a(u

Chapitre V : Continuité et dérivation
I. Langage de la continuité
1. Définitions et exemples
Définitions
Exemple :
f est une fonction définie sur I et soit a un réel de I
·
f est continue en a si lim f ( x) = f (a)
·
f est continue sur I, si f est continue sur tous réels a de I
x¾
¾® a
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x² – 4
f ( 2 ) = lim f ( x ) = 0 et f est continue en 2
x ¾¾® 2
Plus généralement f est continue sur IR
2. Illustration graphique, exemple et contre exemple
a. Reconnaissance graphique
On reconnaît qu’une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa
courbe représentative peut être tracée sans « lever le crayon »
b. Exemple de fonction continue
La fonction carrée : sa parabole C peut être tracée
sans lever le crayon.
c. Contre exemple : la fonction partie entière
Définition
La fonction partie entière est la fonction définie sur IR qui à tout réel x
associe l’unique entier relatif n tel que n ≤ x < n+1.
Cette fonction est notée E.
1
Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
E(3,4) = 3 car 3 ≤ 3,4 < 4
E(-2,06) = - 3 car -3 ≤ -2,06 < - 2
Exemple :
E n’est pas une fonction continue sur
IR
3. Continuité des fonctions usuelles
Propriétés
·
Les fonctions polynômes, sinus, cosinus sont continues sur IR
·
La fonction racine carrée est continue sur IR+
·
Les fonctions construites par opérations ou compositions à
partir des fonctions précédentes sont continues sur leur
ensemble de définition
II. Théorème des valeurs intermédiaires
1. Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue [a ;b]
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un
réel c compris entre a et b tel que f(c) = k
Théorème
Preuve
:
Remarque :
Peut être plus tard
En d’autres termes, l’équation f(x) = k a au moins une solution dans
l’intervalle [a ;b]
2
Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
Exemple d’application :
Soit (E) l’équation 2sin2x = cos(x) + 1
On veut montrer que (E) admet au moins une solution dans
é-p p ù
l’intervalle ê
; ú
ë 2 3û
On pose f(x) = 2sin2x – cos(x) . Il suffit de montrer maintenant que f(x) = 1
é-p p ù
admet au moins une solution dans l’intervalle ê
; ú
ë 2 3û
Remarque : En posant la fonction f, on se met exactement dans les conditions
d’application du théorème des valeurs intermédiaires.
é-p p ù
· f est continue sur IR donc sur ê
; ú
ë 2 3û
æ -p ö
· fç
÷=0 £1
è 2 ø
1
æp ö
· f ç ÷ = 3 - » 1 ,26 ³ 1
2
è 3ø
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un
é-p p ù
réel c de l’intervalle ê
; ú tel que f(c) = 1
ë 2 3û
é-p p ù
Au final l’équation (E) a donc bien au moins une solution sur ê
; ú
ë 2 3û
Interprétation
graphique :
-p
2
= -3
xmin =
xmax =
y min
y max
p
3
=3
pas :
p
12
pas : 1
Graphiquement, on voit bien que Cf coupe au moins une fois
é-p p ù
la droite d’équation y = 1 sur l’intervalle ê
;
ë 2 3 úû
Remarque :
Le théorème des valeurs intermédiaires parle de « au moins »
une valeur c comprise entre a et b tel que f(x) = k.
Bien entendu il peut y en avoir plusieurs. Ici, on voit bien que
Cf coupe deux fois la droite d’équation y = - 1 sur
é-p p ù
l’intervalle ê
;
ë 2 3 úû
3
Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
2. Fonctions continues et strictement monotones
Corollaire
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur
[a ; b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b)
l’équation
f(x) = k admet une solution unique sur [a ; b]
Preuve :
Cas où f est strictement croissante sur
[a ; b]
D’après le théorème des valeurs
intermédiaires, il existe au moins un réel c
de [a ; b] tel que f(c)= k
Or f est strictement croissante sur [a ; b]
donc :
§ si x est un réel de [a ; b] tel que x < c
alors f(x) < f(c)= k
§ si x est un réel de [a ; b] tel que x > c
alors f(x) > f(c)= k
Finalement c est l’unique réel de [a ;b] tel
que f(c)=k
Remarque :
Ce corollaire s’applique aussi dans le cas d’un intervalle semiouvert ( [a ;b[ ou ]a ;b] )ou d’un intervalle ouvert ( ]a ;b[), on
remplace alors le calcul de f(a) ( ou de f(b) ) par le calcul de
lim f ( x ) æç ou de lim f ( x ) ö÷ , a et b pouvant être des réels ou
x ¾¾® a
è
x¾
¾® b
ø
bien - ∞ ou +∞
Remarque :
Dans un tableau de variation, on admettra que les flèches
indiquent la continuité et la stricte monotonie d’une fonction
4
Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
Exemple :
Le tableau ci-dessous permet d’affirmer grâce au théorème
des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement
monotone que l’équation f(x) = k admet une unique solution
dans l’intervalle [a ;b]
x
a
c
f(x)
b
f(b)
k
f(a)
En effet, on a :
·
f strictement croissante sur [a ;b]
·
f continue sur [a ;b]
·
f(a) < k
·
f(b) > k
Conséquence
importante
Preuve :
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur
[a ; b] telle que f(a)f(b)< 0 alors l’équation f(x) =0 admet une
solution unique dans [a ; b]
Si f(a)f(b) < 0 alors ou f(a) > 0 et f(b)< 0
ou f(a) < 0 et f(b) > 0
0 est donc compris entre f(a) et f(b) quelque soit le cas de
figure.
Comme f est continue est monotone sur [a ; b], il existe donc
une unique solution x dans [a ; b] telle que f(x) =0
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Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
III. Compléments sur la dérivation
1.
