CHAPITRE 5 Les nombres premiers

CHAPITRE 5 − LES NOMBRES PREMIERS
1/ DEFINITION
DEF Un nombre entier naturel n , strictement plus grand que 1 est dit premier ⇔ l'ensemble de ses diviseurs dans est { 1 , n }
Remarque 0 et 1 ne sont pas premiers.
Un nombre , strictement supérieur à 1 non premier est dit composé.
Crible d'Eratosthène
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2/ EXISTENCE D'UNE INFINITE DE NOMBRES PREMIERS
21/ Préliminaire
PROP ( * ) Tout nombre entier naturel n , strictement supérieur à 1 , admet au moins un diviseur premier.
Démonstration
Cas 1 Si n est premier, alors n admet 1 et n comme diviseurs, et donc en particulier n qui est premier : immédiat.
Cas 2 Si n n'est pas premier, n admet des diviseurs autres que 1 et lui−même. Notons d le plus petit de ces
diviseurs, autre que 1 ( * ). Montrons que d est premier.
Effectuons un raisonnement par l'absurde. On suppose que d n'est pas premier ( H ).
On suppose donc que d admet des diviseurs autres que 1 et lui−même, en particulier δ ( distinct donc de 1et d ).
En particulier, on a : 1 < δ < d. Or, δ divise d et d divise n , donc δ divise n , est distinct de 1 et est plus petit que d.
Ceci est en contradiction avec l'affirmation ( * ) .
Par conséquent, l'hypothèse ( H ) est inexacte. On a donc bien d nombre premier.
22/ Infinité de nombres premiers
PROP Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
Effectuons un raisonnement par l'absurde:
Supposons qu'il existe un nombre fini s de nombres premiers distincts, notés p1 , p2 , p3 , … , ps ( H ).
On considère alors le nombre entier : n = p1 × p2 × p3 × … × ps + 1.
D'après la propriété ( * ) , n admet, en tant qu'entier, au moins un diviseur premier.
Les nombres premiers étant en nombre fini, le diviseur cité précédemment est forcément l'un des nombres : p1 ,
p2 , p3 , … , ps . Notons p i ce diviseur.
On a alors : p i divise …
et p i divise ………………………………
Alors p i divise ……………………………………… , soit p i divise …
Ce qui est impossible, car p i est un entier strictement supérieur à 1. Donc , l'hypothèse ( H ) est absurde.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
3/ DECOMPOSITION D'UN ENTIER NATUREL EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
31/ Existence de la décomposition
PROP
Tout nombre entier naturel n non nul et non premier est le produit de nombres premiers. La décomposition est unique à l'ordre près.
Démonstration
L'unicité de la décomposition est admise.
Intéressons−nous à l'existence de cette décomposition:
Algorithme de décomposition : Soit n un entier naturel non premier.
D'après la propriété ( * ) , n admet au moins un diviseur premier a .
Autrement dit, il existe un entier q1 tel que : n = a × q1 avec 1 < q1 < n et a premier.
− Si q1 est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée.
− Sinon, si q1 n'est pas premier : D'après la propriété ( * ) , q1 admet au moins un diviseur premier b .
Autrement dit, il existe un entier q 2 tel que : q1 = b × q 2 avec 1 < q 2 < q1 et b premier.
Ce qui se résume en : n = a × b × q 2 avec : 1 < q 2 < q1 < n et a , b premiers.
− Si q 2 est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée.
− Sinon, si q 2 n'est pas premier : D'après la propriété ( * ) , q 2 admet au moins un diviseur premier c .
Autrement dit, il existe un entier q 3 tel que : q 2 = c × q 3 avec 1 < q 3 < q 2 et c premier.
Ce qui se résume en : n = a × b × c × q 3 avec : 1 < q 3 < q 2 < q1 < n et a , b , c premiers …
− Si q 3 est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée.
− Sinon, on poursuit le processus :
on obtient alors une suite strictement décroissante d'entiers q i , strictement plus grands que 1 :
Le processus s'arrête dès qu'un quotient q i est premier .
La décomposition en produit de nombres premiers est alors obtenue.
32/ Conséquences : Diviseurs et multiples d'un nombre premier
Les nombres premiers obtenus ne sont pas forcément tous distincts. En regroupant ceux qui sont égaux, on obtient une
expression de la forme : n = p1α1 × p2 α2 × p3 α3 × . . . . × pk αk .
Tout nombre : m = p1γ1 × p2 γ 2 × p3 γ 3 × . . . . × pk γ k avec : γ 1 ≥ α1 , γ 2 ≥ α 2 , γ 3 ≥ α 3 , . . . , γ k ≥ α k , est un multiple de n .
Tout nombre : d = p1β1 × p2 β2 × p3 β3 × . . . . × pk βk avec : β1 ≤ α1 , β 2 ≤ α 2 , β 3 ≤ α 3 , . . . , β k ≤ α k , est un diviseur de n .
Le nombre de diviseurs de n est : (α1 + 1)× (α 2 + 1)× (α 3 + 1)× . . . . × (α k + 1) . En effet :
Puissance de p1
Puissance de p2
Puissance de p3 . . . .
Puissance de pk
0
1
2
0
1
0
Diviseurs de n
α2
αk
0
1
1
α2
0
1
α1
α2
4/ QUELQUES PROPRIETES
41/ théorèmes de divisibilité
TH p est un nombre premier et n est un entier naturel non divisible par p. Alors, n et p sont premiers entre eux.
