Doc Satgiaires

I Donner du sens aux probabilités
1. Travail sur une expérience aléatoire :
Activité 1 : on prélève 20 fois de suite une bille, avec remise dans un sac au contenu inconnu. On a obtenu … rouges, …
vertes, … jaunes. Que peut-on déduire des nombres obtenus pour chaque couleur ?
Idem avec 40 prélèvements.
2. Condition pour effectuer une simulation :
Activité 2 : le contenu du sac est inconnu. On veut simuler 100 tirages, et on s’intéresse au nombre de billes
jaunes. Comment faire ?
3. Comment modéliser ?
Activité 3 : on donne la composition du sac : nble = 6; nbla = 1 et nj = 13.
a) Jeanne définit un univers à 3 issues (bleu, blanc, jaune) et affecte la probabilité 1/3 à chaque issue. Ce
modèle est-il juste ? satisfaisant ?
b) Peut-on proposer deux modèles différents qui soient à la fois justes et satisfaisants ?
Exercice (comment choisir au hasard ?)
Déterminer la probabilité d’obtenir le numéro 1.
1
1
1
1
1
1
•
•
•
2
2
2
2
Protocole 1 : on choisit au hasard une case blanche parmi les dix.
Protocole 2 : on choisit au hasard une colonne parmi les trois, puis une case blanche dans la colonne
choisie.
Protocole 3 : on choisit au hasard une ligne parmi les trois, puis une case blanche dans la ligne choisie.
Cela permet, si l’on ne donne pas les protocoles de s’interroger sur la notion de modèle
4. Une fois un modèle juste et satisfaisant défini, comment simuler l’expérience aléatoire ?
II Situation n° 1 : on connaît la valeur de p
1. LFGN
2. Cas particulier : Loi géométrique tronquée
Activité 4 : la probabilité qu’un atome se désintègre par unité de temps est égale à 0,07. On décide d’observer
cette désintégration en limitant le temps d’attente à 100 unités de temps.
Est-on sûr d’observer la désintégration ? Quelle est la probabilité d’observer la désintégration au bout de n
unités de temps ? Au bout de combien d’unités de temps en moyenne l’atome se désintègre-t-il ?
Application : Limitation des naissances
(D’après Claudine ROBERT, Contes et décomptes de la statistique, Éd. Vuibert. Voir aussi le document
ressource de 2000 rédigé par Claudine ROBERT.)
Énoncé
Pour limiter le nombre de filles dans un pays (imaginaire ?), on décide que :
- chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
- chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille et que, pour chaque
couple de parents, le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Ce choix a-t-il la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles dans la population ?
3. Loi Binomiale
Exercice (Le quorum )
Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrent que
chaque adhérent assiste à l'assemblée avec une probabilité de 80%. Les décisions prises par l'assemblée n'ont de valeur
légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l'assemblée.
Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ?
4. Fluctuation d’échantillonnage
Activité 5 : le sac avec une proportion connue de jaune (p=0,65). On donne le diagramme en bâton des fréquences pour
500 échantillons de taille 100.
Question 1 – Déterminer le plus petit intervalle centré en p=0,65, où se situent les fréquences observées du « jaune »,
avec une probabilité au moins égale à 0,95.
Question 2 – Soit X de loi b (0,65 ; 100). Déterminer le plus petit intervalle de fréquences [f ; g], tel que les deux
probabilités
et
soient inférieures ou égales à 2,5 %.
III Situation 2 : Cas où on ne connaît pas p : on suppose que p prend une certaine valeur et prise de
décision pour cette valeur
1) A l’aide d’un grand nombre d’expériences avec simulation (LFGN)
2) Règle de décision (fluctuations)
Activité 6 : Un médecin de santé publique veut savoir si, dans sa région, le pourcentage d’habitants atteints
d’hypertension artérielle est égal à la valeur de 16 % récemment publiée pour des populations semblables. Pour cela, il
relève, sur un échantillon aléatoire de taille 100 prélevé dans sa région, le nombre N personnes atteintes d’hypertension
artérielle.
Que peut-il décider :
- si
?
- si
?
- si
?
- si
?
Exemple 1 : discrimination raciale
En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est condamné à huit ans de prison. Il attaque ce
jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté est, selon lui, discriminante à l’égard des Américains
d’origine mexicaine. Alors que 80 % de la population du comté est d’origine mexicaine, sur les 870 personnes
convoquées pour être jurés lors des années précédentes, il n’y a eu que 339 personnes d’origine mexicaine.
Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produit des arguments pour convaincre du bien fondé de la requête de
l’accusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, pouvez-vous décider si les Américains d’origine mexicaine sont
sous-représentés dans les jurys de ce comté ?
Exemple 2 : les gauchers
Dans le monde, la proportion de gauchers est 12 %.
Soit n le nombre d’élèves dans votre classe.
1. Déterminer, à l’aide de la loi binomiale, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des gauchers sur
un échantillon aléatoire de taille n.
2. Votre classe est-elle « représentative » de la proportion de gauchers dans le monde ?
Exemple 3 : le dé est-il truqué ?
Un joueur lance un dé 60 fois, le six apparaît 15 fois.
Au seuil de 95 %, peut-on accepter l’hypothèse selon laquelle le joueur utilise un dé régulier ?
Un joueur lance un dé 300 fois, le six apparaît 70 fois.
Au seuil de 95 %, peut-on accepter l’hypothèse selon laquelle le joueur utilise un dé régulier ?
Exemple 4 : ségrégation sexiste à l’embauche
(d’après document ressource pour la classe de Seconde. Ce problème peut être revisité à l’aide de la loi binomiale.)
Deux entreprises recrutent leur personnel dans un vivier comportant autant d’hommes que de femmes. Voici la
répartition entre hommes et femmes dans ces deux entreprises :
Hommes
Femmes
Total
Entreprise A
57
43
100
Entreprise B
1350 (54 %)
1150 (46 %)
2500
Peut-on suspecter l’une des deux de ne pas respecter la parité hommes-femmes à l’embauche ?
IV Situation 2 : Cas où on ne connaît pas p ; on estime la valeur de p
On passe de l’intervalle de fluctuation à l’intervalle de confiance par inversion (en seconde et terminale)
Activité 7 : Le sac de billes contient une proportion inconnue p de billes rouges. On prélève un échantillon aléatoire de
taille 900. Sur cet échantillon, la fréquence de billes rouges est :
.
Que peut-on dire de la proportion p ?