TD d`Alg`ebre: : Localisation

Universit´e d’Evry Val d’Essonne Licence 3 Maths/Module 54
TD d’Alg`ebre: : Localisation
Soit Aun anneau diff´erent de (0), commutatif, unitaire.
1◦)Une partie S de A est multiplicative si :
i. 1 ∈S;
ii. a∈S, b ∈S=⇒ab ∈S.
a) Montrer que A×, le groupe des inversibles de A, est une partie multiplicative de A.
b) On appelle Rl’ensemble des ´el´ements de A, r´eguliers pour la multiplication. Montrer que Rest une partie
multiplicative de A. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante portant sur l’anneau A, pour que
A\{0}soit une partie multiplicative.
c) Soit Pun id´eal premier de A. Montrer que A\Pest une partie multiplicative de A.
2◦)S´etant une partie multiplicative de A, on d´efinit dans A×Sla relation suivante :
(a, s)≡(b, t)⇐⇒ ∃r∈S, r(ta −bs)=0.
a) Montrer que ≡est une relation d’´equivalence sur A×S. On note S−1Al’ensemble quotient et la classe de
l’´el´ement (a, s) est not´ee a
s.
b) Soit + et ×d´efinies ainsi sur S−1A:
a
s+a0 s0=as0+a0s ss0.
Montrer que ces applications sont bien d´efinies.
c) Montrer que (S−1A, +,×) est un anneau commutatif, unitaire.
d) Montrer que si S=A\{0},alos S−1Aest un corps. On le note KAet on l’appelle corps des fractions de
A. Que vaut KZ?
e) Soit a∈A\{0},soit n∈Net S={1, a, a2,· · · , an,· · · },l’ensemble des puissances a. Montrer que Sest
multiplicative. Qu’est-ce que S−1A?
Application : on prend A=Zet a= 10.D´eterminer S−1A.
f) Montrer que si 0 ∈S,S−1Aest l’anneau nul.
D´esormais, on consid´erera uniquement les parties multiplicatives de Ane contenant pas 0.
3◦)Soit Sune partie multiplicative de Ane contenant pas 0.
a) Soit iS:A→S−1A,a7→ a
1.Montrer que iSest un morphisme d’anneaux.
b) Montrer que, pour tout sde S:iS(s) est inversible dans S−1A.
c) Montrer que si S=A×,iSest un isomorphisme de Asur S−1A.
d) Montrer que si S=R(ensemble des ´el´ements r´eguliers pour la multiplication), iSest injective.
En particulier, si Aest int`egre et si KAest son corps des fractions, d´eduire que As’injecte dans KA.
4◦)Soit Sune partie multiplicative de A ne contenant pas 0.Soit Bun anneau, fun morphisme d’anneau de A
dans Btel que, pour tout s∈S, f(s) est un inversible de B.
Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneau gde S−1Adans Btel que : g◦iS=f.
5◦)Soit Kun corps commutatif, Aun sous-anneau de Knon r´eduit `a 0, Pun id´eal premier de Aet S=A\P.
a) Montrer que KAest un sous-corps de K.
b) On pose B={x∈K, ∃a∈A, ∃s∈S, x =a
s}.Montrer que Best un sous-anneau de KAcontenant A.
c) Soit Iun id´eal de A; on pose S−1I={x
s, x ∈I, s ∈S}.Montrer que S−1Iest un id´eal de B.
d) Soit Jun id´eal de B; montrer que I=J∩Aest un id´eal de Aet que l’on a J=S−1I.
e) Montrer que B×=B\S−1P.
En d´eduire que S−1Pest un id´eal maximal de Pet que c’est le seul id´eal maximal de B.
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f) Application : Soit pun nombre premier et Sl’ensemble des entiers de la forme :
s= 1 + pu, u ∈Z.
i. V´erifier que Sest une partie multiplicative de Z.
ii. Soit B={a
s∈Q, a ∈Z, s ∈S}.Justifier que Best un sous-anneau de Q, distinct de Q.
Montrer que
B=b
t, b ∈Z, t 6∈ pZ.
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