Primitives de référence Opérations sur les primitives Primitives

Primitives
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Tableaux
Primitives de référence
Dans ce tableau on donne à chaque fois une primitive.
Pour avoir toutes les primitives, il conviendra de rajouter une constante réelle k.
Pour avoir la primitive adaptée à un problème, il conviendra de rajouter une constante réelle k, puis de déterminer la valeur
de k.
La fonction f :
Une primitive F : La justification :
f (x) = a (a constante réelle)
F (x) = kx
f admet une primitive F sur R comme fonction de référence.
f (x) = x
F (x) = 12 × x 2
f admet une primitive F sur R comme fonction de référence.
1
x n+1
f (x) = x n (n entier constant)
F (x) = n+1
f admet une primitive F sur R comme fonction de référence.
1
−1
′
f (x) = x 2
f (x) = x
f admet une primitive F sur R∗ comme fonction de référence.
1
−1
f (x) = x n (n 6= 1 entier constant)
f ′ (x) = (n−1)x n−1
f admet une primitive F sur R∗ comme fonction de référence.
p
1
f (x) = px
F (x) = 2 x
f admet une primitive F sur R+∗ comme fonction de référence.
f (x) = cos(x)
f (x) = sin(x)
f (x) = cos(ax + b)
(a et b constantes réelles)
f (x) = sin(ax + b)
(a et b constantes réelles)
f (x) = ex
f (x) = x1
F (x) = sin(x)
F (x) = − cos(x)
F (x) = sin(x)
a
F (x) =
− cos(x)
a
F (x) = ex
F (x) = ln(x)
f admet une primitive F
f admet une primitive F
f admet une primitive F
de référence.
f admet une primitive F
de référence.
f admet une primitive F
f admet une primitive F
sur R∗ comme fonction de référence.
sur R∗ comme fonction de référence.
sur R∗ comme composée de fonctions
sur R∗ comme composée de fonctions
sur R comme fonction de référence
sur R+∗ comme fonction de référence
Opérations sur les primitives
u et v sont deux fonctions.
I est un intervalle sur lequel :
• f est définie.
• u et v sont définies et admettent pour primitives respectives U et V .
Il faut donner une justification adaptée qui explique que u et v admettent des primitives sur I .
Si l’ensemble de définition de f n’est pas donné dans l’exercice, c’est la première chose à établir !
La fonction f :
Une primitive F :
La justification :
f (x) = u(x) + v(x)
F (x) = U (x) + V (x) f admet une primitive F sur I comme somme de fonctions admettant une
primitive sur I .
f (x) = a × u(x)
F (x) = a ×U (x)
f admet une primitive F sur I comme produit par une constante d’une
(a constante réelle)
fonction admettant une primitive sur I .
Primitives composées
u est une fonction.
I est un intervalle sur lequel :
• f est définie.
• u est définie et dérivable.
Dans chaque cas, on commencera par expliciter u, justifier sa dérivabilité et expliciter u ′ .
La fonction f :
Une primitive F :
La justification :
1
n+1
′
n
f (x) = u (x)(u(x))
F (x) = n+1 u(x)
f est de la forme u ′ u n , elle admet donc une primitive F sur I .
(n entier constant)
′
−1
u ′ (x)
f (x) = (u(x))
F (x) =
f , définie sur I est de la forme uu2 , elle admet donc une primitive F sur I .
2
u(x)
′
−1
u ′ (x)
f (x) = (u(x))
F (x) =
f , définie sur I est de la forme f (x) = uun , elle admet donc
n
n−1
(n − 1)(u(x))
(n entier constant)
une primitive F sur I .
′
(x)
f (x) = uu(x)
(u positive sur I )
u ′ (x)
p
u(x)
′
u(x)
f (x) =
f (x) = u (x)e
F (x) = ln(u(x))
p
F (x) = 2 u(x)
u(x)
F (x) = e
′
f est de la forme uu avec u(x) > 0 sur I , elle admet donc
une primitive F sur I .
f , définie sur I est de la forme
′ u
u′
p
,
u
elle admet donc une primitive F sur I .
f est de la forme u e , elle admet donc une primitive F sur I .
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J.L. 2013-2014