Démonstration
Les diviseurs positifs de p sont 1 et p car p nombre premier. Or, p n'est pas un diviseur de n par hypothèse, donc
seul 1 peut être un diviseur positif commun à n et p. D'où n et p sont premiers entre eux.
TH p est un nombre premier , a et b sont deux entiers naturels. Si p ab , alors p a ou p b .
Démonstration
Soit p un nombre premier , a et b deux entiers naturels. On suppose p ab .
Deux possibilités existent : − Soit p a
− Soit p ne divise pas a.
Or, p un nombre premier, alors d'après TH précédent : a et p premiers entre eux.
Puisque p ab , alors, d'après le théorème de Gauss : p b .
Cas particulier
Soit p un nombre premier , a et n sont deux entiers naturels. Si p a n , alors p a .
TH p , a et b sont trois nombres premiers. Si p ab , alors p = a ou p = b .
42/ Utilisation de la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le pgcd et le ppcm.
PROP Le pgcd de 2 nombres s'obtient en effectuant le produit de tous les facteurs premiers communs aux deux nombres , chacun
étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.
PROP Le ppcm de 2 nombres s'obtient en effectuant le produit de tous les facteurs premiers contenus dans l'un au moins des deux
nombres , chacun étant affecté du plus grand exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.
Exemple
a = 540 = . . . . . . . . . . . . . . . . et b = 1008 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors : Pgcd ( a , b ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . et Ppcm ( a , b ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PROP Deux nombres entiers naturels non nuls sont premiers entre eux ⇔ Ils n'ont, dans leurs décompositions, aucun facteur
premier commun.
43/ Petit théorème de Fermat.
TH Soit p un nombre premier. Soit a un entier naturel non divisible par p.
Alors a p−1 − 1 est divisible par p ( autrement dit : a p−1 ≡ 1 [p ] )
Démonstration
On considère la liste des multiples de a , à partir de a jusqu'à (p −1)× a :
m1 = a
m 2 = 2a
m 3 = 3a
...
m p−1 = (p − 1)× a
Notons ri le reste de la division euclidienne de m i par p.
Montrons tout d'abord que ri ≠ 0 , pour tout i ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 }
Raisonnons par l'absurde :
Supposons qu'il existe un entier k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } , tel que rk = 0 , autrement dit : p m k , soit p ka .
Or p ne divise pas a par hypothèse et p nombre premier, donc p et a premiers entre eux ( cf 1er th. du § 41 )
Alors, d'après le théorème de Gauss : p k , donc p ≤ k . Or, k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } , donc on a : k < p. D'où absurdité.
Conclusion : ri ≠ 0 , pour tout i ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 }
Montrons que les restes ri sont tous distincts deux à deux.
Raisonnons par l'absurde :
Supposons qu'il existe deux entiers k et k ' distincts, dans { 1 , 2 , … , p − 1 } , tel que rk = rk ' .
Alors on en déduit : ka ≡ k ' a [ p ] , soit : ( k − k ' )a ≡ 0 [ p ] ,soit encore : p ( k − k ' )a .
Or, p et a premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : p k − k ' . Alors : p ≤ k − k ' .
Or, on a : 1 ≤ k − k ' ≤ p − 2 < p. D'où absurdité.
Conclusion : les restes ri sont tous distincts deux à deux
Dans ce cas : r1 × r2 × r3 × . . . . . × rp−1 = 1× 2 × 3 × . . . . . × ( p − 1 ) = ( p − 1 ) !
Montrons : p divise a p−1 − 1
On a : m1 ≡ r1 [p ] , m 2 ≡ r2 [p ] , m 3 ≡ r3 [p ] , . . . . , m p −1 ≡ rp−1 [p ] ,
donc : m1 × m 2 × m 3 × . . . . . × m p −1 ≡ r1 × r2 × r3 × . . . . . × rp−1 [p ] ,
soit : a × 2a × 3a × . . . . . × ( p − 1 )a ≡ ( p − 1 ) ! [p ]
soit : 1× 2 × 3 × . . . . . × ( p − 1 )× a p −1 ≡ ( p − 1 ) ! [p ]
soit : ( p − 1 ) ! × a p−1 ≡ ( p − 1 ) ! [p ]
[
]
soit : p divise ( p − 1 ) ! [ a
soit : ( p − 1 ) ! a p −1 − 1 ≡ 0 [p ]
p −1
−1
]
soit : p divise 1 ou p divise 2 ou p divise 3 ou … p divise p − 2 ou p divise p − 1 ou p divise a p−1 − 1 , car p nombre premier.
Or, p > 1 , p > 2 , p > 3 … p > p− 2 et p > p − 1 donc p ne peut diviser aucun des entiers 1, 2, 3, … p − 2 et p − 1.
Conclusion : p divise a p−1 − 1 .
TH Corollaire du petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier. Soit a un entier naturel.
Alors a p − a est divisible par p ( autrement dit : a p ≡ a [p ] )
Démonstration
(
)
a p − a = a a p −1 − 1
alors a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] d'après le petit théorème de Fermat
Si p ne divise pas a,
(
)
alors a a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] , soit a p − a ≡ 0 [p ]
Si p I a,
alors a ≡ 0 [p ]
(
)
alors a a p −1 − 1 ≡ 0 [p ] , soit a p − a ≡ 0 [p ]
Exemple
1/ Montrer que n 7 − n est divisible par 42, pour tout entier naturel n.