d`après CC Arithmétique

305 d’après CC1 Mme ARBUS
Arithmétique 21 Septembre 2015
Calculatrice est autorisée. Durée = 30 minutes.
Toutes les affirmations doivent être soigneusement justifiées.
Exercice 1
1. Que veulent dire les initiales
?
2. Quand dit-on que deux nombres sont premiers entre eux ?
3. Expliquer rapidement (sans calcul) pourquoi 597 et 1 458 ne sont pas
premiers entre eux.
Exercice 2
1. Déterminer la liste des diviseurs de 56.
2. Déterminer la liste des diviseurs de 42.
3. En déduire le
de 56 et 42.
Exercice 3
1.
Justifier sans calcul que
2.
Déterminer le
4 114
7 650
n’est pas une fraction irréductible.
de 4 114 et 7 650 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Rendre irréductible la fraction
4 114
.
Exercice 4
Rappel : on dit qu’un entier naturel non nul est premier lorsqu’il admet
exactement deux diviseurs ( qui sont alors 1 et le nombre lui-même ). Par exemple
les nombres suivants sont tous des nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23. Le nombre 1 n’est pas premier puisqu’il
admet seulement un diviseur.
1.
3 × 5 × 7 × 17 est la décomposition en produit de facteurs premiers d’un
certain nombre, lequel ?
2.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 170 ?
3.
En déduire la fraction irréductible égale à
.
Corrigé
Exercice.1
1.
signifie Plus Grand Commun Diviseur.
2. On dit que entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur
est égal à 1.
3. La somme des chiffres de 597 est 5 + 9 + 7 = 21, qui est divisible par 3
( 21 = 3 × 7).
La somme des chiffres de 1 458 est 1 + 4 + 5 + 8 = 18, qui est divisible
par 3 ( 18 = 3 × 6).
On utilise la règle : un entier naturel est divisible par 3 lorsque la somme de
ses chiffres est divisible par 3.
On en déduit que 597 et 1 458 sont divisibles par 3, et donc que 3 est l’un
des diviseurs commun de ces deux nombres. Comme le
de deux
entiers non nuls est le plus grand des diviseurs communs, on en déduit que :
(597 ; 1 458) … 3
et donc
597 ; 1 458 ≠ 1, par conséquent les nombres 597 et 1 458
ne sont pas premiers entre eux.
Exercice.2
1. On a :
56 = 1 × 56 donc 1 et 56 sont des diviseurs de 56,
56 = 2 × 28 donc 2 et 28 sont des diviseurs de 56,
56 = 4 × 14 donc 4 et 14 sont des diviseurs de 56,
56 = 8 × 7 donc 8 et 7 sont des diviseurs de 56.
Les diviseurs de 56 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56.
2. On a :
42 = 1 × 42 donc 1 et 42 sont des diviseurs de 42,
42 = 2 × 21 donc 2 et 21 sont des diviseurs de 42,
42 = 3 × 14 donc 3 et 14 sont des diviseurs de 42,
42 = 6 × 7 donc 6 et 7 sont des diviseurs de 42.
Les diviseurs de 42 son : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42.
3. Les diviseurs en commun de 56 et 42 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
Le plus grand des diviseurs en commun est donc 14.
(56 ; 42) = 14.
Exercice 3 (6 points)
1.
Justifier sans calcul que
n’est pas une fraction irréductible.
Les nombres 4 114 et 7 650 sont tous deux des entiers naturels pairs, donc
2 est l’un des diviseurs communs, par conséquent
4 114 ; 7 650 … 2,
et donc
54 114 ; 7 650) ≠ 1.
Le
du numérateur et dénominateur de la fraction
n’est pas égal à
donc cette fraction n’est pas une fraction irréductible.
2.
Déterminer le
de
et
Rendre irréductible la fraction
en utilisant l’algorithme d’Euclide.
.
Calculons le
(4 114 ; 7 650) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
On obtient les divisions euclidiennes :
7 650 = 1 × 4 114 + 3 536
4 144 = 1 × 3 536 + 578
3 536 = 6 × 578 + 68
578 = 8 × 68 + 34
68 = 2 × 34 + 0
Le dernier reste non nul est 34, donc :
4 114 ; 7 650 = 34.
Règle : en divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par
leur
on obtient la forme irréductible de cette fraction.
La forme irréductible de
4114
4114 ∶ 34 121
=
=
7650 7 650 ∶ 34 225
est
.
Exercice 4
1.
2.
3 × 5 × 7 × 17 = 1 785, et comme 3, 5 , 7 et 17 sont tous des nombres
premiers, on en déduit que 3 × 5 × 7 × 17 est la décomposition en produit
de facteurs premiers de 1 785.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 170 ?
170 = 17 × 10 = 17 × 2 × 5 = 2 × 5 × 17
La décomposition en produit de facteurs premiers de 170 est : 2 × 5 × 17.
3.
En déduire la fraction irréductible égale à
.
En utilisant les décompositions en produits de facteurs premiers de 1 785 et
de 170, on obtient :
1785 3 × 5 × 7 × 17 3 × 7 21
=
=
=
170
2 × 5 × 17
2
2
et comme 21 et 2 sont premiers entre eux, on en déduit que
irréductible.
La fraction irréductible égale à
est
.
est