Exercice sur la loi binomiale I Réunion juin 2009

Exercice sur la loi binomiale
I Réunion juin 2009
II Amérique du sud, novembre 2009
Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué
On considère un questionnaire comportant cinq
peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut questions.
b. Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un
Pour chacune des cinq questions posées, trois
des deux défauts.
propositions de réponses sont faites (A, B et C ), une
1. Dans cette question les probabilités demandées
seule d’entre elles étant exacte.
seront données avec leurs valeurs décimales
exactes.
Un candidat répond à toutes les questions posées
en
écrivant
un mot réponse de cinq lettres.
On prélève un sac au hasard dans la production
d’une journée.
Par exemple, le mot « BB A AC » signifie que le canOn note A l’ évènement « le sac présente le dédidat a répondu B aux première et deuxième quesfaut a » et B I’évènement « le sac présente le détions, A aux troisième et quatrième questions et C à
faut b ». Les probabilités des évènements A et B
la cinquième question.
sont respectivement P (A) = 0, 02 et P (B) = 0, 01 ;
on suppose que ces deux évènements sont in1. (a) Combien y-a-t’il de mots-réponses posdépendants.
sible à ce questionnaire ?
(a) Calculer la probabilité de l’évènement C
(b) On suppose que le candidat répond au ha« le sac prélevé présente le défaut a et le
sard à chacune des cinq questions de ce
défaut b ».
questionnaire.
(b) Calculer la probabilité de l’évènement D
« le sac est défectueux ».
(c) Calculer la probabilité de l’évènement E
« le sac ne présente aucun défaut ».
(d) Sachant que le sac présente le défaut
a, quelle est la probabilité qu’il présente
aussi le défaut b ?
2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu’un sac soit défectueux est égale à
0, 03.
On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs
dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on
assimile ce prélèvement à un tirage avec remise
de 100 sacs. On considère la variable aléatoire
X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe
le nombre de sacs défectueux.
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit une
loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b) Quelle est la probabilité de l’évènement
« au moins un sac est défectueux » ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
(c) Calculer l’espérance mathématique de la
variable aléatoire X .
Interpréter ce résultat dans le cadre de
l’énoncé.
Calculer la probabilité des évènements
suivants :
E : « le candidat a exactement une réponse
exacte ».
F : « le candidat n’a aucune réponse
exacte ».
G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu’un palindrome
est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à
gauche : par exemple, « B AC AB » est un
palindrome).
2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions
de ce questionnaire.
On désigne par X le nombre d’élèves dont
le mot-réponse ne comporte aucune réponse
exacte.
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit la
loi binomiale de paramètres n = 28 et p =
32
.
243
(b) Calculer la probabilité, arrondie à 10−2 ,
qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.
Correction
I Réunion juin 2009
1.
(a) Comme A et B sont indépendants, p(C ) = 1. a. Trois réponses possibles pour chacune des cinq
questions : il y a donc 35 = 243 mots possibles.
p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
p(C ) = 0, 02 × 0, 01 = 0,000 2
(b) On a p(D) = p(A ∪B) = p(A)+p(B)−p(A ∩
B) = 0, 02 + 0, 01 − 0,000 2 = 0,029 8.
2.
II Amérique du sud, novembre 2009
(c) On a E = D d’où p(E ) = 1 − p(D) = 1 −
0,029 8 = 0,970 2.
0,000 2
p(A ∩ B)
=
= 0, 01.
(d) On a p A (B) =
p(A)
0, 02
p(A ∩ B) p(A) × p(B)
(en fait
=
= p(B)).
p(A)
p(A)
(a) On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut,
sac défectueux).
La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres
n = 100 et p = 0, 03.
(b) On sait que la probabilité que k, 0 É k É
100 sacs soient défectueux est :
Ã
!
100
p(X = k) =
0, 03k (1 − 0, 03)100−k
k
b. L’élève repète 5 fois l’expérience de Bernouilli :
obtenir la bonne réponse avec une probabi1
lité de ; ces expériences sont indépendantes,
3
donc la variable aléatoire Z donnant le nombre
de réponses exactes suit une loi binomiale de
1
paramètres n = 5 et p = .
à ! µ 3¶ µ
¶
1
1 5−1
5 1 1
= 5× ×
1−
Donc p(Z = 1) =
3
3
1 3
4
2
80
=
= p(E ).
34 243
De même, la probabilité qu’il n’ait aucune réponse juste est :
¶
µ ¶0 µ
1 5−0
25
32
1
1−
= 5 =
p(Z = 0) = 50
=
3
3
3
243
p(F ).
Un palindrome est de la forme abcba : les
trois premiers peuvent être quelconques, mais
le quatrième choix doit être le même que le second et le dernier le même que le premier : la
1 1
probabilité est donc égale à 1 × 1 × 1 × × =
3 3
L’évènement contraire de l’évènement « au
1
= p(G).
moins un sac est défectueux » est « il n’y a
9
pas de sac défectueux qui a une probabi- 2. a. D’après la question 1. un élève a la probabilité
32
lité
!
à de
égale à
de n’avoir aucune réponse exacte.
243
100
0
100
100
0, 03 × 0, 97 = 0, 97 ≈ 0,047 6.
Les élèves répondant de façon indépendante
0
les uns des autres, la variable X suit une loi biLa probabilité d’avoir au moins un sac dénomiale de paramètres n = 28 et de probabilité
fectueux est donc égale à
32
.
p=
100
1 − 0, 97
≈ 0, 952 ≈ 0, 95 (au centième
243
b. La probabilité cherchée est égale à :
près).
Interprétation : pour 100 sacs prélevés il y
a à peu près 95 chances sur 100 d’avoir au
moins un sac défectueux.
(c) Pour cette loi binomiale on a E = n × p =
100 × 0, 03 = 3.
Interprétation : sur 100 sacs prélevés il y a
en moyenne 3 sacs défectueux.
= p(X = 0) + p(X = 1) =
Ãp(X! µ É 1)
¶ µ
¶
32 28−0
28 32 0
1−
+
243
0 243
à !µ
¶ µ
¶
µ
¶
28 32 1
32 28−1
32
211 28
1−
=
+28×
×
1 243
243
243
243
¶
µ
211 27
≈ 0,100 6 ≈ 0, 10 au centième près.
243