CHAPITRE 5 Les nombres premiers

CHAPITRE 5 − LES NOMBRES PREMIERS
1/ DEFINITION
DEF Un nombre entier naturel n , strictement plus grand que 1 est dit premier ⇔ l'ensemble de ses diviseurs dans  est { 1 , n }
Remarque  0 et 1 ne sont pas premiers.
 Un nombre , strictement supérieur à 1 non premier est dit composé.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Crible d'Eratosthène
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2/ EXISTENCE D'UNE INFINITE DE NOMBRES PREMIERS
21/ Préliminaire
PROP ( * ) Tout nombre entier naturel n , strictement supérieur à 1 , admet au moins un diviseur premier.
Démonstration Cas 1 Si n est premier, alors n admet 1 et n comme diviseurs, et donc en particulier n qui est premier : immédiat.
Cas 2 Si n n'est pas premier, n admet des diviseurs autres que 1 et lui−même. Notons d le plus petit de ces
diviseurs, autre que 1 ( * ). Montrons que d est premier.
Effectuons un raisonnement par l'absurde. On suppose que d n'est pas premier ( H ).
On suppose donc que d admet des diviseurs autres que 1 et lui−même, en particulier δ ( distinct donc de 1et d ).
En particulier, on a : 1 < δ < d. Or, δ divise d et d divise n , donc δ divise n , est distinct de 1 et est plus petit que d.
Ceci est en contradiction avec l'affirmation ( * ) .
Par conséquent, l'hypothèse ( H ) est inexacte. On a donc bien d nombre premier.
22/ Infinité de nombres premiers
PROP Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration Effectuons un raisonnement par l'absurde:
Supposons qu'il existe un nombre fini s de nombres premiers distincts, notés
1
p ,
2
p, 3 p , … , s p ( H ).
On considère alors le nombre entier : n = 1 p × 2 p × 3 p × … × s p + 1.
D'après la propriété ( * ) , n admet, en tant qu'entier, au moins un diviseur premier.
Les nombres premiers étant en nombre fini, le diviseur cité précédemment est forcément l'un des nombres : 1
p ,
2 p , 3 p , … , s p . Notons
i
p ce diviseur.
On a alors :
i
p divise … et
i
p divise ………………………………

Alors
i
p divise ……………………………………… , soit
i
p divise …
Ce qui est impossible, car
i
p est un entier strictement supérieur à 1. Donc , l'hypothèse ( H ) est absurde.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
3/ DECOMPOSITION D'UN ENTIER NATUREL EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
31/ Existence de la décomposition
PROP
Tout nombre entier naturel n non nul et non premier est le produit de nombres premiers. La décomposition est unique à l'ordre près.
Démonstration  L'unicité de la décomposition est admise.
 Intéressons−nous à l'existence de cette décomposition:
Algorithme de décomposition : Soit n un entier naturel non premier.
D'après la propriété ( * ) , n admet au moins un diviseur premier a .
Autrement dit, il existe un entier
1
q tel que :
1
qan ×= avec 1 <
1
q < n et a premier.
− Si
1
q est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée.
− Sinon, si
1
q n'est pas premier : D'après la propriété ( * ) ,
1
q admet au moins un diviseur premier b .
Autrement dit, il existe un entier
2
q tel que :
21
qbq ×= avec 1 <
2
q <
1
q et b premier.
Ce qui se résume en :
2
qban ××= avec : 1 <
2
q <
1
q < n et a , b premiers.
− Si
2
q est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée.
− Sinon, si
2
q n'est pas premier : D'après la propriété ( * ) ,
2
q admet au moins un diviseur premier c .
Autrement dit, il existe un entier 3 q tel que : 32 qcq ×= avec 1 < 3 q < 2 q et c premier.
Ce qui se résume en : 3 qcban ×××= avec : 1 < 3 q < 2 q < 1 q < n et a , b , c premiers …
− Si 3 q est premier, l'algorithme s'arrête et la décomposition en facteurs premiers est trouvée.
− Sinon, on poursuit le processus :
on obtient alors une suite strictement décroissante d'entiers
i
q , strictement plus grands que 1 :
Le processus s'arrête dès qu'un quotient
i
q est premier .
La décomposition en produit de nombres premiers est alors obtenue.
32/ Conséquences : Diviseurs et multiples d'un nombre premier
 Les nombres premiers obtenus ne sont pas forcément tous distincts. En regroupant ceux qui sont égaux, on obtient une
expression de la forme :
k
k
ppppn
αααα
××××= . . . .
321
321
.
Tout nombre :
k
k
ppppm
γγγγ
××××= . . . .
321
321
avec :
11
α≥γ ,
22
α≥γ ,
33
α≥γ , . . . ,
kk
α≥γ , est un multiple de n .
Tout nombre :
k
k
ppppd
ββββ
××××= . . . .
321
321
avec :
11
α≤β ,
22
α≤β ,
33
α≤β , . . . ,
kk
α≤β , est un diviseur de n .
Le nombre de diviseurs de n est :
(
)
(
)
(
)
(
)
1 . . . . 111
321
+α××+α×+α×+α
k
. En effet :

