norme sur E.
b) La comparer à la norme k k∞ .
30. TPE. Montrer que Sn++ (R) est un ouvert dense de Sn+ (R).
31. Dauphine. a) SoientX
(un ) une suite réelle et, pour tout n, vn = un+1 − un . Montrer que
la suite (un ) et la série
vn sont de même nature.
√
nn e−n n
xn+1
b) Pour tout n ∈ N∗ , on pose xn =
, puis yn = ln
. Montrer que la série
n!
xn
de terme général yn converge.
n!
c) Montrer qu’il existe une constante c > 0 telle que lim √ −n n = c.
n→+∞
ne n
32. CCP. a) Soient (un ) une suite réelle convergeant vers ` ∈ R et, pour n ∈ N∗ ,
n−1
1X
vn =
uk . Montrer que (vn ) converge vers `.
n
k=0
b) On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour n ∈ N, un+1 = un e−un .
c) Montrer que la suite (un ) converge et donner sa limite.
1
1
d) On définit vn =
−
. Montrer que (vn ) converge vers 1.
un+1
un
e) En déduire un équivalent de un . La série de terme général un converge-t-elle ?
33. TPE. Soit f : [n0 , +∞[→ R, avec n0 ∈ N, de classe C 1 . On suppose que f est d’intégrale
convergente sur [n0 , +∞[, et que f 0 est intégrable
sur cet intervalle. Montrer que la série
X
X sin(π √n)
converge.
f (n) converge. Montrer que
n
Z x2
34. Saint-Cyr. Étudier la fonction f : x 7→
ln(t)2 dt.
x
35. IMT. Étudier, suivant α et β dans R, l’intégrabilité sur R+∗ de x 7→ xα ln(1 + xβ ).
Z
36. Existe-t-il un polynôme P tel que
+∞
p
3
x3 + x −
p
P (x) dx converge ?
0
37. TPE. Soit f : [0, +∞[→
Z R une fonction continue et de carré intégrable sur [0, +∞[. Pour
1 x
x > 0, on pose g(x) =
f (t) dt
x 0
a) Peut-on prolonger g par continuité en 0 ? Si oui, avec quelle valeur de g(0) ?
Z b
Z b
2
2
2
2
g(t) dt = ag(a) −bg(b) +2
f (t)g(t) dt.
b) Soit (a, b) ∈ R avec 0 < a < b. Montrer
a
a
6
Revue de la filière Mathématiques
Z
c) En déduire l’inégalité
b
g(t)2 dt 6 4
0
Z
b
f (t)2 dt.
0
d) La fonction g 2 est-elle intégrable sur [0, +∞[ ?
38. Saint-Cyr. Donner une suite de fonctions continues de [0, 1] dans R convergeant simplement sur [0, 1] vers une fonction non bornée.
39. TPE. Montrer que
+∞
X
x
(−1)n−1 ln 1 +
→ ln(2).
x
n x→0+
n=1
x
. Étudier la convergence simple
(1 + n2 x)2X
X
des séries de fonctions
un et
u0n .
40. Navale. Soit, pour n ∈ N, un : x ∈ R+∗ 7→
et la convergence uniforme sur R+∗
41. TPE. a) Montrer, pour t ∈ [0, 1] : 0 6 ln(1 + t/2) 6 t/2 et −t ln 2 6 ln(1 − t/2) 6 0.
b) On définit
une suite
de fonctions (fn ) sur ] − 1, 1[ par f0 : x 7→ x et, pour n ∈ N, fn+1 :
1
x 7→ ln 1 − fn (x) . Montrer que cette suite est bien définie et étudier la convergence de
X 2
la série
fn .
42. IMT. Soit f : x 7→
+∞
X
1
.
sh(nx)
n=0
a) Déterminer le domaine de définition de f . Étudier la continuité de f .
b) Trouver la limite puis un équivalent de f (x) quand x → +∞.
c) Trouver la limite de f en 0.
43. TPE. Existence et continuité de la fonction f définie sur R+∗ par f (x) =
+∞ nx
X
x
n=0
n
.
+∞
X
1
.
nx
n=1
Quel est le domaine de définition de ζ ?
Montrer que ζ est continue sur ]1, +∞[.
Montrer que ζ est de classe C 1 , puis de classe C ∞ .
Étudier la convexité de ζ.
44. IMT. Soit ζ : x 7→
a)
b)
c)
d)
45. IMT. a) Donner le développement en série entière de la fonction Arctan en 0.
+∞
X
(−1)k √
( 2 − 1)2k+1 .
b) Montrer que π = 8
2k + 1
k=0
46. TPE. Soient (an )n>0 et (bn )n>0 définies par a0 = 1, b0 = 0 et, pour tout n ∈ N,
an+1 = −an − 2bn et bn+1 = an + 3bn .
Revue de la filière Mathématiques
7
an n
a) Déterminer les rayons de convergence des deux séries entières de termes généraux
x
n!
bn
et xn .
n!
+∞
+∞
X
an n X bn n
x et
x lorsque cela a un sens.
b) Calculer
n!
n!
n=0
n=0
47. IMT. Soient f : z 7→
+∞
X
an z n une série entière de rayon de convergence infini.
n=0
Z
+
2π
f (reit )e−ipt dt = 2πap rp .
a) Soient r ∈ R et p ∈ N. Montrer
0
b) Montrer que si f est bornée alors f est constante.
Z
48. CCP. Déterminer lim
n→+∞
1
ln(x) ln(1 − xn ) dx.
0
Z
π/4
tann t dt.
49. CCP. On note (un ) la suite définie par un =
0
a) Montrer la convergence de la suite et déterminer sa limite. Déterminer la nature de la série
de terme général (−1)n un .
1
1
− un . Montrer que un est équivalente en l’infini à
.
b) Montrer que un+2 =
n+1
2n
Z 1
1 + nx
50. ENSEA. Pour n ∈ N, on pose an =
dx. Étudier la convergence de la suite
n
0 (1 + x)
(an ) de deux façons différentes.
Z
1
dt
1
+
tn
0
a) Déterminer la limite A de (An ) quand n tend vers +∞.
b) Déterminer un équivalent de A − An quand n tend versX
+∞.
c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
ln(An )z n .
51. ENSEA. On pose, pour n ∈ N, An =
1
2
2
e−x (t +1)
52. Navale. Soient G : x ∈ R 7→
dt et F : x ∈ R 7→
t2 + 1
0
Z +∞
2
G(x) en fonction de F (x). En déduire la valeur de
e−u du.
Z
Z
x
2
e−u du. Exprimer
0
0
+∞
2
e−xt
dt.
1 + t2
0
a) Montrer que G est continue sur R+ et de classe C 1 sur R+∗ .
b) Déterminer la limite de G en +∞. Z
Z +∞
+∞
2
2
1
e−t dt et en déduire la valeur de
e−t dt.
c) Montrer que G(x) − G0 (x) = √
x 0
0
Z
53. TPE. On définit la fonction G par G(x) =
8
Revue de la filière Mathématiques
+∞
e−2t
dt.
x+t
0
a) Étudier l’existence et la continuité de F sur R+∗ .
b) Déterminer la limite éventuelle de x F (x) quand x → +∞.
Z
54. IMT. Soit F : x 7→
Z
π/2
cos t
dt.
t
+x
0
a) Montrer que F est bien définie et continue.
Z
Z π/2
1 π/2
cos t
dt−
b) On pose G(x) =
cos t dt. Montrer que G(x) = O(1/x2 ) quand
t+x
x 0
0
x → +∞. En déduire un équivalent de F (x) quand x tend vers +∞.
c) Donner un équivalent de F en 0+ .
55. IMT. Pour x > 0, on pose F (x) =
56. Saint-Cyr. On rappelle que ζ(2) =
π2
. Calculer
6
Z
0
1
ln(1 + t)
dt.
t
Z +∞
Z +∞ x−1
+∞
X
1
t
x−1 −t
57. TPE. Pour x > 1, montrer l’égalité
dt.
t
e dt =
x
t−1
n
e
0
0
n=1
58. IMT. Soient λ > 1 et fλ : x ∈ R+ 7→
a) Montrer que fλ est bornée.
2 sh(x)
.
eλx
Z
+∞
b) On suppose λ > 1. Montrer que fλ est intégrable et exprimer
fλ (x) dx comme
0
somme de série.
59. ICNA. a) Montrer que la fonction t 7→ et ln(t) est intégrable sur ]0, 1[.
Z 1
+∞
X
1
.
b) Montrer que
et ln t dt = −
n
×
n!
0
n=1
60. CCP. Soit (E) l’équation différentielle x2 y 00 + 4xy 0 + (2 − x2 )y = 1.
a) Trouver la solution générale de (E) sur R+∗ et R−∗ à l’aide du changement de fonction
z = x2 y.
b) Pour une solution de (E) sur R, calculer la valeur en 0. Donner le développement en série
ch x − 1
sur R∗ .
entière de x 7→
x2
e) Montrer que la fonction précédente se prolonge en une solution de (E) sur R.
61. TPE. a) Trouver les solutions de l’équation différentielle y 00 + y = cos(nx).
b) Soit (an )n∈N une suite réelle. On suppose que la série de terme général an est absolument
+∞
X
convergente. Trouver les solutions de y 00 + y =
an cos(nx).
n=0
62. TPE. Rechercher les extrema locaux et globaux de f : (x, y) ∈ R2 7→ x4 + y 3 − 3y − 2.
Revue de la filière Mathématiques
9
63. TPE. Soit f : (x, y) 7→ x4 + y 4 − 2(x − y)2 . Trouver les extrema locaux de f .
64. TPE. Soit (S) le système différentiel 2x0 + y 0 − 3x − y = t, x0 + y 0 − 4x − y = et .
Écrire (S) sous la forme X 0 = AX + B, où X est une matrice colonne. Résoudre le système
65. TPE. Résoudre le système différentiel (2x0 = 5x + y − z, 2y 0 = x + 5y − z, z 0 = 2z) .
66. IMT. Résoudre le système différentiel (x0 = y + z, y 0 = x, z 0 = x + y + z).
Probabilités
67. CCP. On considère un fumeur qui désire arrêter de fumer. Pour n ∈ N∗ , on note Fn
l’événement : « le fumeur fume le jour n » et pn = P (Fn ). Lorsque le fumeur fume un
certain jour, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité 1/4. S’il ne fume pas un
certain jour, il fume le lendemain avec la probabilité 1/2.
a) Traduire ces hypothèses en termes de probabilité. Trouver une relation de récurrence
vérifiée par (pn ). En déduire une expression de pn et la limite de (pn ).
b) On suppose que p1 = 11/12. On fait de plus les deux hypothèses supplémentaires suivantes. Si le fumeur fume le premier jour, il fume les deux jours suivants avec une probabilité
de 1/2. S’il fume le premier jour, il fume le troisième jour avec une probabilité de 1/4. Calculer la probabilité que le fumeur fume le premier et le troisième jour, la probabilité qu’il
fume les trois premiers jours, la probabilité qu’il fume l’un des trois premiers jours.
68. ISUP. On a un QCM à n questions avec 4 choix possibles pour chaque question. Pour
chaque question on a une probabilité p de connaître la réponse et quand on la connaît on
répond juste. Quand on ne connaît pas la réponse, on répond au hasard. On note X la variable
aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses obtenues en connaissant la réponse, et
Y la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au
hasard. Trouver la loi de Z = X + Y .
69. TPE. On dispose d’un dé truqué à 6 faces tel que la probabilité de tomber sur chaque face
est proportionnelle au chiffre sur lequel le dé tombe. On note X la variable aléatoire donnant
le chiffre tiré. Calculer la loi de X et son espérance.
70. Navale. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que, pour n ∈ N,
n
n
X
X
k P (X = k) =
P (X > k) − (n + 1)P (X > n). En déduire une nouvelle expression
k=0
k=0
de E(X). Montrer que les séries de termes généraux k P (X = k) et P (X > k) sont de
même nature.
71. ENSEA. a) Soit X une variable aléatoire réelle et bornée. Montrer, pour d ∈ R,
E(etX)
P (X > d) 6 inf
.
t>0
etd
b) Soit p ∈]0, 1[. Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p). Que donne
l’inégalité précédente pour Xn et d = αn ?
10
Revue de la filière Mathématiques
72. IMT. Soit (Xn )n>1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de
Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Pour n ∈ N∗ , on note Tn la variable aléatoire donnant le
rang du nième succès.
a) Expliciter la loi de T1 .
b) Déterminer la loi de Tn .
73. ISUP. On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y sur un même espace probabilisé, ne prenant chacune que deux valeurs. Montrer que X et Y sont indépendantes si et
seulement si leur covariance cov(X, Y ) est nulle.
74. Saint-Cyr. Soient p dans ]0, 1[, X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la
loi G(p), U = max{X, Y }, V = min{X, Y }.
a) Déterminer les lois de U, V , (U, V ).
b) Déterminer la loi de U + V .
c) Calculer E(U + V ).
75. IMT. Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent les lois binomiales B(n, p)
et B(n0 , p0 ). À quelle condition X + Y suit-elle une loi binomiale ? À quelle condition supplémentaire n − X + Y suit-elle aussi une loi binomiale ?
76. ISUP. Soient p ∈]0, 1[ et (Xn ) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi donnée par Xi (Ω) = {−1, 1}, P (Xi = 1) = p et P (Xi = −1) = 1 − p.
n
Y
On pose Zn =
Xi . Calculer la loi de Zn .
i=1
77. TPE. Soit une suite (Xn ) de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une
même loi de Bernoulli de paramètre α ∈]0, 1[. Soient p ∈ N∗ et s1 , . . . , sp ∈ {0, 1}. Soit
Bn = ω ∈ Ω, Xnp+1 (ω) = s1 , . . . , X(n+1)p (ω) = sp .
a) Montrer que les Bn sont mutuellement indépendants.
\[ b) Déterminer l’événement contraire de
Bi .
\k∈N i>k
c) Montrer que, pour tout k ∈ N, P
Bi = 0.
d) En déduire que P
\[
k∈N
Bi
i>k
= 1 et interpréter le résultat.
i>k
78. CCP. Soient X et Y deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant une même loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. On définit Z = X/Y .
a) Justifier Z(Ω) ⊂ Q+∗ . Soit r ∈ Q+∗ un rationnel d’écriture irréductible r = a/b. Montrer
+∞
X
que P (Z = r) =
P (X = ka, Y = kb). Calculer E(Z).
k=1
b) Justifier E(Z) = E(X) E(1/Y ). Calculer E(X), E(1/Y ) et en déduire E(Z).
c) Justifier l’inégalité ln x < x − 1 pour x > 0 et x 6= 1. En déduire E(Z) > 1. Que dire de
ce résultat ?
Revue de la filière Mathématiques
11
Autres Écoles - PSI
Algèbre
79. ENSAM. Soit P un polynôme à coefficients réels.
a) On suppose que, pour tout x ∈ R, P (x) + P 0 (x) > 0. Montrer que P (x) > 0 pour tout
x ∈ R.
b) On suppose maintenant que, pour tout x ∈ R, P (x) − P 00 (x) > 0. Montrer que P (x) > 0
pour tout x ∈ R.
c) On suppose ici que, pour tout x ∈ R, P (x) − P 0 (x) − P 00 (x) + P 000 (x) > 0. Peut-on dire
que P (x) > 0 pour tout x ∈ R ?
80. IMT. a) Soient A et B deux matrices de Mn (R). Montrer que, si A ou B est inversible
alors A + tB est inversible pour tout réel t, sauf un nombre fini de valeurs de t.
b) Soient A = (a1 , . . . , an ) et B = (b1 , . . . , bn ) deux familles de vecteurs de Rn . Montrer
que, si A ou B est libre alors la famille C = (a1 + tb1 , · · · , an + tbn ) est libre pour tout réel
t, sauf un nombre fini de valeurs de t.
81. Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. On suppose que, pour tout
vecteur x de E, x et f (x) sont colinéaires. Montrer que : ∃λ ∈ K, ∀ x ∈ E, f (x) = λx.

