Primitives de référence Opérations sur les primitives Primitives

Primitives Tableaux TS
Primitives de référence
Dans ce tableau on donne à chaque fois une primitive.
Pour avoir toutes les primitives, il conviendra de rajouter une constante réelle k.
Pour avoir la primitive adaptée à un problème, il conviendra de rajouter une constante réelle k, puis de déterminer la valeur
de k.
La fonction f:Une primitive F:La justification :
f(x)=a(aconstante réelle) F(x)=kx f admet une primitive Fsur Rcomme fonction de référence.
f(x)=x F (x)=1
2×x2fadmet une primitive Fsur Rcomme fonction de référence.
f(x)=xn(nentier constant) F(x)=1
n+1xn+1fadmet une primitive Fsur Rcomme fonction de référence.
f(x)=1
x2f′(x)=−1
xfadmet une primitive Fsur R∗comme fonction de référence.
f(x)=1
xn(n6=1 entier constant) f′(x)=−1
(n−1)xn−1fadmet une primitive Fsur R∗comme fonction de référence.
f(x)=1
pxF(x)=2px f admet une primitive Fsur R+∗ comme fonction de référence.
f(x)=cos(x)F(x)=sin(x)fadmet une primitive Fsur R∗comme fonction de référence.
f(x)=sin(x)F(x)=−cos(x)fadmet une primitive Fsur R∗comme fonction de référence.
f(x)=cos(ax +b)F(x)=sin(x)
afadmet une primitive Fsur R∗comme composée de fonctions
(aet bconstantes réelles) de référence.
f(x)=sin(ax +b)F(x)=−cos(x)
afadmet une primitive Fsur R∗comme composée de fonctions
(aet bconstantes réelles) de référence.
f(x)=exF(x)=exfadmet une primitive Fsur Rcomme fonction de référence
f(x)=1
xF(x)=ln(x)fadmet une primitive Fsur R+∗ comme fonction de référence
Opérations sur les primitives
uet vsont deux fonctions.
Iest un intervalle sur lequel :
•fest définie.
•uet vsont définies et admettent pour primitives respectives Uet V.
Il faut donner une justification adaptée qui explique que uet vadmettent des primitives sur I.
Si l’ensemble de définition de fn’est pas donné dans l’exercice, c’est la première chose à établir !
La fonction f:Une primitive F:La justification :
f(x)=u(x)+v(x)F(x)=U(x)+V(x)fadmet une primitive Fsur Icomme somme de fonctions admettant une
primitive sur I.
f(x)=a×u(x)F(x)=a×U(x)fadmet une primitive Fsur Icomme produit par une constante d’une
(aconstante réelle) fonction admettant une primitive sur I.
Primitives composées
uest une fonction.
Iest un intervalle sur lequel :
•fest définie.
•uest définie et dérivable.
Dans chaque cas, on commencera par expliciter u, justifier sa dérivabilité et expliciter u′.
La fonction f:Une primitive F:La justification :
f(x)=u′(x)(u(x))nF(x)=1
n+1u(x)n+1fest de la forme u′un, elle admet donc une primitive Fsur I.
(nentier constant)
f(x)=u′(x)
(u(x))2F(x)=−1
u(x)f, définie sur Iest de la forme u′
u2, elle admet donc une primitive Fsur I.
f(x)=u′(x)
(u(x))nF(x)=−1
(n−1)(u(x))n−1f, définie sur Iest de la forme f(x)=u′
un, elle admet donc
(nentier constant) une primitive Fsur I.
f(x)=u′(x)
u(x)F(x)=ln(u(x)) fest de la forme u′ uavec u(x)>0 sur I, elle admet donc
(upositive sur I) une primitive Fsur I.
f(x)=u′(x)
pu(x)F(x)=2pu(x)f, définie sur Iest de la forme u′ pu, elle admet donc une primitive Fsur I.
f(x)=u′(x)eu(x)F(x)=eu(x)fest de la forme u′eu, elle admet donc une primitive Fsur I.
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