Exercice sur la loi binomiale I Réunion juin 2009

Exercice sur la loi binomiale
I Réunion juin 2009
Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué
peut présenter deux défauts : le défaut aet le défaut
b. Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un
des deux défauts.
1. Dans cette question les probabilités demandées
seront données avec leurs valeurs décimales
exactes.
On prélève un sac au hasard dans la production
d’une journée.
On note Al’ évènement « le sac présente le dé-
faut a» et BI’évènement « le sac présente le dé-
faut b». Les probabilités des évènements Aet B
sont respectivement P(A)=0,02 et P(B)=0,01 ;
on suppose que ces deux évènements sont in-
dépendants.
(a) Calculer la probabilité de l’évènement C
« le sac prélevé présente le défaut aet le
défaut b».
(b) Calculer la probabilité de l’évènement D
« le sac est défectueux ».
(c) Calculer la probabilité de l’évènement E
« le sac ne présente aucun défaut ».
(d) Sachant que le sac présente le défaut
a, quelle est la probabilité qu’il présente
aussi le défaut b?
2. On suppose que la probabilité (arrondie au cen-
tième) qu’un sac soit défectueux est égale à
0,03.
On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs
dans la production d’une journée. La produc-
tion est suffisamment importante pour que l’on
assimile ce prélèvement à un tirage avec remise
de 100 sacs. On considère la variable aléatoire
Xqui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe
le nombre de sacs défectueux.
(a) Justifier que la variable aléatoire Xsuit une
loi binomiale dont on précisera les para-
mètres.
(b) Quelle est la probabilité de l’évènement
« au moins un sac est défectueux » ? On ar-
rondira cette probabilité au centième. In-
terpréter ce résultat.
(c) Calculer l’espérance mathématique de la
variable aléatoire X.
Interpréter ce résultat dans le cadre de
l’énoncé.
II Amérique du sud, novembre 2009
On considère un questionnaire comportant cinq
questions.
Pour chacune des cinq questions posées, trois
propositions de réponses sont faites (A,Bet C), une
seule d’entre elles étant exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées
en écrivant un mot réponse de cinq lettres.
Par exemple, le mot « BB A AC » signifie que le can-
didat a répondu Baux première et deuxième ques-
tions, Aaux troisième et quatrième questions et Cà
la cinquième question.
1. (a) Combien y-a-t’il de mots-réponses pos-
sible à ce questionnaire ?
(b) On suppose que le candidat répond au ha-
sard à chacune des cinq questions de ce
questionnaire.
Calculer la probabilité des évènements
suivants :
E: « le candidat a exactement une réponse
exacte ».
F: « le candidat n’a aucune réponse
exacte ».
G: « le mot-réponse du candidat est un pa-
lindrome » (On précise qu’un palindrome
est un mot pouvant se lire indifférem-
ment de gauche à droite ou de droite à
gauche : par exemple, « B AC AB » est un
palindrome).
2. Un professeur décide de soumettre ce question-
naire à ses 28 élèves en leur demandant de ré-
pondre au hasard à chacune des cinq questions
de ce questionnaire.
On désigne par Xle nombre d’élèves dont
le mot-réponse ne comporte aucune réponse
exacte.
(a) Justifier que la variable aléatoire Xsuit la
loi binomiale de paramètres n=28 et p=
32
243.
(b) Calculer la probabilité, arrondie à 10−2,
qu’au plus un élève n’ait fourni que des ré-
ponses fausses.

Correction
I Réunion juin 2009
1. (a) Comme Aet Bsont indépendants, p(C)=
p(A∩B)=p(A)×p(B)
p(C)=0, 02 ×0,01 =0,000 2
(b) On a p(D)=p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩
B)=0,02 +0, 01 −0,0002 =0,0298.
(c) On a E=Dd’où p(E)=1−p(D)=1−
0,029 8 =0,9702.
(d) On a pA(B)=p(A∩B)
p(A)=0,000 2 0,02 =0,01.
(en fait p(A∩B)
p(A)=p(A)×p(B) p(A)=p(B)).
2. (a) On a manifestement une épreuve de Ber-
noulli avec deux issues (sac sans défaut,
sac défectueux).
La variable aléatoire Xsuit donc une loi bi-
nomiale de paramètres
n=100 et p=0,03.
(b) On sait que la probabilité que k, 0 ÉkÉ
100 sacs soient défectueux est :
p(X=k)=Ã100
k!0,03k(1 −0,03)100−k
L’évènement contraire de l’évènement « au
moins un sac est défectueux » est « il n’y a
pas de sac défectueux qui a une probabi-
lité de
Ã100
0!0,030×0, 97100 =0,97100 ≈0,047 6.
La probabilité d’avoir au moins un sac dé-
fectueux est donc égale à
1−0,97100 ≈0,952 ≈0,95 (au centième
près).
Interprétation : pour 100 sacs prélevés il y
a à peu près 95 chances sur 100 d’avoir au
moins un sac défectueux.
(c) Pour cette loi binomiale on a E =n×p=
100 ×0,03 =3.
Interprétation : sur 100 sacs prélevés il y a
en moyenne 3 sacs défectueux.
II Amérique du sud, novembre 2009
1. a. Trois réponses possibles pour chacune des cinq
questions : il y a donc 35=243 mots possibles.
b. L’élève repète 5 fois l’expérience de Bernouilli :
obtenir la bonne réponse avec une probabi-
lité de 1
3; ces expériences sont indépendantes,
donc la variable aléatoire Zdonnant le nombre
de réponses exactes suit une loi binomiale de
paramètres n=5 et p=1
3.
Donc p(Z=1) =Ã5
1!µ1
3¶1µ1−1 3¶5−1
=5×1
3×
24
34=80 243 =p(E).
De même, la probabilité qu’il n’ait aucune ré-
ponse juste est :
p(Z=0) =50µ1
3¶0µ1−1 3¶5−0
=25
35=32 243 =
p(F).
Un palindrome est de la forme abcba : les
trois premiers peuvent être quelconques, mais
le quatrième choix doit être le même que le se-
cond et le dernier le même que le premier : la
probabilité est donc égale à 1 ×1×1×1
3×1 3=
1
9=p(G).
2. a. D’après la question 1. un élève a la probabilité
égale à 32
243 de n’avoir aucune réponse exacte.
Les élèves répondant de façon indépendante
les uns des autres, la variable Xsuit une loi bi-
nomiale de paramètres n=28 et de probabilité
p=32
243.
b. La probabilité cherchée est égale à :
p(XÉ1) =p(X=0) +p(X=1) =
Ã28
0!µ32
243¶0µ1−32 243¶28−0
+
Ã28
1!µ32
243¶1µ1−32 243¶28−1
=µ211
243¶28
+28×32
243 ×
µ211
243¶27
≈0,100 6 ≈0,10 au centième près.