1 − 2a
82. CCP. On considère la matrice M (a) = a
a
a
1 − 2a
a

a
a  de M3 (R).
1 − 2a
a) Montrer que, pour tous a, b ∈ R, M (a) M (b) = M (a + b − 3ab).
b) À quelle(s) condition(s) la matrice M (a) est-elle inversible ?
c) Trouver une suite (un ) telle que M (a)n = M (un ) pour tout n ∈ N.
83. On considère l’espace vectoriel R3 muni de la base canonique B. On note P le plan
y
z
d’équation x + y + z = 0, D la droite d’équations x =
= , et p la projection sur P
3
2
parallèlement à D.
a) Montrer que P ⊕ D = R3 .
b) Soit u un vecteur de R3 de coordonnées (x, y, z) dans B. Calculer p(u) et déterminer la
matrice de p dans B.
84. IMT. Soient E est un espace vectoriel de dimension finie, p et q des projecteurs de E.
Montrer : Ker p = Ker q ⇐⇒ p ◦ q = p et q ◦ p = q.

0
85. TPE. Soit A = 1
1
1
0
1

0
1 . Montrer que pour tout entier n > 1, An est combinaison
1
linéaire de A et A2 . Calculer An .

5
86. Soit A =2
1
1
4
−1

−1
−2.
3
12
Revue de la filière Mathématiques
a) Montrer que A est diagonalisable.
b) Calculer An .


un+1 = 5un + vn − wn
c) Soient u0 = v0 = w0 = 1 et ∀ n ∈ N, vn+1 = 2un + 4vn − 2wn


wn+1 = un − vn + 3wn
Pour n ∈ N, calculer un , vn , wn .

1
87. CCP. Soit A = 1
−1

2
1 .
−2
0
1
0
a) Diagonaliser A (donner P ∈ GL3 (R) et D diagonale telles que A = P DP −1 ).
b) Soit (α, β) ∈ R2 . La matrice αA + βIn est-elle diagonalisable ?
88. CCP. Soient n ∈ N∗ , E un espace vectoriel de dimension n, x0 ∈ E non nul et φ une
forme linéaire non identiquement nulle sur E. On définit u sur E par u(x) = x + φ(x)x0 .
a) Montrer que u est un endomorphisme de E.
b) Montrer que 1 est une valeur propre de u et déterminer l’espace propre associé.
c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que u soit diagonalisable. Déterminer son spectre et ses vecteurs propres.
89. IMT. Soit E = R3 [X]. Pour tout P ∈ E, on pose d(P ) = P 0 .
a) Montrer que d est un endomorphisme de E.
b) Trouver le noyau et l’image de d.
c) L’endomorphisme d est-il diagonalisable ?
90. IMT. Soit l’application u : P ∈ Rn [X] 7→ P 0 − XP 00
a) Monter que u est un endomorphisme de Rn [X].
b) Trouver la seule valeur propre possible λ de u.
c) L’endomorphisme u est-il diagonalisable ? inversible ?
d) Calculer le sous espace propre de λ.
91. On définit l’application g par : ∀ P ∈ Rn [X], g(P ) = n2 XP − (X 2 + X)P 0 − X 3 P 00 .
a) Montrer que g est un endomorphisme de Rn [X].
b) Montrer que g est diagonalisable.
c) L’application g est-elle inversible ?
92. CCP. Soient E un espace vectoriel 
de dimension3 muni d’une base B et f l’endomor1
1
phisme dont la matrice dans B est A =−1 3
−2
2
−1
−3.
−2
2
a) Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Ker(f − 2 IdE ).
b) Donner un élément de Ker(f 2 ) \ Ker(f ).

0
c) Montrer qu’il existe une base B 0 de E telle que MatB0 (f ) = 0
0
1
0
0

0
0.
2
Revue de la filière Mathématiques
13
d) Soit g ∈ L(E) tel que g 2 = f . Montrer que Ker(f 2 ) est stable par g. Que peut-on en
déduire ?
93. Navale. Soit M une matrice de M3 (C) telle que M soit semblable à 2M .
a) Quelles sont les valeurs propres de M ? Montrer que M est semblable à une matrice
triangulaire supérieure à diagonale nulle.


0
0
0
b) On suppose M de rang 1. Montrer qu’elle est semblable à 0 0 1 .
0

1
94. IMT. Soient a ∈ R et A =0
0
−1
2
0
0
0

a
0. Déterminer le rang de A. La matrice A est-elle
a
diagonalisable ? Pour a = 1, calculer An .

1
95. IMT. Soient A = 0
−1
0
2
0

−1
0  et f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à
1
A.
a) Trouver les valeurs propres de f . Est-il diagonalisable ?
b) Soit (a, b) ∈ R2 . Trouver les valeurs propres de g = af + b id.
c) À quelles conditions sur (a, b) l’endomorphisme g est-il bijectif ?
x2
3

96. ENSEA. Soient (x, y, z) ∈ C \ {0} et M = xy
xz

xy
y2
yz

xz
yz .
z2
a) Montrer qu’il existe C ∈ M3,1 (C) tel que M = CC T .
b) Déterminer le rang de M .

a
c) Montrer que M est semblable à une matrice de la forme N = b
c
0
0
0

0
0 avec (a, b, c) 6=
0
(0, 0, 0). Expliciter a en fonction de x, y et z.
d) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable.

a
97. Soient (a, b, c) ∈ C , M = c
b
3
c
a+b
c


b
0
c  et K = 1
a
0
1
0
1

0
1 .
0
a) Diagonaliser K.
b) Exprimer M à l’aide des puissances de K.
c) Montrer que M est diagonalisable.

0
1
0

98. ENSEA. Soit A = 
3 0
0
3
1
0
0
0
2
2
0

0
0
. La matrice A est elle diagonalisable ? Déterminer la
1
3
limite de An quand n tend vers l’infini.
14
Revue de la filière Mathématiques
99. IMT. Soient n > 3 et la matrice C de taille n dont la première colonne, la première et la
dernière ligne sont constituées de 1 et le reste de 0.
a) Calculer le rang de C, le noyau de C et l’image de C. Qu’en déduit-on sur les valeurs
propres ?
b) Calculer C 2 . Montrer que si a est valeur propre de C alors a2 est valeur propre de C 2 .
c) En déduire les valeurs propres de C.

1
2

100. CCP. Soient n un entier pair supérieur ou égal à 2 et A =
3
.
 ..
n
n
n−1
n−2
..
.
1
1
2
3
..
.
n
···
···
···
···

n
n − 1

n − 2
.
.. 
. 
1
Déterminer le rang de A. Montrer que A est diagonalisable et préciser ses éléments propres.
101. Soit A ∈ M6 (R) inversible et vérifiant A3 − 3A2 + 2A = 0 ainsi que tr(A) = 8.
a) Montrer que A est diagonalisable.
b) Que peut-on dire sur les valeurs propres de A ?
c) Donner une matrice diagonale semblable à A.
d) Déterminer l’ensemble des polynômes annulateurs de A.
a b
d 2b
102. CCP. Soit f : M2 (R) → M2 (R), M =
7→
.
c d
2c a
a) Montrer que f est un endomorphisme de M2 (R).
b) Déterminer les éléments propres de f .
c) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? est-il inversible ?
103. CCP. Soit φ : M ∈ Mn (C) 7→ M + tr(M )In .
a) Montrer que φ est un endomorphisme de Mn (C).
b) Trouver le noyau et le rang de φ.
c) Trouver un polynôme annulateur de φ de degré 2.
d) L’endomorphisme φ est-il diagonalisable ?
e) L’endomorphisme φ est-il inversible ? Si oui, trouver son inverse.
104. IMT. Soit f : R[X] → R[X], P 7→ P − P 0 .
a) Montrer que l’endomorphisme f est bijectif.
b) Est-il diagonalisable ?
c) Soient g un endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel E et p un entier tel que g p = 0.
Montrer que idE −g est bijectif et que (idE −g)−1 = idE +g + · · · + g p−1 .
105. CCP. Soit P (X) = X n −
n−1
X
αi X i avec α0 > 0 et αi > 0 pour 1 6 i < n.
i=0
a) Montrer que P admet une unique racine sur R+∗ . Ind. Considérer P (X)/X n .
b) Soit M ∈ Mn (R) définie par : Mi,1 = i pour 1 6 i 6 n, Mi,i+1 = 1 pour 1 6 i < n, et
tous les autres coefficients nuls. Montrer que M admet une unique valeur propre strictement
positive.
Revue de la filière Mathématiques
15
106. IMT. Soient E est un espace vectoriel de dimension finie et s est une symétrie vectorielle.
1
On pose pour u ∈ L(E), ϕ(u) = (s ◦ u + u ◦ s).
2
a) Montrer que ϕ est un endomorphisme de L(E)
b) Calculer ϕ3 et en déduire un polynôme annulateur de ϕ.
c) L’endomorphisme ϕ est-il diagonalisable ?
107. ENSAM. Pour tout P ∈ Rn [X], on définit U (P ) : x 7→ ex
Z
+∞
e−t P (t) dt.
x
a) Montrer que U est un endomorphisme de Rn [X].
b) Cet endomorphisme est-il diagonalisable ? inversible ? Si oui, déterminer son inverse.
108. TPE. Soit A ∈ Mn (R) telle que A3 = A + I. Montrer que A est inversible, puis que
det(A) > 0.
109. CCP. Soit M ∈ Mn (C) vérifiant M 2 + tM = In .
a) On suppose que M est symétrique. Montrer que M est diagonalisable puis prouver que
tr(M ) det(M ) 6= 0.
b) Montrer que M est diagonalisable même si elle n’est pas symétrique.
c) Montrer que M est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de M .
110. a) Montrer que toute matrice de Mn (C) peut se décomposer comme somme d’une
matrice triangulaire supérieure et d’une matrice triangulaire inférieure.
b) Montrer qu’on peut choisir ces deux matrices inversibles.
c) Montrer que toute matrice de Mn (C) peut se décomposer comme somme de deux matrices diagonalisables.
d) Montrer que toute matrice triangulaire Mn (C) est limite d’une suite de matrices inversibles.
111. TPE. a) Soit P ∈ GLn (R). La matrice Q =
P
−P
P
P
est-elle inversible ? Si oui,
donner son inverse.
b) Soit A ∈ Mn (R) une matricepossédant
n valeurs propres positives distinctes. Donner le
A
. La matrice B est-elle diagonalisable ?
0
!
(n + 1)In
En
c) Soient En = diag(1, 2, ..., n) et Kn =
. Calculer det(Kn ).
En
(n + 1)In
polynôme caractéristique de B =
0
A
112. IMT. Soit A ∈ Mn (R) vérifiant 3A3 = A2 + A + In .
a) La matrice A est-elle inversible ? Si oui, donner A−1 .
b) Est-elle diagonalisable ?
113. CCP. a) Soient A et B dans Mn (C) ayant au moins une valeur propre commune.
i) Montrer qu’il existe α ∈ C et X, Y ∈ Cn non nuls, tels que tAX = αX et BY = αY .
En déduire qu’il existe M ∈Mn (C)
que M A = BM .
non nulle
telle 1 2
3 1
ii) Trouver M pour A =
et B =
.
2 1
0 1
16
Revue de la filière Mathématiques
b) On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient A, B, M dans Mn (C) telles que M A =
BM .
i) Montrer que si M est inversible alors A et B ont une valeur propre commune.
ii) Montrer que pour tout P ∈ C[X] tel que P (0) = 0, on a M P (A) = P (B)M .
iii) On suppose M 6= 0. Montrer que A et B ont au moins une valeur propre commune.
A C
114. CCP. Soient A, B, C ∈ Mn (C) et M =
.
0 B
a) Soient k ∈ N et P ∈ C[X]. Déterminer les blocs diagonaux de M k et P (M ).
b) On suppose que Sp(A) = {λ} et Sp(B) = {µ}, avec λ 6= µ. Donner une condition
nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable.
c) Même question dans le cas où λ = µ.
115. CCP. Pour P, Q ∈ Rn [X], on pose φ(P, Q) =
n
X
P (k) Q(k).
k=0
a) Montrer que φ est un produit scalaire.
b) Trouver une base orthonormale de R3 [X] pour ce produit scalaire.
116. CCP. Sur Rn [X] on définit l’application (P, Q) 7→ hP, Qi =
n
X
P (k) (1) Q(k) (1).
k=0
a) Montrer que c’est un produit scalaire.
b) Montrer que l’ensemble E = {P ∈ Rn [X], P (1) = 0} est un sous-espace vectoriel de
Rn [X] et donner sa dimension.
c) Calculer d(1, E).
Z
117. CCP. Pour P et Q dans R[X], on pose (P |Q) =
+∞
P (t) Q(t)e−t dt.
0
a) Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].
Z +∞
b) Déterminer min 2
(t2 − at − b)2 e−t dt.
(a,b)∈R
0
118. CCP. Pour A = (ai,j )16i,j6n X
et B = (bi,j )16i,j6n matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, on pose ϕ(A, B) =
ai,j bi,j .
16i,j6n
a) Montrer que ϕ est un produit scalaire sur Mn (R).
b) Soit H l’ensemble des matrices de Mn (R) dont la somme des coefficients est nulle. Soit
A une matrice de Mn (R). Calculer la distance d(A, H).
119. TPE. Soit E un espace euclidien de dimension n > 2, dont le produit scalaire est noté
(·|·). Soient F = (x1 , ..., xn ) et G = (y1 , ..., yn ) deux familles de vecteurs de E telles que :
∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , (xi |xj ) = (yi |yj ).
a) Montrer que F est libre si et seulement si G est libre.
b) Montrer que dim Vect(F) = dim Vect(G).
Revue de la filière Mathématiques
17
120. CCP. Soit (E, h , i) un espace euclidien de dimension n et B = (e1 , ..., en ) une base
orthonormale de E. Soit f ∈ GL(E) un automorphisme tel que : ∀(x, y) ∈ E 2 , hx, yi = 0
⇒ hf (x), f (y)i = 0.
a) Que dire de la famille B 0 = (f (e1 ), ..., f (en )) ?
b) En calculant hf (ei ) + f (ej ), f (ei ) − f (ej )i de deux façons, montrer qu’il existe a > 0
tel que kf (ei )k2 = a2 pour tout i. Que dire de la famille a1 B 0 ?
121. CCP. Soit E = C 1 ([0, 1]). Pour f, g ∈ E, on pose hf, gi =
1
Z
(f g +f 0 g 0 ). On considère
0
les sous-espaces V = {f ∈ C 2 ([0, 1]), f 00 = f }, W = {f ∈ E, f (0) = f (1) = 0}.
a) Montrer que la famille (ch, sh) est une base de V .
b) Soient f ∈ V et g ∈ E. Montrer que hf, gi = f 0 (1)g(1) − f 0 (0)g(0).
c) Soient f ∈ V et g ∈ W . Montrer que hf, gi = 0.
d) Soit f ∈ E tel que f (0) = 0, f (1) = ch 1. Calculer hf, chi, hf, shi, kchk2 et kshk2 . En
déduire le projeté orthogonal de f sur V .

