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Chapitre V : Continuité et dérivation
Terminale S
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Chapitre V : Continuité et dérivation
I. Langage de la continuité
1. Définitions et exemples
Définitions
f est une fonction définie sur I et soit a un réel de I
· f est continue en a si )()(lim afxf
ax = ¾®¾
· f est continue sur I, si f est continue sur tous réels a de I
Exemple :
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x² – 4
0)x(flim)2(f
2x == ¾®¾
et f est continue en 2
Plus généralement f est continue sur IR
2. Illustration graphique, exemple et contre exemple
a. Reconnaissance graphique
On reconnaît qu’une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa
courbe représentative peut être tracée sans « lever le crayon »
b. Exemple de fonction continue
La fonction carrée : sa parabole C peut être tracée
sans lever le crayon.
c. Contre exemple : la fonction partie entière
Définition
La fonction partie entière est la fonction définie sur IR qui à tout réel x
associe l’unique entier relatif n tel que n ≤ x < n+1.
Cette fonction est notée E.

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Exemple :
E(3,4) = 3 car 3 ≤ 3,4 < 4
E(-2,06) = - 3 car -3 ≤ -2,06 < - 2
E n’est pas une fonction continue sur
IR
3. Continuité des fonctions usuelles
Propriétés
· Les fonctions polynômes, sinus, cosinus sont continues sur IR
· La fonction racine carrée est continue sur IR+
· Les fonctions construites par opérations ou compositions à
partir des fonctions précédentes sont continues sur leur
ensemble de définition
II. Théorème des valeurs intermédiaires
1. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soit f une fonction continue [a ;b]
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un
réel c compris entre a et b tel que f(c) = k
Preuve : Peut être plus tard
Remarque : En d’autres termes, l’équation f(x) = k a au moins une solution dans
l’intervalle [a ;b]

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Exemple d’application :
Soit (E) l’équation 2sin2x = cos(x) + 1
On veut montrer que (E) admet au moins une solution dans
l’intervalle
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp
On pose f(x) = 2sin2x – cos(x) . Il suffit de montrer maintenant que f(x) = 1
admet au moins une solution dans l’intervalle
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp
Remarque : En posant la fonction f, on se met exactement dans les conditions
d’application du théorème des valeurs intermédiaires.
· f est continue sur IR donc sur
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp
· 0
2
f=
÷
ø
ö
ç
è
æ-
p
1
£
· 126,1
2
1
3
3
f³»-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un
réel c de l’intervalle
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp
tel que f(c) = 1
Au final l’équation (E) a donc bien au moins une solution sur
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp
Interprétation
graphique :
2
min
p
-
=x
3
max
p
=x pas :
12
p
3
min
-=y 3
max =y pas : 1
Graphiquement, on voit bien que Cf coupe au moins une fois
la droite d’équation y = 1 sur l’intervalle
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp
Remarque :
Le théorème des valeurs intermédiaires parle de « au moins »
une valeur c comprise entre a et b tel que f(x) = k.
Bien entendu il peut y en avoir plusieurs. Ici, on voit bien que
Cf coupe deux fois la droite d’équation y = - 1 sur
l’intervalle
ú
û
ù
ê
ë
é-
3
;
2
pp

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2. Fonctions continues et strictement monotones
Corollaire
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur
[a ; b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b)
l’équation f(x) = k admet une solution unique sur [a ; b]
Preuve : Cas où f est strictement croissante sur
[a ; b]
D’après le théorème des valeurs
intermédiaires, il existe au moins un réel c
de [a ; b] tel que f(c)= k
Or f est strictement croissante sur [a ; b]
donc :
§ si x est un réel de [a ; b] tel que x < c
alors f(x) < f(c)= k
§ si x est un réel de [a ; b] tel que x > c
alors f(x) > f(c)= k
Finalement c est l’unique réel de [a ;b] tel
que f(c)=k
Remarque :
Ce corollaire s’applique aussi dans le cas d’un intervalle semi-
ouvert ( [a ;b[ ou ]a ;b] )ou d’un intervalle ouvert ( ]a ;b[), on
remplace alors le calcul de f(a) ( ou de f(b) ) par le calcul de
)x(flim
ax ¾®¾
÷
ø
ö
ç
è
æ
¾®¾ )x(flim deou bx , a et b pouvant être des réels ou
bien - ∞ ou +∞
Remarque :
Dans un tableau de variation, on admettra que les flèches
indiquent la continuité et la stricte monotonie d’une fonction

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Exemple : Le tableau ci-dessous permet d’affirmer grâce au théorème
des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement
monotone que l’équation f(x) = k admet une unique solution
dans l’intervalle [a ;b]
x a c b
f(x)
f(b)
k
f(a)
En effet, on a :
· f strictement croissante sur [a ;b]
· f continue sur [a ;b]
· f(a) < k
· f(b) > k
Conséquence
importante
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur
[a ; b] telle que f(a)f(b)< 0 alors l’équation f(x) =0 admet une
solution unique dans [a ; b]
Preuve : Si f(a)f(b) < 0 alors ou f(a) > 0 et f(b)< 0
ou f(a) < 0 et f(b) > 0
0 est donc compris entre f(a) et f(b) quelque soit le cas de
figure.
Comme f est continue est monotone sur [a ; b], il existe donc
une unique solution x dans [a ; b] telle que f(x) =0