Puissance de
1
p Puissance de
2
p Puissance de 3 p . . . . Puissance de
k
p Diviseurs de n
0
0 1
0 1 2
2 α
k
α
0
1 1
2 α
0
1 α 1
2 α
4/ QUELQUES PROPRIETES
41/ théorèmes de divisibilité
TH p est un nombre premier et n est un entier naturel non divisible par p. Alors, n et p sont premiers entre eux.
Démonstration Les diviseurs positifs de p sont 1 et p car p nombre premier. Or, p n'est pas un diviseur de n par hypothèse, donc
seul 1 peut être un diviseur positif commun à n et p. D'où n et p sont premiers entre eux.
TH p est un nombre premier , a et b sont deux entiers naturels. Si abp , alors ap ou bp .
Démonstration Soit p un nombre premier , a et b deux entiers naturels. On suppose abp .
Deux possibilités existent : − Soit ap
− Soit p ne divise pas a .
Or, p un nombre premier, alors d'après TH précédent : a et p premiers entre eux.
Puisque abp , alors, d'après le théorème de Gauss : bp .
Cas particulier Soit p un nombre premier , a et n sont deux entiers naturels. Si
n
ap , alors ap .
TH p , a et b sont trois nombres premiers. Si abp , alors
a
p
=
ou
b
p
=
.
42/ Utilisation de la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le pgcd et le ppcm.
PROP Le pgcd de 2 nombres s'obtient en effectuant le produit de tous les facteurs premiers communs aux deux nombres , chacun
étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.
PROP Le ppcm de 2 nombres s'obtient en effectuant le produit de tous les facteurs premiers contenus dans l'un au moins des deux
nombres , chacun étant affecté du plus grand exposant avec lequel il figure dans les deux décompositions.
Exemple
a = 540 = . . . . . . . . . . . . . . . . et b = 1008 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors : Pgcd ( a , b ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . et Ppcm ( a , b ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROP Deux nombres entiers naturels non nuls sont premiers entre eux ⇔ Ils n'ont, dans leurs décompositions, aucun facteur
premier commun.
43/ Petit théorème de Fermat.
TH Soit p un nombre premier. Soit a un entier naturel non divisible par p.
Alors 1
1
−
−p
a est divisible par p ( autrement dit :
[
]
pa
p
1
1
≡
−
)
Démonstration On considère la liste des multiples de a , à partir de a jusqu'à
(
)
ap ×−1 : am =
1
am 2
2
=
am 3
3
=
. . .
(
)
apm
p
×−=
−
1
1
Notons
i
r le reste de la division euclidienne de
i
m par p.
Montrons tout d'abord que
i
r ≠ 0 , pour tout i ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 }
Raisonnons par l'absurde :
Supposons qu'il existe un entier k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } , tel que 0=
k
r, autrement dit :
k
mp , soit kap .
Or p ne divise pas a par hypothèse et p nombre premier, donc p et a premiers entre eux ( cf 1
er
th. du § 41 )
Alors, d'après le théorème de Gauss : kp , donc p ≤ k . Or, k ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 } , donc on a : k < p. D'où absurdité.
Conclusion :
i
r≠ 0 , pour tout i ∈ { 1 , 2 , … , p − 1 }
Montrons que les restes
i
r sont tous distincts deux à deux.
Raisonnons par l'absurde :
Supposons qu'il existe deux entiers k et k ' distincts, dans { 1 , 2 , … , p − 1 } , tel que
'kk
rr =.
Alors on en déduit :
[
]
pa'kka ≡ , soit :
(
)
[
]
pa'kk 0≡− ,soit encore :
(
)
a'kkp −.
Or, p et a premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : 'kkp −. Alors : 'kkp −≤ .
Or, on a : 1 ≤ 'kk − ≤ p − 2 < p. D'où absurdité.
Conclusion : les restes
i
rsont tous distincts deux à deux
Dans ce cas :
(
)
(
)
11 . . . . .321 . . . . .
1321
−=−××××=××××
−
pprrrr
p
!
Montrons : p divise 1
1
−
−p
a
On a :
[
]
prm
11
≡ ,
[
]
prm
22
≡ ,
[
]
prm
33
≡ , . . . . ,
[
]
prm
pp 11 −−
≡ ,
donc :
[
]
prrrrmmmm
pp 13211321
. . . . . . . . . .
−−
××××≡×××× ,
soit :
(
)
(
)
11 . . . . . 32 −≡−×××× papaaa !
[
]
p
soit :
(
)
(
)
11 . . . . . 321
1
−≡×−××××
−
pap
p
!
[
]
p
soit :
(
)
1−p!
(
)
1
1
−≡×
−
pa
p
!
[
]
p
soit :
(
)
1−p!
[
]
01
1
≡−
−p
a
[
]
p
soit : p divise
(
)
1−p!
[
]
1
1
−
−p
a

soit : p divise 1 ou p divise 2 ou p divise 3 ou … p divise p − 2 ou p divise p − 1 ou p divise 1
1
−
−p
a, car p nombre premier.
Or, p > 1 , p > 2 , p > 3 … p > p− 2 et p > p − 1 donc p ne peut diviser aucun des entiers 1, 2, 3, … p − 2 et p − 1.
Conclusion : p divise 1
1
−
−p
a.
TH Corollaire du petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier. Soit a un entier naturel.
Alors aa
p
− est divisible par p ( autrement dit :
[
]
paa
p
≡ )
Démonstration
(
)
1
1
−=−
−pp
aaaa
Si p ne divise pas a, alors
[
]
pa
p
01
1
≡−
−
d'après le petit théorème de Fermat
alors
(
)
[
]
paa
p
01
1
≡−
−
, soit
[
]
paa
p
0≡−
Si p I a, alors
[
]
pa 0≡
alors
(
)
[
]
paa
p
01
1
≡−
−
, soit
[
]
paa
p
0≡−
Exemple 1/ Montrer que
n
n
−
7
est divisible par 42, pour tout entier naturel n.