0
122. CCP. Soit A =−a
−b
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a
0
−c

b
c ∈ M3 (R). On pose B = tAA.
0
Montrer que B n’est pas inversible.
Montrer que B est diagonalisable.
Montrer que 0 ∈ Sp(B) et que Sp(B) ⊂ R+ .
La matrice A est-elle orthogonale ?
Montrer que A et B commutent.
Montrer que si λ ∈ Sp(A) alors −λ ∈ Sp(A).
123. Soient (A, C) ∈ S2 (R)2 , B ∈ A2 (R) et M =
A
B
−B
C
.
a) Montrer que M est diagonalisable dans M4 (R).
b) On prend ici B = 0. Trouver une base de vecteurs propres de M exprimée à partir des
vecteurs propres de A et de C.
c) On suppose que G ∈ M2 (R) et E ∈ GL
2 (R). Montrer que
rg(EG) = rg(GE) = rg(G).
d) On suppose A inversible et on note P =
I2
0
A−1 B
I2
. Calculer M P .
e) En déduire le rang de M .
124. ENSAM. L’espace R3 est muni de sa structure euclidienne orientée canonique. Soit ω un
vecteur non nul de R3 et f : R3 → R3 , x 7→ ω ∧ x.
a) Montrer que f est un endomorphisme et que, pour tous x, y ∈ R3 , hf (x), yi = − hx, f (y)i.
b) Trouver un polynôme annulateur de f . Est-il diagonalisable ?
c) Montrer que l’endomorphisme (f − IdR3 ) ◦ (f + IdR3 )−1 est bien défini et déterminer ses
propriétés géométriques.
125. CCP. Soient E un espace euclidien et u ∈ E. Déterminer les réels α tels que x 7→
α hu, xi u − x soit une isométrie de E.
18
Revue de la filière Mathématiques
126. Soit A une matrice réelle symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement
positives. Soit B ∈ Mn,m (R) de rang m.
a) Montrer que : ∀ X ∈ Mn,1 (R) \ {0}, t XAX > 0
b) Justifier que m 6 n. Que peut-on dire de l’application linéaire u canoniquement associée
àB?
A B
c) Montrer que la matrice par blocs C =
est inversible.
t
B 0
−1
d) Calculer C lorsque m = n.
127. TPE. Soient E un espace euclidien de dimension 3, H un plan vectoriel de E et u 6= 0
un vecteur orthogonal à H. Soient f un endomorphisme orthogonal de E et s la symétrie
orthogonale par rapport à H.
a) Montrer que f ◦ s ◦ f −1 est une symétrie orthogonale. Préciser ses caractéristiques.
b) Montrer que f commute avec s si et seulement si u est un vecteur propre de f .
c) En déduire l’ensemble des endomorphismes orthogonaux commutant avec tous les éléments de O(E).
128. ENSAM. Quel est le cardinal de On (R) ∩ Mn (Z) ?
129. CCP. Soit A une matrice symétrique réelle. On suppose qu’il existe un entier k ∈ N∗ tel
que Ak = In . Montrer que A2 = In .
Analyse
130. TPE. Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n et de diagonale λ1 , . . . , λn .
On pose, pour p ∈ N∗ , Tp = T + diag(1/p, 2/p, . . . , n/p).
a) Montrer qu’à partir d’un certain rang, Tp a n valeurs propres distinctes.
b) En déduire que toute matrice de Mn (C) est limite d’une suite de matrices diagonalisables.
1
1
+ ··· +
− α ln(n). Donner une condition
3
2n + 1
nécessaire et suffisante sur α pour que (un ) converge.
131. Soit, pour n ∈ N∗ , un = 1 +
132. TPE. On définit une suite (un ) par u0 > 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = un + 1/un .
a) Montrer que un diverge vers +∞.
1
1
, en déduire que 2 6 u2n+1 − u2n 6 2 + un+1 − un .
b) Montrer que 2 6
un √un
c) Montrer que un ∼ 2n.
133. CCP. Montrer, pour n ∈ N, l’existence et l’unicité d’un réel xn tel que xn − e−xn =
n. Montrer que xn ∈ [n, n + 1]. En déduire un équivalent de xn puis un développement
asymptotique à deux termes de xn , lorsque n → +∞.
2
134.
Donner une√condition
nécessaires sur (a, b) ∈ R pour que la série de terme général
√ IMT.√
n + a n + 1 + b n + 2 soit convergente.
Revue de la filière Mathématiques
135. IMT. Prouver la convergence et calculer
+∞
X
ln 1 +
n=1
136. TPE. Nature de la série de terme général un = p
19
2
.
(n + 3)n
(−1)n
na + (−1)n
où a ∈ R+∗ .
137. CCP. Démontrer que la série de terme général un = ln(2n + (−1)n ) − ln(2n) est
convergente, mais pas absolument convergente.
138. IMT. Soit (un ) la suite définie par u0 ∈ R et, pour n ∈ N, un+1 =
e−un
.
n+1
a) Déterminer la limite de (un ) et de (nun ).
b) Nature des séries de termes généraux un et (−1)n un ?
1
un .
2
a) Montrer que la suite (un ) est bien définie et qu’elle est unique.
b) Montrer que (un ) converge et trouver sa limite.
c) Montrer que la série de terme général un converge.
d) À l’aide de la série de terme général ln(2n+1 un+1 ) − ln(2n un ), montrer qu’il existe une
c
constante c > 0 telle que un ∼ n .
2
139. CCP. On pose u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 eun+1 =
140. IMT. Soient u0 ∈]0, 1[ et, pour n > 0, un+1 =
général un converge.
un + u2n
. Montrer que la série de terme
2
141. CCP. a) Soit f ∈ C 1 (R+ , R+∗ ). On suppose que f 0 (x)/f (x) tend vers ` < 0 quand x
tend vers +∞. Quelle est la nature de la série de terme général f (n) ?
b) Soit f ∈ C 1 (R+ , R+∗ ). On suppose qu’il existe a > 0 tel que f 0 (x)/f (x) ∼ a/x quand
x tend vers +∞. Quelle est la nature de la série de terme général f (n) ?
142. CCP. On s’intéresse à la suite définie par u0 ∈]0, π/2[ et, pour n ∈ N, un+1 = sin(un ).
a) Établir la convergence de cette suite et déterminer
sa limite.
X
3
b) En considérant un+1 − un montrer que
un converge.
X
un+1
c) En considérant ln
montrer que
u2n diverge.
un
143. CCP. Pour α > 1, on pose Sn =
n
+∞
X
X
1
1
et
R
=
. Étudier la convergence de
n
kα
kα
k=1
k=n+1
la série de terme général Rn /Sn .
144. ENSEA. Résoudre l’équation 3x + 4x = 5x dans R.
p
145. CCP. Résoudre l’équation Arcsin(x) + Arcsin 1 − x2 = π/2.
20
Revue de la filière Mathématiques
146. IMT. Montrer à l’aide de l’inégalité des accroissements finis que :
x
∀ x ∈ R+,
6 arctan x 6 x.
1 + x2
Z 3x
cos t
147. TPE. Calculer lim
dt.
x→0 x
t
148. CCP. Soit f : x 7→ x + ln(1 + x).
a) Montrer que f définit une bijection de ] − 1, +∞[ sur un intervalle à préciser. Prouver que
la réciproque g de f est de classe C ∞ .
b) Calculer g(0) et g 0 (0). Calculer le développement limité de g à l’ordre 3 en 0.
149. CCP. Soient (a, b) ∈ R2 avec a < b et f ∈ C 0 ([a, b], R) telle que :
Z
Z b
a+b b
∀x ∈ [a, b], f (a + b − x) = f (x). Montrer que
f (t)dt. Calculer
tf (t)dt =
2
a
a
Z π
t
dt.
2
0 1 + cos t
π/2
Z
150. CCP. Soient I =
Z
π/2
ln(sin t)dt et J =
ln(cos t)dt. Montrer que I et J sont
0
0
convergentes et que I = J. Calculer I + J, en déduire I et J.
Z 1 1
dt.
151. Soit I =
t
t
0
2x + 1
a
b
c
a) Trouver trois réels a, b et c tels que : ∀x ∈ R+∗ ,
= +
+
.
x(x + 1)2
x x + 1 (x + 1)2
b) L’intégrale I converge-t-elle ?
c) Calculer I.
Z +∞ sin t
Z +∞
e
1
152. CCP. Donner la nature des intégrales I =
dt et J =
sin t sin dt.
t
t
0
0
Z
153. IMT. a) Convergence et valeur de l’intégrale
Z +∞
ln2 t
dt.
b) Convergence de l’intégrale
2
0 Z 1+t
Z +∞
1
ln2 t
ln2 t
c) Montrer :
dt
=
2
dt.
2
1 + t2
0
0 1+t
154. TPE. Soit f : x 7→ e
−x2
Z
1
tn ln2 t dt, où n ∈ N.
0
+∞
f (x)dx =
. On donne :
√
π.
−∞
a) Montrer que l’on peut écrire f (n) (x) = f (x)Pn (x) où Pn est un polynôme. Préciser le
degré et le coefficient dominant de Pn .
Z +∞
b) Existence puis calcul de
f (x)Pn (x)Pm (x)dx.
−∞
Revue de la filière Mathématiques
21
155. CCP. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (fn ) définie sur
h
1 i
x .
R par fn (x) = cos 1 +
n
n + 2 −nx2
e
.
n+1
Étudier la convergence simple de (un ) sur R. Y a-t-il convergence uniforme sur [0, +∞[ ?
sur [a, +∞[ pour a > 0 ?