Rappels
Définition
f est une fonction définie sur un intervalle I. a et a+h sont deux réels de
I, avec h ¹ 0 .
On dit que f est dérivable en a si le taux de variation de f entre a et
a+h tend vers un nombre réel L quand h tend vers 0.
f ( a + h) - f ( a )
lim
=L
h¾
¾® 0
h
Remarques :
·
On peut aussi regarder le taux de variation de f entre a et b quand
b tend vers a. On dit alors que f est dérivable en a si
lim
b¾
¾® a
·
Exemples :
f (b) - f (a )
=L
b-a
On vérifie souvent que f est dérivable en 0 en montrant que
f ( x ) - f ( 0)
lim
=L
x¾
¾® 0
x
Soit f la fonction définie sur [-2 ; 2] telle que f ( x ) = 4 - x²
·
Montrons que f est dérivable en 0.
Pour - 2 £ h £ 2 ( ainsi 0 + h Î [-2 ; 2] ) et h ¹ 0 on a :
4 - ( 0 + h )² - 4
f ( h) - f (0 )
4 - h² - 2
lim
= lim
= lim
h¾
¾® 0
h¾
¾® 0
h¾
¾® 0
h
h
h
4 - h² - 4
= lim
h¾
¾® 0 h 4 - h² +
4
-h
= lim
h¾
¾® 0
4 - h² + 2
f (h)- f (0 )
Or lim 4 - h² + 2 = 4 donc lim
=0
h¾
¾® 0
h¾
¾® 0
h
Finalement f est dérivable en 0 et f’(0) =0
·
Montrer de même que f n’est pas dérivable en 2.
6
Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
Définition et
notation
·
·
Proposition
Equation de la tangente
Cf est la courbe représentative de f dans un repère. Une équation
de la tangente T à Cf au point A d’abscisse a est :
y = f ' (a)( x - a ) + f (a)
f est dite dérivable sur I si f est dérivable en tout point a de I
La fonction dérivée de f se note f’ et est la fonction qui à tout réel
x de I le nombre f’(x)
Dérivées usuelles
Fonction
k
x
x2
x3
xn
Dérivée
0
1
2x
3x2
n xn-1
1
x
- 12
1
-
n
Ensemble de dérivation
] -¥ ; +¥ [
] -¥ ; +¥ [
] -¥ ; +¥ [
] -¥ ; +¥ [
] -¥ ; +¥ [
] -¥ ; 0 [ È ] 0 ; +¥ [
x
n
] -¥ ; 0 [ È ] 0 ; +¥ [
n+1
x
x
x
sin(x)
cos(x)
1
] 0 ; +¥ [
2 x
cos(x)
- sin(x)
] -¥ ; +¥ [
] -¥ ; +¥ [
Opérations sur les dérivées
Fonction
Dérivée
lu
u+v
uv
1
u
u
v
lu’
u’ + v’
u’v + uv’
–u’
u²
u’v – uv’
v²
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Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
2.
3.
Dérivabilité et continuité
Propriété
f est une fonction définie sur I, a est un réel de I. Si f est dérivable
en a alors f est continue en a
Remarques
·
·
La réciproque de cette proposition est fausse
Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I
D’autres formules de dérivation
Propriétés
i. Soit u une fonction dérivable sur I et si pour n négatif u ne
s’annule pas sur I.
Alors pour tout n entier relatif non nul ,la fonction un est dérivable
et sa dérivée est :
(un)’ = nun-1.u’
ii. Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur I. Alors la
'
u'
fonction u est dérivable sur I, de dérivée : u =
2 u
( )
Preuves :
i.
ii.
1
u -n
Soit a un réel appartenant à I et h un réel non nul tel que a + h
appartient à I . Le taux de variation de la fonction u
Pour n > 0, par récurrence. Pour n < 0, on pose u n =
u(a + h) - u( a )
. Or
h
u(a + h) - u( a ) u(a + h) + u( a )
entre a et a + h est égal à
u(a + h) - u( a )
=
h
=
=
(
)(
(
h u(a + h) + u( a )
(
u( a + h ) - u( a )
h u(a + h) + u( a )
)
)
u( a + h ) - u( a )
1
´
h
u(a + h) + u( a )
u( a + h ) - u( a )
= u' ( a )
h ¾¾¾® 0
h
u est aussi continue sur I et donc lim
u(a + h) = u(a )
h¹0
u est dérivable sur I , donc lim
h ¹0
h ¾¾¾® 0
On en conclut donc lim
h¹0
h ¾¾¾® 0
Finalement lim
h¹0
h ¾¾¾® 0
Donc
1
u(a + h) + u( a )
=
2 u( a )
u(a + h) - u( a )
1
= u' ( a ) ´
h
2 u( a )
u est dérivable pour tout réel a de I et
8
1
( u ) = 2u'u
'
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Terminale S
)
Propriété
Exemple:
a et b désignent deux nombres réels a et b avec a non nul.
Si g est une fonction dérivable sur un intervalle I et si J est
l’intervalle formé des réels x tels que ax + b appartient à I
alors la fonction f(x) = g(ax + b) est dérivable sur I et
f’(x) = a×g’(ax + b)
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = sin(4x + 3π)
Alors la fonction f est dérivable sur Ir et pour tout x réel, on a
f’(x) = 4×cos(4x + 3π)
Théorème
u est une fonction dérivable sur I et g est une fonction dérivable
sur un intervalle J.
On suppose que pour tout x de I , u(x) de J
Alors la composée g o u est dérivable sur I et pour tout x de I
(g o u)’(x)=g’ o u(x).u’(x)=g’[u(x)].u’(x)
Remarque :
Ce théorème est la généralisation des propriétés précédentes
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Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S