 [0, 1] −→ R
n
t
.
157. Pour n ∈ N∗ , on note Gn :
et
t 7→
1−

n
et
a) Montrer que : ∀ n ∈ N∗ , ∀ t ∈ [0, 1], |G0n (t)| 6 .
nn
tet
t
∗
.
b) En déduire que : ∀ n ∈ N , ∀ t ∈ [0, 1], 1 −
et − 1 6
n
nn
Z x
t
c) On définit , pour n ∈ N∗ et x ∈ [0, 1], In (x) =
et dt. Montrer que la
1−
n
0
suite de fonctions (In ) converge simplement sur [0, 1].
d) Converge-t-elle uniformément sur [0, 1] ?
156. CCP. Pour tout n ∈ N, soit un : x 7→
158. CCP. Soit F : x 7→
+∞
X
ln 1 + e−nx . Donner le domaine de définition D de F . La
n=0
fonction F est-elle continue sur D ? Déterminer F (D).
+∞
X
x x
159. IMT. On pose : ∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ [0, 1], un (x) = ln 1 +
− et S =
un .
n
n
n=1
a) Montrer que S est de classe C 1 sur [0, 1].
b) Calculer S 0 (1).
cos(nx)
.
n!
X
a) Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la série de fonctions
un .
b) Calculer la somme S Zde cette série de fonctions.
Z
160. IMT. Soient a un réel fixé et pour n ∈ N, un : x 7→ an
2π
c) Calculer pour p ∈ N,
2π
S(x) cos(px) dx et
0
S(x) sin(px) dx
0
k
161. IMT. Soit j = e2iπ/3 . Calculer 1 + jk + j̄ pour tout k ∈ N. En déduire une expression
+∞
X
x3n
de
pour x ∈ R.
(3n)!
n=0
162. Rayon et somme de la série entière de terme général ((n2 + n + 1) xn )n .
22
Revue de la filière Mathématiques
+∞
X
n+2 n
x . Déterminer le rayon de convergence de S(x), puis en
n+1
n=0
donner une expression avec des fonctions usuelles.
163. IMT. Soit S : x 7→
n
164. On pose, pour n ∈ N, an = 2(−1) .
a) Quel est le rayon de convergence de la série entière de terme général (an xn )n ?
b) Exprimer la somme de cette série entière sur son intervalle de définition à l’aide des
fonctions usuelles.
165. ENSAM. Soient (an ) et (bn ) deux suites de réels strictement positifs telles que an ∼ bn .
+∞
X
On suppose que la série entière f (x) =
an xn a un rayon de convergence infini.
n=0
a) Quel est le rayon de convergence de la série entière g(x) =
+∞
X
bn xn ?
n=0
b) Montrer qu’il existe une suite (γn ) tendant vers 0 telle que an = bn (1 + γn ) pour tout
n ∈ N.
c) Soit p ∈ N. Justifier l’existence de vp = supn>p |γn |.
p
f (x)
X
1
bn |γn |xn + vp+1 .
− 1 6
d) Établir l’inégalité : ∀x > 0, g(x)
bp+1 xp+1 n=0
e) Montrer que f (x) ∼ g(x) lorsque x → +∞.
+∞ X
1 n+1 xn
f) Application. Trouver un équivalent au voisinage de +∞ de
1+
.
n+1
n!
n=0
166. TPE. a) Donner le développement en série entière de √
b) En déduire celui de
1
.
1−x
1
.
(1 − x)3/2
c) À l’aide d’un produit de Cauchy, montrer que
n
X
2n + 1 2n
1 2k
=
.
4k k
4n
n
k=0
n
1 + t2
167. CCP. Soit an =
dt.
2
0
a) Montrer que la suite (an ) est convergente, et déterminer sa limite.
b) Montrer que la série de terme général (−1)n an est convergente.
c)
XMontrer que : ∀n ∈ N, an > 1/(2n + 1). En déduire le rayon de convergence R de
an xn .
+∞
X
d) Soit f : x 7→
an xn . Montrer que f vérifie sur ] − R, R[ une équation différentielle
Z 1
n=0
que l’on explicitera.
Ind. Chercher une relation de récurrence entre les an .
Revue de la filière Mathématiques
168. CCP. Soient a ∈ R avec |a| < 1 et f : x 7→
+∞
X
23
sin(an x).
n=0
a) Montrer que f est définie et de classe C ∞ sur R.
1
.
b) Montrer que, pour tout k ∈ N∗ , |f k (x)| 6
1 − |a|
c) Montrer que f est développable en série entière sur R.
Z
+∞
169. TPE. Soit x > 0. Pour n ∈ N, on pose In =
x
e−t tn
dt. Justifier l’existence de In
n!
puis déterminer la limite de la suite (In ).
Z
+∞
170. TPE. Existence et valeur de lim
n→+∞
Z
0
1
171. IMT. On pose, pour n ∈ N, In =
0
a) Montrer que lim In = 0.
1
dx.
ch(x) + xn e−x
xn
dx.
1+x
n→+∞
b) Calculer I0 , I1 , In + In+1 .
n
X
(−1)k
.
c) Montrer que : ∀ n ∈ N∗ , (−1)n In = ln 2 +
k
k=1
(−1)n
d) Montrer que la série de terme général
converge et calculer sa somme.
n
Z
+∞
172. TPE. Pour p ∈ N, on pose Ip =
a)
b)
c)
d)
0
dt
.
ch2p+1 t
Justifier l’existence de Ip .
Calculer I0 .
Trouver une relation entre Ip et Ip+1 .
Calculer Ip .
Z
173. CCP. Pour n ∈ N, soit In (α) =
1
tn (1 − t)α dt.
0
a) Pour quelles valeurs de α cette suite est-elle définie ? convergente ?
b) Pour quelles valeurs de α la série de terme général In (α) est-elle convergente ? Calculer
alors la somme de la série.
Z 1
1
dx
174. ENSAM. Donner un développement asymptotique à deux termes de un =
1
+
xn
0
lorsque n → +∞.
175. CCP. Déterminer la nature des séries de termes généraux
Z n
2 2
(−1)n
e−n t dt.
0
(−1)n
n
Z
+∞
n
2
e−t dt et
24
Revue de la filière Mathématiques
Z
176. Navale. Soit x > 0. Justifier l’existence de f (x) =
0
x
e−t
p
dt. Déterminer la
t(x − t)
limite de f en +∞.
Z
+∞
dt
.
1 + t 3 + x3
0
a) Montrez que f est définie et continue sur R+ .
b) Calculez f (0). Ind. On pourra poser u = 1/t.
c) Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +∞.
177. IMT. Soit f : x 7→
+∞
Z +∞
sin t
sin t
178. On note I =
dt et F (x) =
1 − e−xt dt
t
t
0
0
a) Montrer que I est bien définie.
b) Montrer que F est définie sur [0, +∞[, que F est continue sur [0, +∞[ et que F est
dérivable sur ]0, +∞[.
c) En déduire la valeur de I.
Z 1p
179. ENSAM. On pose f (x) =
1 − t2 cos(xt)dt. Montrer que f est paire et de classe
Z
0
C 2 sur R. Montrer que f est solution de l’équation xy 00 + 3y 0 + xy = 0. Ind. Utiliser une
intégration par parties.
Z
180. On pose f (t) =
+∞
2
e−x cos(2xt) dx.
0
a) Montrer que f est définie et continue sur R.
0
b) Montrer que f est de classe C 1 sur
√ R et calculer f .
Z +∞
2
π
. Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.
c) On admet que
e−x dx =
2
0
Z
1
181. IMT. On note, x étant un réel, I(x) =
ln(t) ln(1 − tx ) dt.
0
a) Montrer que I est définie sur R+∗ .
b) Montrer que I est une fonction croissante.
Z 1
c) Calculer , pour tout a > 0,
ta ln(t) dt
0
d) En déduire une expression de I comme somme de série.
+∞
e−xt
dt.
1 + t2
0
a) Quel est le domaine de définition de f ? Calculer f (0).
b) Étudier la continuité de f .
c) Montrer que f est de classe C 2 sur R+∗ et trouver une équation différentielle vérifiée par
f.
d) Quelle est la limite de f en +∞ ?
Z
182. IMT. On considère f : x 7→
Revue de la filière Mathématiques
1
2
183. TPE. Soient g ∈ C 0 ([0, 1], R) et G : x ∈ [0, 1] 7→
Z
25
1
|x − t|g(t)dt.
0
a) Montrer que G est de classe C 2 et calculer G00 .
b) En déduire l’existence d’une fonction f telle que f 00 = g et f (0) = f (1) = 0. Y a-t-il
unicité d’une telle fonction f ?
Z 1
184. CCP. Pour tout n ∈ N, on pose un =
xn sin(πx) dx.
0
a) Montrer que la série de terme général un converge.
Z π
+∞
X
sin x
dx.
un =
b) Montrer que
x
0
n=0
1
t ln(t)2
dt
2
0 (1 − t)
a) Justifier l’existence de I.
!
+∞
+∞
X
X
1
1
b) Montrer que I = 2
−
.
n2 n=1 n3
n=1
Z
185. Soit I =
186. ENSAM.Convergence de la série
+∞
X
(−1)n
n=0
187. IMT. Pour n ∈ N, soit fn : t ∈ [0, 1] 7→
Z
π/2
cosn x dx et calcul de la somme.
0
1 + t2 n
.
2
a) Montrer que la suite (fn ) converge simplement.
Z 1
b) Montrer que la suite (an ) définie par an =
fn converge.
0
X
c) Montrer que la série
(−1)n an converge et calculer sa somme.
188. IMT. Trouver une, puis toutes les solutions développables en série entière de l’équation
x(x − 1)y 00 + 3xy 0 + y = 0.
189. Résoudre l’équation différentielle : t(t2 − 1)y 0 + 2y = t2 . Y-a-t-il des solutions définies
sur R ?
190. TPE. Soit l’équation différentielle (E) : y 00 + f (x)y = 0, où f est continue et intégrable
sur R.
a) Montrer que si y1 et y2 sont solutions de (E) alors y10 y2 − y20 y1 est constante sur R.
b) Montrer que si y est une solution de (E) bornée sur R alors y 0 (x) admet une limite finie
quand x tend vers +∞, puis montrer que cette limite est forcément nulle.
c) Montrer que (E) admet nécessairement une solution non bornée.
191. CCP. Soit λ ∈ R+∗ et E l’équation différentielle xy 0 + λy =
a) Exprimer à l’aide d’une intégrale les solutions de E sur R+∗ .
1
.
1+x
26
Revue de la filière Mathématiques
b) Montrer qu’il existe une unique solution bornée au voisinage de 0+ .
192. CCP. On considère l’équation différentielle (∗) : x(1 − x)y 00 + (1 − 3x)y 0 − y = 0.
a) Déterminer les fonctions développables en série entière solutions de (∗). Pourquoi y a-t-il
d’autres solutions ?
b) Déterminer toutes les solutions de (∗) sur R. On fera le changement de variable y(x) =
z(x)/(1 − x) et on soignera les raccords.

1
193. IMT. Soit A =0
2

2
0.
1
0
1
0
a) Justifier sans calcul que A est diagonalisable.
b) Déterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres de A.
c) Résoudre le système différentiel (x0 = x + 2z, y 0 = y, z 0 = 2x + z) .
194. CCP. Déterminer les extrema éventuels sur R2 de la fonction f : (x, y) 7→ x2 + xy +
y 2 − 5x − y.
x3 − y 3
pour (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0. La fonction f
x2 + y 2
∂2f
.
est-elle continue sur R2 ? C 1 sur R2 ? Existence et calcul de
∂y∂x
195. CCP. On pose f (x) =
196. CCP. Soit f : (x, y) ∈ [−1, 1]2 7→ y 3 x4 + ln(1 + y 4 ). Cette fonction admet-elle des
extrema globaux ? locaux ?
x3 y 2
si (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} et f (0, 0) = 0. Montrer que la
+ y2
fonction f ainsi définie est de classe C 1 sur R2 .
197. CCP. Soit f (x, y) =
x2
198. TPE. Trouver les plans tangents à la surface d’équation z 2 = xy et contenant la droite
d’équations : x = 2 et y + z = 1.
199. CCP. Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E dont les
valeurs propres sont strictement positives.
a) Montrer qu’il existe une base orthonormale (e1 , e2 , ..., en ) telle que f soit représenté dans
cette base par une matrice diagonale.
b) Montrer que, pour tout x ∈ E \ {0}, hf (x), xi > 0.
c) On suppose dorénavant que E = Rn , muni du produit scalaire canonique. Soit v ∈ Rn .
1
Pour tout x ∈ Rn , on note g(x) = hf (x), xi − hv, xi. Montrer que g est de classe C 1 et que
2
g(x + th) − g(x)
pour x, h ∈ E, on a dgx (h) = lim
.
t→0
t
d) En déduire la valeur de la différentielle de g en x appliquée aux ei et la valeur du gradient
de g.
e) Montrer que g n’admet qu’un seul point critique c que l’on précisera.
f) Montrer que g atteint au point c un minimum global. Y a-t-il d’autres extrema ?
Revue de la filière Mathématiques
27
Probabilités
200. TPE. On lance une pièce équilibrée. Soit X la variable aléatoire réelle donnant le nombre
de lancers nécessaires pour obtenir deux fois face. Calculer la loi et l’espérance de X, si elle
existe.
201. CCP. Deux joueurs jouent avec des pièces équilibrées. Ils lancent chacun n fois une
pièce. Celui qui gagne est celui qui obtient le plus grand nombre de fois pile. Quelle est la
probabilité qu’il y ait un gagnant ?
202. IMT. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique.
a) Trouver la loi de U = X/Y .
b) Calculer l’espérance de U .
c) Montrer que E(U ) > 1.
203. CCP. Soit (An ) une suite d’événements mutuellement indépendants.
a) Soient n, p ∈ N. Montrer que la probabilité qu’aucun des événements An , ..., An+p ne se
n+p
X
réalise est inférieure ou égale à exp −
P (Ak ) .
k=n
b) On suppose que la série de terme général P (An ) est divergente. Montrer qu’il est presque
impossible qu’il n’y ait qu’un nombre fini d’entiers n pour lesquels An est réalisé.
204. ENSAM. Soit T une variable aléatoire telle que T (Ω) = [[1, k]]. On considère k + 1 variables aléatoires (Xi )06i6k suivant une même loi à valeurs dans N. On suppose que toutes
ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes. On définit enfin une variable aléaT (ω)
X
toire Y par Y (ω) =
Xi (ω). Montrer que si les Xi admettent une espérance alors Y
i=0
aussi. Donner sous ces hypothèses une expression de E(Y ) en fonction de E(Xi ) et E(T ).
205. CCP. Dans un casino, une machine renvoie un entier naturel N non nul selon la loi de
1
probabilité : ∀n ∈ N∗ , P (N = n) = n . Le joueur gagne N jetons si N est pair ; il perd N
2
jetons si N est impair.
a) Quelle est la probabilité de gagner une partie ?
b) Déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire G égale au gain algébrique du
joueur.
206. CCP. On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant n boules numérotées
de 1 à n. On note Xn le rang du premier tirage où l’on obtient une boule différente de la
première boule tirée.
a) Justifier que Xn est bien une variable aléatoire discrète et donner sa loi.
b) Justifier l’existence de l’espérance de Xn et la calculer.
c) On note Yn le rang du premier tirage à l’issue duquel toutes les boules ont été tirées au
moins une fois. Donner la loi de Y2 puis celle de Y3 .
28
Revue de la filière Mathématiques
207. CCP. On donne : ∀p 6 n,
n X
k
k=p
p
n+1
=
. On dispose d’une urne contenant n
p+1
boules numérotées de 1 à n. On tire deux boules au hasard. On note X (resp. Y ) la variable
aléatoire correspondant au numéro le plus petit (resp. le plus grand) des deux boules.
a) Déterminer la loi de (X, Y ). En déduire les lois de X et de Y .
b) Calculer E(Y ), E(Y (Y − 2)) et V (Y ).
c) Montrer que n + 1 − X suit la même loi que Y . Calculer E(X) et V (X).
d) Calculer E(X(Y − 2)) et Cov(X, Y ).
208. CCP. On lance un dé à 6 faces. Les lancers sont indépendants et le dé n’est pas pipé. On
note Xk la variable aléatoire égale à la valeur obtenue au k-ième lancer.
a) Déterminer la loi de Xk et la fonction de répartition F associée à Xk .
b) On note Zn la valeur maximale obtenue au bout de n lancers. Déterminer la fonction de
répartition Fn de Zn en fonction de F .
c) Déterminer la limite de (Fn ) lorsque n tend vers l’infini. La convergence est elle uniforme ?
d) On note Yn la valeur minimale obtenue au bout de n lancers. Déterminer sa fonction de
répartition.
209. ENSAM. On considère un détecteur de particules ayant une probabilité de détection de
chaque particule égale à p ∈ ]0, 1[. On note N et S les variables aléatoires qui comptent
respectivement le nombre de particules arrivant sur le capteur et le nombre de particules
détectées. On suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ.
a) Soient s, n ∈ N. Calculer P (S = s | N = n) et P (S = s et N = n). En déduire la loi de
S.
b) Donner la loi de N − S sans calcul.
c) Les variables S et N − S sont-elles indépendantes ?
d) Même question pour S et N .
210. ENSAM. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p. On pose q = 1 − p et Y = |X1 − X2 |.
pq n
a) Calculer P (Y = 0). Soit n ∈ N. Montrer que P (X1 − X2 = n) =
. En déduire la
1+q
loi de Y .
b) Montrer que Y admet une espérance
et la calculer.
c) Montrer que E (X1 − X2 )2 = 2 V (X1 ). En déduire que Y admet une variance et la
calculer.
211. Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant
toutes une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. On note ∀ n ∈ N∗ , Yn = Xn + Xn+1 et
n
1 X
Yi
Mn =
n i=1
a) Les variables aléatoires Yn sont-elles mutuellement indépendantes ?
b) Calculer l’espérance et la variance de Mn .
c) Énoncer la loi faible des grands nombres. Peut-on l’appliquer ici ?
Revue de la filière Mathématiques
29
212. IMT. Soient X et Y deux variables aléatoires. On suppose que Y suit une loi de Poisson
de paramètre λ ∈ R+∗ et qu’il existe p ∈ [0, 1] tel que, pour tout m ∈ N, la loi conditionnelle
de X sachant Y = m est la loi binomiale de paramètres (m, p). Donner la loi de X.
213. CCP. Soit (Xn )n>1 une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que Xi
n
1X
suit une loi de Bernoulli de paramètre pi , et que
pi −→ p. Montrer que, ∀ε > 0,
n→∞
n i=1
!
n
1 X
Xi − p > ε −→ 0.
P n→∞
n
i=1
214. CCP. Soient a, n ∈ N∗ . On considère N = an clients qui s’approvisionnent chez n
fournisseurs. Chaque client choisit un fournisseur au hasard. Pour i ∈ [[1, n]], on note Xi le
nombre de clients du fournisseur i et Y le nombre de fournisseurs n’ayant aucun client.
a) Donner la loi, l’espérance et la variance de Xi .
b) Que vaut X1 + · · · + Xn ? En déduire E(Xi Xj ) et Cov(Xi , Xj ) pour i 6= j. Donner
l’expression du coefficient de corrélation linéaire de Xi et Xj .
c) Soit βi la variable aléatoire indicatrice de l’événement : « le fournisseur i n’a pas de
client ». Exprimer Y en fonction des βi . Déterminer E(Y ).
d) Calculer Cov(βi , βj ).
e) Déterminer la variance de Y .
Géométrie
215. TPE. Soit C la courbe d’équation :
x(t) = 2 cos(t) − cos(2t)
. Tracer cette courbe
y(t) = 2 sin(t) − sin(2t)
en précisant les tangentes éventuelles.
Informatique
216. ENSAM. P YTHON. a) Une année n est bissextile si n est divisible par 4 mais pas par 100,
ou si n est divisible par 400. Écrire une fonction bissextile(n) qui prend en argument une
année n et renvoie un booléen indiquant si l’année n est bissextile ou non.
b) Écrire une fonction jours(j,m,a) qui comptabilise le nombre de jours écoulés entre le
1er janvier de l’année a et la date j/m/a saisie en argument.
b) Écrire une fonction nombreDeJours(j,m,a) qui renvoie le nombre de jours écoulés
entre le 1er janvier 1970 et la date j/m/a.
d) Les horloges internes des ordinateurs étaient autrefois codées sur 32 bits, soit un décompte
de 232 − 1 secondes au maximum. Les horloges sont initialisées au 1er janvier 1970. À quelle
date un bug se produira-t-il ?
217. ENSAM. P YTHON. a) Pour un nombre entier n, que renvoie l’instruction list(str(n)) ?
b) Écrire une fonction somme qui à tout entier naturel associe la somme de ses chiffres.
c) Un nombre est dit adéquat si la somme de ses chiffres est un multiple de 10. Écrire une
fonction test qui renvoie le booléen True si le nombre est adéquat, et False sinon.
30
Revue de la filière Mathématiques
d) Écrire une fonction modification(n) qui change le chiffre des unités de n pour qu’il
soit adéquat. Si n est déjà adéquat, la fonction le renvoie sans modification.
e) Tester la fonction pour dix entiers choisis au hasard entre 10000 et 100000 grâce à la
fonction randint.
218. ENSAM. P YTHON. a) Soient p et q deux entiers, q non nul. Écrire une fonction qui
renvoie la partie entière de p/q.
b) Écrire une fonction qui prend en arguments p, q et un entier n et qui renvoie une liste
contenant les n premières décimales de p/q.
c) La partie décimale de certains nombres est périodique à partir d’un certain rang (par
exemple 12,72123123123...). Écrire une fonction d’arguments p et q, qui renvoie la partie
périodique de p/q.
d) Soit e un nombre décimal dont la partie décimale est périodique à partir d’un certain rang.
Écrire une fonction qui renvoie deux entiers p et q premiers entre eux tels que p/q = e.
219. ENSAM.P YTHON. a) Précisez concrètement ce que fait ce programme :
>> from numpy.random import rand
>> LR = rand(6)
>> LR<0.5
>> 1*(LR<0.5)
b) Créer une fonction tirer qui prend en argument un entier n et renvoie une liste de n
tirages successifs indépendants suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
c) Calculer numériquement l’espérance du nombre de tirages ayant donné un 1.
d) Créer une fonction qui prend en argument une liste seq de 0 et de 1 et renvoie le temps
d’apparition de la séquence seq, c’est-à-dire le nombre de tirages à faire pour trouver cette
séquence dans la liste des tirages. Par exemple, pour la séquence [1,0,1,1] dans la liste
[0,0,1,0,0,1,0,1,1], la fonction renvoie 8.
Autres Écoles - PC
Algèbre
220. CCP. Soit ω = exp(2iπ/7). On pose S = ω + ω 2 + ω 4 et T = ω 3 + ω 5 + ω 6 .
Calculer S + T et ST . En déduire S et T .
221. Soit n ∈ N∗ . Calculer
n
X
e2ik . En déduire la valeur de
k=0
222. CCP. Soient, pour n > 1, Pn (X) =
n
X
cos(2k).
k=0
n
X
Xi
i=0
i!
et Qn (X) = Pn2 (X) − Pn (2X). Montrer
que 0 est racine de Qn de multiplicité (n + 1).
223. CCP. a) Soit P = X 2 + 2X + 3. Montrer que les racines de P ont un module compris
entre 1 et 2.
Revue de la filière Mathématiques
31
b) Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ R[X] avec a0 > a1 > · · · > an > 0. On pose
n
X
Q = (1−X)P . Soit z ∈ C tel que Q(z) = 0. Montrer que a0 =
(ak−1 −ak )z k +an z n+1 .
k=1
En déduire que si P (z) = 0 alors |z| > 1.
c) Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ R[X] où les ai sont dans R+∗ . On pose r =
min {ak /ak+1 , 0 6 k 6 n − 1}. Montrer que les racines de P sont de module > r.
Ind. Considérer P̃ = P (rX).
224.
∈ M3 (R) telle que A2 = 0 et A 6= 0. Montrer que A est semblable à
 Soit A 
0
 0
0
0
0
0
1
0 .
0
225. IMT. Soient E = C3 , P le sous-espace d’équation x + y + z = 0, D le sous-espace
d’équation x = y/2 = z/3.
a) Les sous-espaces P et D sont-ils supplémentaires dans E ?
b) Déterminer la matrice dans la base canonique du projecteur sur P parallèlement à D.
226. Soit E un espace vectoriel de dimension n > 2. Soient f ∈ L(E) de rang 1 et a ∈ E
tels que Ker f ⊕ Vect(a) = E.
a) Montrer que Im f = Vect (f (a)).
b) Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que f 2 = λf . Déterminer les valeurs propres de f en
fonction de λ.
c) Soit H un sous-espace de E tel que E = H ⊕ Vect(a). Soit u ∈ L(E) tel que : ∀x ∈ H,
u(x) = x.
i) Montrer qu’il existe µ ∈ R tel que u(a) − µa ∈ H. En déduire que Im (u − µ id) ⊂ H.
ii) Montrer que u2 − (µ + 1)u + µ id = 0. Si µ = 1, l’endomorphisme u est-il diagonalisable ?
227. IMT. Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels que f ◦ g ◦ f = f
et g ◦ f ◦ g = g.
a) Montrer que Im(f ) et Ker(g) sont supplémentaires dans E.
b) Justifier que f (Im(g)) = Im(f ).
228. Soient E un R espace vectoriel de dimension 4, k ∈ R∗ et u ∈ L(E) tel que u2 =
−k 2 id.
a) Montrer que u ne possède pas de valeur propre réelle.
b) Soit a ∈ E \ {0}. Montrer que (a, u(a)) est libre.
c) Soient a, b dans E avec b 6∈ Vect(a, u(a)). Montrer que (a, u(a), b, u(b)) est une base de
E. Quelle est la matrice de u dans cette base ?
229. TPE. Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur K = R ou C.
a) On suppose que u et v commutent. Montrer que Ker(u) et Im(u) sont stables par v.
a) Montrer que u laisse stable toutes les droites de E si et seulement si u est une homothétie.
32
Revue de la filière Mathématiques
a b
∈ M2 (C) et M ∈ Mn (C).
c d
aM bM
a) Montrer que P =
s’écrit comme le produit de deux matrices, la seconde
cM dM
230. TPE. Soient N =
étant diagonale par blocs.
b) En déduire det(P ).
231. CCP. Soit D la matrice diagonale Diag(d1 , d2 , . . . , dn ), les dk étant deux à deux distincts. Soit µ : M ∈ Mn (R) 7→ M D − DM .
a) Montrer que µ est un endomorphisme de Mn (R).
b) Trouver Ker µ.


i 0 0
232. CCP. On considère la matrice A = 0 0 1.
0 −1 0
2
a) Calculer A . La matrice A est-elle inversible ?
b) Soit M ∈ M3 (R) telle que M 3 + M = 0 et f l’endomorphisme canoniquement associé
à M . On suppose que f est injectif.
i) Montrer que M est inversible et que M 2 = −I3 .
ii) Calculer det(M 2 ) et montrer qu’on aboutit à une absurdité.
iii) Exprimer, pour n ∈ N∗ , M n en fonction de M et M 2
233. CCP. Soient E un R-espace vectoriel, f ∈ L(E) et C(f ) = {g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f }.
a) Montrer que C(f ) est un R-espace vectoriel
b) Soit (e1 , e2 ) la base canonique de R2 . Soit x = x1 e1 + x2 e2 ∈ R2 . Donner une condition
nécessaire et suffisante pour que (e1 − x, e2 − x) soit une base de R2 .
c) Généralisation. Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn et soit x = x1 e1 + · · · + xn en
dans Rn .
i) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (e1 − x, . . . , en − x) soit une
base de Rn .
ii) Soit f l’endomorphisme de Rn tel que pour tout entier i ∈ [[1, n]], f (ei ) = ei − x.
Trouver les valeurs propres de f avec leurs multiplicités.
iii) Sous quelles conditions l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?
iv) Déterminer la dimension du commutant de f .

0
1
234. CCP. Déterminer les éléments propres de A =
.
 ..
1

1
2

235. ENSEA. Étudier la diagonalisabilité de 
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
0
..
.
0

1
2

3
4
···
···

1
0

..  .
.
···
0
Revue de la filière Mathématiques

0
1
4
236. IMT. Pour (a, b, c, d) ∈ R , soit A(a, b, c, d) =
0
0
0
0
1
0
33

d
c
.
b
a
0
0
0
1
a) Déterminer le polynôme caractéristique de A(a, b, c, d).
b) Soit x ∈ R. La matrice A(x, −x2 , x3 , 0) est-elle diagonalisable sur R ? sur C ?

2
237. CCP. On pose A =0
1
1
1
1


−4
1
−2, B =2
−3
1

−2
−4.
−2
1
2
1
a) Calculer A2 , A3 . En déduire une expression de An pour tout n ∈ N.
b) Calculer les valeurs propres de A. Est-elle diagonalisable ?
c) Montrer que les vecteurs propres de A sont aussi des vecteurs propres de B. La matrice
B est-elle diagonalisable ?
d) Soient (x, y) ∈ R2 et M (x, y) = xA + yB.
i) Montrer que M (x, y) est diagonalisable.
ii) Donner l’expression de (M (x, y))n pour tout n ∈ N.
238. IMT. Soient a : x ∈ R 7→ x sin(x), b : x ∈ R 7→ x cos(x) et E = Vect(sin, cos, a, b).
Pour toute fonction f ∈ E, on pose D(f ) = f 0 .
a) Montrer que D appartient à L(E).
b) Quelle est la matrice de D dans la base (sin, cos, a, b) ?
c) Déterminer les valeurs propres de D.
d) Calculer D−1 .

1
239. IMT. Soient P = (X − 1)2 et A =0
0

0
9.
4
0
−2
−1
a) Déterminer les valeurs propres (complexes) de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
b) Calculer P (A). En déduire A−1 . 

1
0
0
c) Montrer que A est semblable à T =0 1 1.
0

3
240. IMT. Montrer que A =−2
5
−3
2
−5
0
1


−3
0
2  et B =0
−5
0
0
0
0

1
0 sont semblables dans
0
M3 (R).


A A A
1
241. CCP. Soient A =
et B =  A A A  . La matrice B est-elle diagonali2
A A A
sable ? Trouver son rang, ses valeurs propres ; préciser les multiplicités des valeurs propres.
2
1
242. IMT. Soient A ∈ Mn (R), P =
In
In
−In
In
et B =
a) Montrer que P est inversible et trouver son inverse.
3A
2A
2A
3A
.
34
Revue de la filière Mathématiques
b) Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A l’est.
2
243. TPE. Soient (a, b) ∈ R et M =
aIn
0
In
bIn
. Trouver une condition nécessaire et
suffisante sur a et b pour que M soit diagonalisable.
244. CCP. Soit f : M ∈ Mn (R) 7→ M + tM .
a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn (R).
b) Est-il diagonalisable ?
245. IMT. On considère l’endomorphisme Φ de Mn (R) d’expression Φ(M ) = M −tr(M )In .
a) Déterminer les éléments propres de Φ. L’endomorphisme Φ est-il diagonalisable ?
b) Déterminer sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique
X 2 − 1 00
P − XP 0 + P .
246. CCP. Soient E = Rn [X] et f : P ∈ E 7→
2
a) Montrer que f est un endomorphisme de E.
b) On suppose que n = 3.
i) Donner la matrice de f dans la base canonique de E.
ii) Montrer que f est un projecteur ; déterminer Ker(f ) et Im(f ).
c) On suppose maintenant que n > 4.
i) Montrer que dim(Ker(f )) 6 2, et en déduire que Ker(f ) = Vect(X, 1 + X 2 ).
ii) Montrer que (f (1), f (X 3 ), f (X 4 ), . . . , f (X n )) est une base de Im(f ).
iv) Montrer que si Q ∈ Im f alors Q0 (1) = Q0 (−1) = 0.
En déduire que Im(f ) = {Q ∈ E, Q0 (1) = Q0 (−1) = 0}.
v) Calculer les valeurs propres de f . Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?
247. IMT. Soit f : P ∈ Rn [X] 7→ P 00 − 2X P 0 .
a) Justifier que f est un endomorphisme de Rn [X].
b) Soit k ∈ {0, . . . , n}. Montrer qu’il existe un unique polynôme Pk unitaire de degré k tel
que f (Pk ) = −2kPk .
248. IMT. Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n.
a) On suppose A inversible. Montrer que χAB = χBA .
1
b) On suppose A non inversible. Montrer que A − In est inversible pour p ∈ N∗ assez
p
grand. En déduire que χAB = χBA .
249. TPE. On munit R3 de sa structure euclidienne canonique.
a) Soit H le sous-espace vectoriel de R3 d’équation x − y + z = 0. Déterminer le projeté
orthogonal de X ∈ R3 sur l’orthogonal de H.
b) En déduire le projeté orthogonal de X sur H, puis la matrice dans la base canonique de
la projection orthogonale sur H.
c) Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à H.
Z
1
250. IMT. Soit h , i l’application définie sur R[X] × R[X] par hP, Qi =
−1
P (t) Q(t)
√
dt.
1 − t2
Revue de la filière Mathématiques
35
a) Montrer l’existence de hP, Qi pour tous P, Q ∈ R[X]. Montrer que h , i est un produit
scalaire sur R[X].
b) Soit n ∈ N. Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme Tn tel que, pour tout θ ∈ R,
Tn (cos θ) = cos(nθ).
c) Montrer que la famille (Tn )n∈N est une famille orthogonale.
d) Soit F = R1 [X]. Calculer la distance de X 2 à F .
251. TPE. On munit R2 de sa structure euclidienne canonique orientée. Soient ε = (ε1 , ε2 ) la
base canonique de R2 , θ ∈ ]0, π[ et v = (v1 , v2 )avec v1 = ε1 et v2 = (cos θ)ε1 + (sin θ)ε2 .
Soit ϕ ∈ L(R2 ) dont la matrice dans v est M =
0
1
−1
.
2 cos θ
a) Calculer kv1 k2 , kv2 k2 et hv1 , v2 i.
b) Soit y = y1 v1 + y2 v2 dans R2 . Calculer kyk2 et kϕ(y)k2 . Montrer que ϕ appartient à
O(R2 ).
c) Soit P la matrice de passage de ε à v. Calculer P −1 .
d) Exprimer la matrice M 0 de ϕ dans la base canonique.
252. CCP. Soient (E, h , i) un espace euclidien et f ∈ L(E) tel que ∀x ∈ E, hf (x), xi = 0.
a) Montrer que ∀(x, y) ∈ E 2 , hf (y), xi = −hf (x), yi.
b) Comparer Ker(f ) et l’orthogonal de Im(f )
253. TPE. Soient (E, h , i) un espace euclidien, r et p deux projecteurs orthogonaux de E.
Soit λ une valeur propre non nulle de p ◦ r associée au vecteur propre u.
a) Montrer que u est dans Im p et que r(u) − λu est dans (Im p)⊥ .
b) Montrer que λkuk2 = kr(u)k2 .
c) Montrer que λ est dans [0, 1].

a
1
254. Soit A =  a + 1
3
−2
a+1
−2
−a

2
a . Préciser les valeurs de a pour lesquelles cette
a+1
matrice est orthogonale. Déterminer alors les valeurs propres.


0 −a c
0 −b.
255. CCP. Soient (a, b, c) ∈ (R+∗ )3 et M =  a
−c b
0
a) Montrer que M + I3 est inversible.
b) Soit K = (M − I3 )(M + I3 )−1 . Montrer que K est une matrice orthogonale.
256. CCP. On considère une matrice A antisymétrique appartenant à Mn (R), et on considère
les matrices M = In + A et N = In − A. Soit X appartenant à Mn,1 (R).
a) Calculer t( tXAX) et en déduire que tXAX = 0.
b) Montrer que si A possède une valeur propre réelle alors celle-ci est égale à 0. En déduire
que N et M sont inversibles.
c) Montrer que M et N commutent, que M et N −1 commutent. On pose W = M N −1 .
Montrer que W est une matrice orthogonale et que −1 n’est pas valeur propre de W .
36
Revue de la filière Mathématiques
d) Soit U ∈ On (R) dont −1 n’est pas valeur propre. Montrer qu’il existe une unique matrice
antisymétrique A ∈ An (R) telle que U = (In − A)(In + A)−1 .
p
257. a) Soient p ∈ N∗ et M ∈ Mn (R) telle que M + tM = 0. Montrer que M est
antisymétrique.
2
b) Trouver M ∈ M2 (C) telle que M + tM = 0 et (M + tM ) 6= 0.
258. CCP. Soient (E, h , i) un espace euclidien et g un automorphisme orthogonal de E. On
pose f = g − idE . Soit y ∈ Im(f ). Montrer que y est dans l’orthogonal de Ker(f ). En
déduire que (Im(f ))⊥ = Ker(f ).
Analyse
259. Si A = (ai,j )16i,j6n ∈ Mn (C), on pose kAk = max

n
X

|ai,j |, i ∈ {1, . . . , n}
j=1


et

ρ(A) = max {|λ|,
λ ∈ Sp(A)}.
a) Soit Aθ =
1
0
1+i
eiθ
. Calculer kAθ k et ρ(Aθ ).
b) Soient A ∈ Mn (C), λ ∈ C une valeur propre de A et X = t (x1 , . . . , xn ) un vecteur
n
X
propre associé. Montrer que |λ| |xi | 6
|ai,j | |xj | pour tout i. En déduire que ρ(A) 6 kAk.
j=1
c) Soient A ∈ Mn (C) et k ∈ N∗ . Montrer que ρ(Ak ) = ρ(A)k .
d) Soient A et B dans Mn (C). Montrer que kABk 6 kAk × kBk.
e) Soit A ∈ Mn (C) diagonalisable. Montrer que Ak → 0 si et seulement si ρ(A) < 1.
260. TPE. Donner un encadrement puis un équivalent de un =
261. IMT. Soit, pour n ∈ N∗ , gn : x 7→
Z
n
X
1
√ .
k
k=1
x
exp(t2 )dt.
n
a) Montrer que, pour n ∈ N∗ , il existe un unique xn vérifiant gn (xn ) = 1.
b) Trouver un équivalent de xn .
262. (CCP) Si (un )n>1 est une suite réelle, on dit que (un ) vérifie (∗) si et seulement si :
∀(n, m) ∈ (N∗ )2 , un+m 6 un + um .
a) Soient α ∈ R et, pour n ∈ N∗ , vn = nα . Montrer que (vn ) vérifie (∗) si et seulement si
α 6 1. Déterminer dans ce cas la limite de la suite de terme général vn /n.
b) Soit (wn ) une suite réelle telle que : ∀(n, m) ∈ (N∗ )2 , wn+m = wn + wm . Montrer
qu’une telle suite est arithmétique. Déterminer la limite de la suite de terme général wn /n.
c) Soit (un ) une suite vérifiant
que la suite de terme général un /n est
o
n u (∗). On suppose
n
∗
, n ∈ N . Montrer que (un /n) a pour limite α.
minorée et on pose : α = inf
n
Ind. On pourra fixer > 0 et considérer q ∈ N∗ tel que α 6 uq /q 6 α + .
Revue de la filière Mathématiques
263. CCP. Soit E l’ensemble des suites numériques réelles (xn )n∈N telles que
X
37
x2n converge.
n∈N
a) Pour (a, b) ∈ R2 , montrer que 2|ab| 6 a2 + b2 .
b) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites numériques réelles.
c) Montrer que f : (xn ) ∈ RN 7→ x0 ∈ R est une application linéaire.
+∞
X
d) Soit φ : ((xn ), (yn )) ∈ E 2 7→
xn yn ∈ R. Montrer que φ est un produit scalaire sur
n=0
v
u +∞
uX
x2n est l’expression d’une norme sur E.
E. En déduire que t
n=0
On munit E de cette norme notée N .
e) Montrer que, pour (xn ) dans E, la suite (xn + xn+1 ) est aussi dans E.
f) Soit g : (xn ) ∈ E 7→ (xn + xn+1 ) ∈ E. Montrer que g est lipschitzienne pour la norme
N.
264. IMT. Soit ϕ une bijection de N∗ dans N∗ .
n
n
n
T
X
X
ϕ(k) X 1
1
n
ϕ(k). Montrer que
T
a) On pose Tn =
=
−
+ 2.
k
k2
k2
(k + 1)2
n
k=1
k=1
k=1
X ϕ(n)
b) Conclure quant à la convergence de
.
n2
265. IMT. Soient (an ) et (bn ) dans RN . On suppose que an ∼ bn et que (an ) est de signe fixe
à partir d’un certain rang.
a) Montrer que (bn ) est de signe fixe à partir d’un certain rang.
b) Montrer que les séries de termes généraux an et bn sont de même nature.
266. TPE. Soient (un ) et (vn ) dans (R+∗ )N . On suppose qu’il existe un rang n0 tel que :
un+1
vn+1
∀n > n0 ,
6
.
un
vn
a) Montrer que un = O(vn ).
un+1
β
1
1
=1− +o
.
b) Soit (α, β) ∈ (R+ )2 . Soit wn = α . On suppose que
n
un
n
n
un+1
wn+1
i) Trouver un équivalent de
−
.
un
wn
ii) Montrer que si β > 1 la série de terme général un converge, que si β < 1, la série
diverge.
267. CCP. a) Déterminer les racines de X 3 − 4X 2 √
+ X.
b) Pour
tout
n
∈
N,
on
pose
u
=
sin(π(2
+
3 )n ). Montrer que, pour tout
n
√ n
√ n
√ n ∈ N,
(2 + 3 ) + (2 − 3 ) est un entier pair. Montrer que un = − sin(π(2 − 3 )n ) et en
déduire que la série de terme général un converge.
c) Soit P = X 3 + a1 X 2 + a2 X + a3 ∈ C[X]. On note x1 , x2 , x3 les racines complexes de P
(éventuellement répétées avec leur ordre de multiplicité). On suppose que |x1 | > 1, |x2 | < 1
et |x3 | < 1. On pose σ1 = x1 + x2 + x3 , σ2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 , σ3 = x1 x2 x3 et, pour
n ∈ N, Sn = xn1 + xn2 + xn3 .
38
Revue de la filière Mathématiques
i) Exprimer a1 a2 , a3 à l’aide de σ1 , σ2 , σ3 .
ii) Calcul de σ1 σ2 − 3σ3 .
iii) Exprimer S1 , S2 , S3 en fonction de σ1 , σ2 , σ3 .
iv) Montrer que, pour p ∈ N, Sp+3 − σ1 Sp+2 + σ2 Sp+1 − σ1 Sp = 0.
268. TPE.Soient k∈]1, +∞[ et (un )n>1 une suite réelle définie par u1 > 0 et, pour n ∈ N∗ ,
1
un+1 = 1 −
un .
kn
a) Étudier la monotonie de (un ).
b) La suite (un ) est-elle convergente
?
X
c) Étudier la convergence de
(vn+1 − vn ) avec vn = ln(n−1/k un ).
d) Étudier la convergence de (vn ).
e) En déduire un équivalent simple de (un ).
un
et (−1)n un .
f) Étudier la convergence des séries de termes généraux un ,
n
Z +∞
dt
g) Montrer que la suite de terme général wn =
vérifie les conditions de
(1
+
t3 )n
0
l’introduction.
1 − t3
.
t
a) Montrer que φ réalise une bijection de ]0, 1] sur [0, +∞[. On note u la réciproque de φ.
b) Montrer que u est dérivable.
1
.
c) Montrer que, pour x ∈ R+∗ , u(x)3 + x u(x) − 1 = 0. En déduire que : |u0 (x)| 6
3 u(x)
269. Soit φ : t ∈]0, 1] 7→
x cos(x) − sin(x)
. La fonction g est-elle prolongeable par
x3
continuité en 0 ? Ce prolongement est-il de classe C 1 ? de classe C ∞ ?
Z x
0
271. IMT. Trouver toutes les f ∈ C (R, R) telles que : ∀x ∈ R, xf (x) = 2
f (t)dt.
270. IMT. Soit g : x ∈ R∗ 7→
0
272. IMT. Trouver une primitive de x 7→
Z
273. CCP. Existence et calcul de
1
+∞
cos(3x)
.
sin(x) + sin(2x)
arctan(x)
dx.
x2
274. TPE. Soient α ∈ R, n ∈ N∗ et fn : x ∈ R 7→ x(1 + nα e−nx ).
a) Étudier la convergence de la suite (fn ). Préciser la limite.
b) Pour quelles valeurs de α a-t-on convergence uniforme sur R+ ?
Z 1
√
c) Calculer lim
x 1 + n e−nx dx.
n→+∞
0
Revue de la filière Mathématiques
275. Rayon et somme de
+∞
X
39
n2 xn .
n=1
276. IMT. Rayon de convergence et somme de la série entière
X
(−1)k
k>0
277. IMT. Soient p ∈ N et Hp : x 7→
X
n>p
xk
?
(2k + 1)!
2n − p x n
. Déterminer le rayon de conver4
n
gence de Hp . Calculer H0 (x).
+∞
X
xn
. Déterminer le domaine de définition de f et donner une
n2 − 1
n=2
expression simple de f (x) pour x ∈] − 1, 1[.
278. CCP. Soit f : x 7→
279. CCP. Rayon de convergence et somme de la série entière x 7→
+∞
X
n
xn ?
n
+
1
n=0
1
. Déterminer le développement
(1 − ax)(1 − bx)
en série entière de f au voisinage de 0 et préciser le rayon de convergence.
280. IMT. Soient (a, b) ∈ R∗ 2 et f : x 7→
281. IMT. a) Rappeler la définition du rayon de convergence d’une série entière complexe.
b) Soit (an ) une suite bornée telle que la série de terme général an converge. Que dire du
rayon de convergence de la série entière de terme général an z n ?
X
1
zn.
c) Calculer le rayon de convergence de la série entière
(−1)n ln 1 +
n
n>1
282. TPE. On pose S : s 7→
+∞
X
(3n + 1)2 xn .
n=0
a) Déterminer le rayon de convergence de S.
+∞
+∞
+∞
X
X
X
n
n
b) Montrer, pour |x| < 1 : S(x) = 9
(n + 1)(n + 2)x − 21
(n + 1)x + 4
xn .
n=0
n=0
n=0
c) En déduire les solutions de S(x) = 0.
283. TPE. Soit (an )n>0 définie par a0 = a1 = 1 et, pour n > 1, an+1 = an +
a) Montrer que 1 6 an 6 n2 pour tout n ∈ N∗ .
X
b) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière
an xn .
+∞
X
c) Soit f : x ∈] − R, R[7→
an xn .
n=0
2
an−1 ·
n+1
i) Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1 − x)y 0 − (1 + 2x)y = 0.
40
Revue de la filière Mathématiques
ii) Donner une expression de f à l’aide de fonctions usuelles.
Z
284. CCP. Pour n ∈ N, on pose In =
1
n
(ln(1 + x)) dx.
0
a) Justifier la définition de In . Montrer que, pour n ∈ N, 0 6 In 6 (ln 2)n .
b) Montrer que, pour n ∈ N, In+1 = 2(ln 2)n+1 − (n + 1)In .
+∞
X
In
c) Montrer que la série de terme général In n! converge. Calculer
.
n!
n=0
+∞
X
In n
x .
d) Déterminer le rayon de convergence et la somme de x 7→
n!
n=0
2(ln 2)n+1
e) Montrer que In ∼
.
n→+∞
n
285. CCP. On définit la suite (un ) par u0 = 1 et, pour n ∈ N, un+1 =
2n + 1
un .
2n + 4
a) Montrer que (un ) est décroissante et que (un ) converge.
1
b) Soit vn = 5/4 .
n
vn+1
1
1
un+1
−
=−
+o
i) Montrer que
.
un
vn
4n
n
vn+1
un+1
6
. En
ii) Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour tout n > N , on a
un
vn
déduire qu’il existe un réel K tel que un 6 Kvn .
iii) Montrer que la série de terme général un converge.
c)
En remarquant que 2(k + 1)uk+1 + 2uk+1 = 2kuk + uk , déterminer la valeur de la somme
de la série des uk .
+∞
X
un xn .
d) Soit f : x 7→
n=0
i) Montrer que le rayon de convergence R de cette série entière est > 0.
ii) Montrer que f vérifie l’équation (E) : 2x(x − 1)S 0 (x) + (x − 2)S(x) = −2.
iii) Résoudre l’équation différentielle (E) pour x ∈ ] − R, R[.
x−2
1
1
Ind. On a : ∀x ∈ R \ {0, 1},
= −
.
2x(x − 1)
x 2(x − 1)
Z
π/2
dt
.
1
−
x
cos2 (t)
0
a) Montrer que F est définie sur ] − 1, 1[.
b) Pour N ∈ N∗ et (x, t) ∈ ] − 1, 1[×[0, π/2], montrer :
N
−1
X
1
xN cos2N (t)
=
(x cos2 (t))n +
.
2
1 − x cos (t)
1 − x cos2 (t)
n=0
286. TPE. Soit F : x 7→
c) Montrer que ∀x ∈ ] − 1, 1[, F (x) =
+∞
X
n=0
Wn xn , où Wn est une intégrale à déterminer.
Revue de la filière Mathématiques
41
π
d) Montrer que, pour x ∈] − 1, 1[, F (x) = √
.
2 1−x
e) En déduire la valeur de Wn .
Z 1
n
xx dx. Étudier la convergence de la suite (In ).
287. IMT. Pour n ∈ N, on pose In =
0
sin(nt)
.
1 + nt + t2
+
a) La fonction fn est-elle intégrable sur R ?
Z +∞
b) Calculer lim
fn (t)dt.
288. IMT. Pour n ∈ N∗ , soit fn : t ∈ R+ 7→
n→+∞
0
Z 1
+∞
X
π2
(−1)n−1
=
.
Pour
n
>
1,
on
pose
u
=
ln(1 + tn )dt.
n
2
n
12
0
n=1
a) Donner le développement en série entière de t 7→ ln(1 + t) au voisinage de zéro.
+∞
X
(−1)k−1
.
b) Montrer que un =
k(kn + 1)
289. CCP. On rappelle que
k=1
+∞
X
c) Montrer que f : x 7→
k=1
(−1)k−1
est de classe C 1 .
k(k + x)
π2
.
n→+∞ 12n
2
1
π
α
d) Montrer que l’on a, lorsque n → +∞ : un =
+ 2 +o
où α s’écrit comme
12n n
n2
la somme d’une série.
Z 1
b
c
d
1
dt
=a+ + 2 + 3 +o
e) Chercher a, b, c, d tels que
.
n
3
1
+
t
n
n
n
n
0
c) ii Exprimer un en fonction de f et en déduire que un
Z
∼
π/2
290. Soit f : x 7→
Arctan (x tan θ) dθ.
0
a) Montrer que, pour x ∈ R+∗ , Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2.
b) Montrer que f est définie sur R et de classe C 1 . Déterminer son sens de variations.
c) Montrer que, pour x ∈ R+∗ , f (x) + f (1/x) = π 2 /4. En déduire la limite de f en +∞.
Z
1
ln(t)
dt.
t
+x
0
Montrer que f est définie sur R+∗ .
ln(t)
Soit t ∈]0, 1[. Exprimer
comme somme d’une série.
1+t
+∞
X (−1)n
π2
On rappelle que
= − . Calculer f (1).
2
n
12
n=1
Z
+∗
Montrer, pour x ∈ R , f (x) = ln(x) × ln (1 + 1/x) +
291. Soit f : x 7→
a)
b)
c)
d)
0
1/x
ln(u)
du.
1+u
42
Revue de la filière Mathématiques
e) Donner une expression de f 0 (x) ne faisant pas intervenir d’intégrale.
f) Soit g : x ∈ R+∗ 7→ f (x) + f (1/x). Montrer que g est de classe C 1 . Montrer que
ln(x)
g 0 (x) = − 2 pour x ∈ R+∗ .
x
Z +∞
exp(−t2 ) cos(xt)dt.
292. IMT. Soit f : x 7→
0
a) Montrer que f est définie sur R, puis que f est de classe C 1 .
b) Montrer que f vérifie une équation différentielle. Résoudre cette équation différentielle et
en déduire une expression de f .
+∞
e−xt
dt. Montrer que F est définie sur R+∗ .
1
+
t
0
b) Montrer que F est positive et décroissante.
c) Montrer que F est de classe C 1 sur R+∗ . Calculer F − F 0 ; en déduire que F est de classe
C ∞ sur R+∗ .
Z +∞ −t
e
+∗
x
d) Montrer : ∀x ∈ R , F (x) = e
dt. Calculer la limite de F (x) quand x tend
t
x
+
vers 0 .
e) Donner un équivalent de F (x) quand x tend vers 0+ .
Z
293. CCP. a) Soit F : x 7→
294. CCP. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs réelles. On dit que
f est 2-convexe si f est de classe C 2 et f 00 > 0.
a) Si f est 2-convexe, montrer que exp(f ) l’est aussi.
Z +∞
b) Soit Γ : x 7→
tx−1 e−t dt.
0
i) Montrer que Γ est définie sur ]0, +∞[ et que H est strictement positive.
ii) Montrer que H est de classe C 2 et 2-convexe.
iii) On admet que, pour tout x > 0, Γ(x + 1) = x Γ(x). Montrer qu’il existe c ∈ ]1, 2[ tel
que Γ0 (c) = 0. Étudier les variations de Γ et ses limites en 0 et +∞.
+∞
e−xt
√
dt.
1+t
0
b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle que l’on précisera.
Z
295. ENSEA. a) Étudier la fonction f : x 7→
+∞
sin(xt) −t
296. CCP. Pour x ∈ R, on pose f (x) =
e dt.
t
0
Z +∞
a) Si x ∈ R, montrer que
cos(xt) e−t dt existe.
0
Z +∞
K
b) Montrer que
cos(xt) e−t dt =
avec K indépendant de x.
1
+
x2
0
sin u 6 1 pour u ∈ R∗ et en déduire l’existence de f .
c) Montrer que u d) Montrer que f est de classe C 1 . Déterminer f 0 puis f .
Z
Revue de la filière Mathématiques
Z
43
+∞
sin(u) −ux
e
du. Montrer l’existence de L. En supposant que
u
0
L continue en 0, calculer L(0).
e) Soit L : x ∈ R+ 7→
+∞
X
exp(−nt2 )
.
n2 + 1
n=0
a) Montrer que f est définie et continue sur R.
297. CCP. Soit f : t 7→
b) Montrer que pour tout t dans R+∗ , 0 6 f (t) − 1 6
+∞
X
exp(−nt2 ), et en déduire que
n=1
lim f = 1.
+∞
c) Montrer que f est de classe C 1 sur R. Étudier les variations de f .
10
X
1 1
6
.
d) Montrer que f (0) −
2 + 1 n
10
n=0
298. CCP. Soit f : x 7→
+∞
X
2
e−xn .
n=0
a) Déterminer le domaine de définition de f . Montrer que la série de fonctions ne converge
pas normalement sur R+∗ .
b) Montrer que f est continue sur R+∗ .
Z +∞
+∞
X
1
c) Montrer que f − u0 est intégrable sur R+∗ . Exprimer
f en fonction de
.
2
n
0
n=1
Z +∞
Z +∞
2
d) On admet que, pour x > 0, on a :
exp(−xt )dt 6 f (x) 6 1+
exp(−xt2 )dt.
0
0
Déterminer un équivalent de f en 0+ .
e) Démontrer l’encadrement admis à la question précédente.
299. CCP. Soit F : x ∈ [0, 1] 7→
+∞ X
n=2
Z
1
1
−
. Montrer que F est définie et
n+x n−x
1
F (x)dx.
continue. Calculer
0
1
1−t
dt et D = [−1, +∞[.
3
0 1 + xt
a) Montrer que f est définie et continue sur D.
b) Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0 et déterminer ce développement.
Z
300. IMT. Soient f : x 7→
301. CCP. Résoudre y 00 − 3y 0 + 2y = x2 + 3x et y 00 + y 0 − 2y = 9 ex .
302. CCP. On note (E) l’équation différentielle y 00 + 4y 0 + 4y =
a) Donner les solutions de l’équation homogène.
e2x
.
1 + x2
44
Revue de la filière Mathématiques
b) Donner les solutions de (E).
303. CCP. On considère l’équation différentielle (E) : (2x + 1)y 00 + (4x − 2)y 0 − 8y = 0.
a) Donner une condition sur α pour que y : x 7→ exp(αx) soit solution de (E).
On choisit désormais un tel α.
b) Donner une condition sur z pour que y : x 7→ z(x) exp(αx) soit solution de (E).
c) En déduire les solutions de (E).
304. CCP. On considère l’équation différentielle (E) : xy 00 + xy 0 − y = 0 sur R+∗ .
a) Trouver α tel que la fonction
hα : x ∈ R+∗ 7→ xα soit solution de (E).
Z x −t
e
dt. Donner le tableau de variations de G. Quelle est sa
b) Soit G : x ∈ R+∗ 7→
t2
1
limite en zéro ?
c) Soit f : R+∗ → R deux fois dérivable. Montrer que s : x ∈ R+∗ 7→ xf (x) est solution
de (E) si et seulement si f 0 est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 notée
(E 0 ) que l’on déterminera. Résoudre (E 0 ) sur R+∗ .
d) Décrire l’ensemble des solutions de (E) à l’aide de G. Déterminer le comportement des
solutions lorsque x → 0+ .
305. TPE. Soient I un intervalle de R centré en zéro, φ ∈ C ∞ (I, R) une fonction paire et (E)
l’équation différentielle y 00 (x) + φ(x) y(x) = 0. Soit y une solution de (E). Montrer que y
est de classe C ∞ et que la fonction x 7→ y(−x) est également solution de (E).
∂f
∂f
1
+∗
+∗
306. CCP. Soit E = f ∈ C (R × R, R); ∀(x, y) ∈ R × R, x (x, y) + y (x, y) = 0 .
∂x
∂y
a) Soit g ∈ C 1 (R, R). On pose ∀(x, y) ∈ R+∗ × R, f (x, y) = g(y/x). Montrer que f ∈ E.
b) Soient f ∈ E et v ∈ R. On pose ∀t ∈ R+∗ , φ(t) = f (t, vt). Montrer que φ est de classe
C 1 et que φ0 est la fonction nulle.
c) Soit f une fonction de R+∗ × R dans R. Déduire des questions précédentes l’équivalence
suivante : f ∈ E ⇐⇒ ∃g ∈ C 1 (R), ∀(x, y) ∈ R+∗ × R, f (x, y) = g(y/x).
Probabilités
307. CCP. On considère deux urnes. La première contient 4 boules noires et 2 blanches, la
deuxième 2 noires et 4 blanches. On choisit une urne au hasard, on tire successivement 3
boules sans remise. Donner la probabilité de tirer une troisième boule noire sachant que l’on
a déjà tiré 2 boules noires avant.
∗
308. TPE. On pose S0 = 0 et, pour n ∈ N , Sn =
n
X
k.
k=1
a) Montrer que, pour tout n ∈ N, il existe un unique p ∈ N tel que S(p) 6 n < S(p + 1).
b) Soient A et B deux ensembles dénombrables, (xi )i∈N et (yj )j∈N deux énumérations de
(i + j)(i + j + 1)
+ i est
A et B respectivement. Montrer que l’application ψ : (xi , yj ) 7→
2
une bijection de A × B sur N.
c) Que peut-on en conclure ?
Revue de la filière Mathématiques
45
309. TPE. Soient n ∈ N avec n > 2, (Ω, A, P ) un espace probabilisé et (Ai )16i6n un système complet d’évènements tel que (P (Ai ))16i6n soit une suite arithmétique avec P (A1 ) =
1
.
2n
a) Exprimer P (Ai ) pour tout i.
1
b) On considère un évènement B tel que, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, P (B | Ai ) = i . Expri2
mer P (B).
310. CCP. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli
de paramètre p. On pose Z = X + Y . Déterminer la loi de Z, son espérance et sa variance.
311. TPE. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des
lois binomiales B(n, p) et B(m, p).
a) Donner la fonction génératrice de X.
b) Donner la fonction génératrice de X + Y , puis sa loi.
312. IMT. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes suivant des lois
de Poisson de paramètres λ et µ. Soit n ∈ N. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant
(X + Y = n).
313. TPE. Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées et suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[.
On pose N = inf {n ∈ N∗ , Xn = 1} si cet ensemble est non vide, N = +∞ sinon.
a) Calculer P (N = +∞).
b) Donner la loi de N .
Écoles Normales Supérieures - MP
Informatique
314. Soit G un graphe non orienté avec au moins trois sommets. Un cycle est un chemin
fermé ne passant qu’une seul fois par un sommet. On définit, si elle existe, la maille de G
comme la plus petite longueur d’un cycle.
a) Soit d la distance maximale entre deux sommets de G. Montrer que la maille, si elle existe,
est majorée par 2d + 1.
b) Montrer qu’un graphe est biparti (c’est-à-dire tel que l’ensemble des sommets se partitionne en deux parties non vides S1 et S2 telles que toute arête joigne un sommet de S1 et
un sommet de S2 ) si et seulement s’il ne contient pas de cycle de longueur impaire. Qu’en
déduire sur la maille d’un tel graphe ?
c) Montrer qu’un graphe à n sommets qui contient au plus un cycle, contient au plus n arêtes.
d)
Montrerque la maille d’un graphe à n sommets et au moins n + 1 arêtes est majorée par
2(n + 1)
.
3
46
Revue de la filière Mathématiques
e) Soit G un graphe tel que le plus petit degré δ d’un sommet et la maille m soient supérieurs ou égaux à 3. Montrer que, si m est pair, le nombre de sommets est alors minoré par
2
((δ − 1)m/2 − 1).
δ−2
315. Considérons l’alphabet Σ = {a, b} et Σω l’ensemble des mots infinis sur cet alphabet.
À tout mot m = m1 m2 . . . ∈ Σω et tout automate déterministe fini A = (Q, q0 , F, δ), on
associe la suite ρA (m) = (qk )k∈N des états de Q vérifiant, pour tout k ∈ N,
qk+1 = δ(qk , mk ).
Un langage L ⊂ Σω de mots infinis est
• ∃-reconnaissable s’il existe un automate A tel que
L = {m ∈ Σω , ρA (m) contient au moins un état acceptant} ;
• ∀-reconnaissable s’il existe un automate A tel que
L = {m ∈ Σω , ρA (m) ne contient que des états acceptants} ;
• ω-reconnaissable s’il existe un automate A tel que
L = {m ∈ Σω , ρA (m) contient un nombre infini d’états acceptants} ;
• ω-reconnaissable s’il existe un automate A tel que
L = {m ∈ Σω , ρA (m) contient un nombre fini d’états acceptants}.
a) Montrer que le langage des mots (infinis) contenant au moins deux b est ∃-reconnaissable.
b) Montrer que le langage des mots (infinis) contenant une infinité de b est ω-reconnaissable.
c) Montrer que tout langage ∃-reconnaissable est ω-reconnaissable puis que la réciproque
est fausse.
d) Montrer que le langage des mots (infinis) ne contenant pas le facteur bb mais contenant
au moins une fois le facteur bab est ω-reconnaissable mais pas ∀-reconnaissable.
e) Exhiber un langage ω-reconnaissable qui n’est pas ω-reconnaissable puis un langage ωreconnaissable qui n’est pas ω-reconnaissable.
316. a) Construire un automate déterministe complet minimal sur Σ = {a, b} reconnaissant
l’ensemble des mots ayant un nombre pair de a et de b.
On admet le théorème suivant
Théorème 1. Soit L un langage rationnel. Alors il existe un unique (à isomorphisme près)
automate déterministe complet A reconnaissant L et tel que tout automate déterministe complet B reconnaissant L admet plus d’états que A.
On note ind(L) le nombre d’états de A, noté |A|.
b) Déterminer tous les langages rationnels L sur l’alphabet Σ = {a} tels que ind(L) 6 2.
Un langage rationnel L est composé s’il existe des automates complets A1 , . . . , Ak tels que,
k
\
pour tout i, |Ai | < ind(L) et L =
L(Ai ). Un langage rationnel non composé est dit
i=1
premier.
c) Déterminer si les langages suivants sont composés ou premiers :
i) L1 = {a, b}∗ sur l’alphabet Σ = {a, b}
ii) L2 = {a} sur l’alphabet Σ = {a}
iii) L3 = {a, b} sur l’alphabet Σ = {a, b}
Revue de la filière Mathématiques
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d) Soit k > 0 un entier qui n’est pas la puissance d’un nombre premier. Montrer que le
langage (ak )∗ est composé sur l’alphabet Σ = {a}.
e) Déterminer un algorithme qui, à partir d’un automate A tel que L = L(A) et ind(L) =
|A|, détermine si le langage L est composé ou premier.
f) Montrer le théorème admis.
317. Soit G = (S, A) un graphe connexe. Un ensemble de sommets X ⊂ S est dominant si
tout sommet est soit dans X, soit voisin d’un sommet dans X.
On note γ(G) le cardinal du plus petit ensemble dominant de G.
a) Calculer γ(Pn ), où Pn désigne le chemin à n sommets.
1
b) Montrer que γ(G) 6 |S|, et exhiber un cas d’égalité.
2
2
c) Exhiber une infinité de graphes vérifiant γ(G) > |S|.
5
Un graphe est une griffe s’il est de la forme du graphe biparti complet K1,3 .
d) Montrer que si aucun des sous-graphes induits de G n’est une griffe, alors il existe un
ensemble dominant minimal X tel que le graphe induit G[X] est sans arête.
e) Trouver un algorithme calculant γ(G) lorsque G est un arbre.
318. On s’intéresse à différentes propriétés des permutations σ ∈ Sn .
a) Soient x1 , . . . , xp des entiers tels que, pour tout k, 0 6 xk 6 k. La suite finie (x1 , . . . , xp )
p
X
s’appelle l’écriture factorielle de l’entier n =
xk k!. Montrer que cette écriture existe et
k=1
est unique pour tout entier naturel n.
b) On représente une permutation σ ∈ Sn par le mot σ(1) . . . σ(n). On appelle ordre de
σ le nombre de permutations de Sn dont la représentation est strictement inférieure au mot
représentant σ pour l’ordre lexicographique. Donner un algorithme calculant l’ordre de σ.
c) Donner un algorithme calculant la permutation suivant σ selon l’ordre lexicographique de
leurs représentations.
d) Pour tout σ ∈ Sn , notons Xi (σ) la longueur du cycle de σ contenant l’entier i. Montrer
en utilisant une représentation appropriée de σ que :
∀k ∈ {1, . . . , n}, |{σ ∈ Sn , X1 (σ) = k}| = (n − 1)!.
e) Donner un algorithme donnant avec une probabilité uniforme une permutation σ telle que
X1 (σ) = k.
319. Un moniteur est un automate fini déterministe A = (Q, q0 , F, δ) avec deux états puits
> et ⊥ tel qu’il existe un chemin depuis chaque état vers l’un des états puits.
Un langage monitorable est un sous-ensemble de l’ensemble L des mots infinis Σω tel qu’il
existe un moniteur tel que pour tout mot fini u ∈ Σ∗ :
– si δ ∗ (q0 , u) = > alors uΣω ⊆ L ;
– si δ ∗ (q0 , u) = ⊥ alors uΣω ∩ L = ∅.
a) Interpréter la notion de langage monitorable.
b) Déterminer si les langages suivants sur l’alphabet Σ = {a, b, c} sont monitorables et si
oui, donner un moniteur avec un maximum d’états accessibles possibles
i) L1 , l’ensemble des mots contenant une infinité de a,
ii) L2 , l’ensemble des mots contenant au moins un b,
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iii) L3 , l’ensemble des mots contenant au moins un b mais ne contenant pas de c.
c) Soit L ⊆ Σω . Soit u ∈ Σ∗ tel qu’il existe un mot v ∈ Σ∗ vérifiant uvΣω ⊆ L. Montrer
que L est monitorable. Reprendre la question avec l’hypothèse uvΣω ∪ L = ∅.
Considérons le théorème suivant :
Théorème 2. Un langage L est monitorable si, et seulement si, il existe un entier n ∈ N et
un mot v ∈ Σ∗ vérifiant |v| 6 (n + 1)2 tel que ∀u ∈ Σ∗ , uvΣω ⊆ L ou uvΣω ∪ L = ∅.
d) Donner une interprétation de ce théorème.
e) Prouver le théorème.
320. On considère un jeu où deux joueurs, J1 et J2 , déplacent un jeton sur un graphe orienté
G = (S, A) où S est partitionné en deux ensembles S1 et S2 . Lorsque le jeton est sur un sommet de Si , Ji doit le déplacer vers un sommet adjacent extérieurement. L’attracteur Attri (X)
de X ⊂ S est l’ensemble des positions du jeton pour lesquelles Ji dispose d’une stratégie
faisant passer à coup sûr le jeton sur un sommet de X. On fixe enfin F ⊂ X.
a) Déterminer Attr1 (F ) dans la configuration suivante.
2
3
5
7
1
4
6
8
9
S1 = {1, 3, 4, 5, 6, 9} S2 = {2, 7, 8} F = {5, 6}
b) Déterminer un algorithme de complexité O(|S| + |A|) permettant de calculer Attr1 (F )
lorsque G est acyclique.
c) Montrer que le jeu des allumettes, où les deux joueurs piochent alternativement 1, 2 ou 3
allumettes dans un paquet jusqu’à épuisement (on considère que celui ramassant la dernière
gagne), peut-être modélisé comme un jeu de la forme précédente.
d) Étendre l’algorithme de la question b) au cas général.
On considère maintenant le jeu infini où J1 gagne s’il arrive à faire passer le jeton une infinité
de fois par un sommet de F .
e) Montrer que s ∈ S est gagnant pour J1 si et seulement si J1 possède une stratégie faisant
passer le jeton au moins |S| fois par F depuis s.
f) En déduire une algorithme de compléxité O(|S||A|) calculant les positions gagnantes pour
J1 .
g) Montrer que les sommets de Attr2 (Attr1 (F )) sont gagnants pour J2 .
h) En déduire un nouvel algorithme de même complexité que le précédent.
321. Un semi-anneau est un quintuplet (S, +, ⊗, 0, 1) où
- S est un ensemble non vide,
- (S, +) est un monoïde commutatif de neutre 0,
- (S, ⊗) est un monoïde commutatif de neutre 1,
- ⊗ est distributive sur +.
a) Parmi les quintuplets suivants, lesquels sont des semi-anneaux : i) (N, +, ·, 0, 1),
ii) (N, min, ·, 0, 1), iii) (N, max, ·, 0, 1), iv) (P(X), ∪, ∩, ∅, X), si X est un ensemble ?
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Soit Q un ensemble de sommets, I, F ⊂ Q (sommets initiaux, finaux). On dit que G =
(Q, γ, I, F ) est un graphe orienté sur le semi-anneau (S, +, ⊗, 0, 1) lorsque γ associe à
chaque couple (p, q) ∈ Q×Q un élément de S, appelé coût. On désigne par chemin un chemin
dans un graphe au sens usuel.
 On étend la définition de coût aux chemins. Si c = x0 . . . xn
si n = 0

1
n−1
O
est un chemin, alors γ(c) =

γ(xi , xi+1 ) sinon

i=0
Dans la suite de cette question, on considère un graphe orienté sur le semi-anneau (N, +, ·, 0, 1),
d’ensemble de sommets {1, . . . , n}.
2
(r)
Pour tout
 (p, q) ∈ Q et r ∈ {0, . . . , n}, on définit γp,q par :

si p = q et r = 0

0
(r)
γ(p,
q)
si
p 6= q et r = 0
γp,q =


(r−1)
(r−1)
(r−1)
min γp,q , γp,r + γr,q
si r > 1
(n)
b) Que représente γp,q
?
c) Soit Σ un alphabet fini. Donner +, ⊗, 0 et 1 pour que (P(Σ∗ ), +, ⊗, 0, 1) soit un semianneau.
d) Utiliser la technique de la deuxième question pour définir le langage L(A) reconnu par
un automate fini non déterministe A.
e) Définir de même l’expression régulière associée à un tel automate.
Soit G = (Q, γ, I, F ) un graphe orienté et n ∈ N. On définit Π(n) comme l’ensemble de
tous les chemins
 de longueur n d’un sommet de I à un sommet de F . On définit de plus π(n)

si Π(n) = ∅
0 X
par π(n) =
γ(c) sinon


c∈Π(n)
f) Donner un algorithme efficace de calcul de π(n).
322. On s’intéresse à la résolution d’un système d’inéquations linéaires de la forme (S) :
AX 6 B, d’inconnue X = t(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , où A ∈ Mm,n (R) et B ∈ Rm .
a) i) Montrer que si le système (S) contient deux inéquations (I1 ) et (I2 ) avec des coefficients en x1 respectivement > 0 et < 0, on peut trouver une inéquation (I0 ) ne mettant pas
en jeu la variable x1 et équisatisfiable à la conjonction (I1 ) ∧ (I2 ).
ii) En déduire un algorithme de résolution d’un tel système d’inéquations linéaires.
iii) Quelle est sa complexité dans le pire des cas ?
b) On cherche à améliorer l’algorithme précédent. À chaque étape de son exécution permettant de supprimer une inconnue xi , on générait une nouvelle liste d’inéquations. On va maintenant de plus associer à chaque nouvelle inéquation son historique : la partie de {1, . . . , n}
contenant les indices des inéquations du système (S) de départ dont l’inéquation est combinaison linéaire.
i) Expliquer comment on calcule les historiques.
ii) Montrer qu’on peut, à chaque étape de l’algorithme, ne garder que les nouvelles inéquations d’historique minimal (au sens de l’inclusion).
iii) En déduire une amélioration de l’algorithme précédent. Estimer sa complexité.