d`après CC Arithmétique

305 d’après CC1 Mme ARBUS Arithmétique 21 Septembre 2015
Calculatrice est autorisée. Durée = 30 minutes.
Toutes les affirmations doivent être soigneusement justifiées.
Exercice 1
1. Que veulent dire les initiales     ?
2. Quand dit-on que deux nombres sont premiers entre eux ?
3. Expliquer rapidement (sans calcul) pourquoi 597 et 1 458 ne sont pas
premiers entre eux.
Exercice 2
1. Déterminer la liste des diviseurs de 56.
2. Déterminer la liste des diviseurs de 42.
3. En déduire le     de 56 et 42.
Exercice 3
1. Justifier sans calcul que 4 114
7 650 n’est pas une fraction irréductible.
2. Déterminer le     de 4 114 et 7 650 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Rendre irréductible la fraction 4 114
 .
Exercice 4
Rappel : on dit qu’un entier naturel non nul est premier lorsqu’il admet
exactement deux diviseurs ( qui sont alors 1et le nombre lui-même ). Par exemple
les nombres suivants sont tous des nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23. Le nombre 1n’est pas premier puisqu’il
admet seulement un diviseur.
1. 3 × 5 × 7 × 17 est la décomposition en produit de facteurs premiers d’un
certain nombre, lequel ?
2. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 170 ?
3. En déduire la fraction irréductible égale à 
 .
Corrigé
Exercice.1
1.     signifie Plus Grand Commun Diviseur.
2. On dit que entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur
    est égal à 1.
3. La somme des chiffres de 597 est 5 + 9 + 7 = 21, qui est divisible par 3
(21 = 3 × 7).
La somme des chiffres de 1 458 est 1 + 4 + 5 + 8 = 18, qui est divisible
par 3(18 = 3 × 6).
On utilise la règle : un entier naturel est divisible par 3lorsque la somme de
ses chiffres est divisible par 3.
On en déduit que 597 et 1 458 sont divisibles par 3, et donc que 3est l’un
des diviseurs commun de ces deux nombres. Comme le     de deux
entiers non nuls est le plus grand des diviseurs communs, on en déduit que :
    (597 ; 1 458)3
et donc     597 ; 1 458≠ 1, par conséquent les nombres 597 et 1 458
ne sont pas premiers entre eux.
Exercice.2
1. On a :
56 = 1 × 56 donc 1et 56 sont des diviseurs de 56,
56 = 2 × 28 donc 2et 28 sont des diviseurs de 56,
56 = 4 × 14 donc 4et 14 sont des diviseurs de 56,
56 = 8 × 7 donc 8et 7sont des diviseurs de 56.
Les diviseurs de 56 sont : 1; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56.
2. On a :
42 = 1 × 42 donc 1et 42 sont des diviseurs de 42,
42 = 2 × 21 donc 2et 21 sont des diviseurs de 42,
42 = 3 × 14 donc 3et 14 sont des diviseurs de 42,
42 = 6 × 7 donc 6et 7sont des diviseurs de 42.
Les diviseurs de 42 son : 1;2;3;6;7;14 ;21 ;42.
3. Les diviseurs en commun de 56 et 42 sont : 1;2;7;14.
Le plus grand des diviseurs en commun est donc 14.
    (56 ; 42)= 14.

Exercice 3 (6 points)
1. Justifier sans calcul que 
 n’est pas une fraction irréductible.
Les nombres 4 114 et 7 650 sont tous deux des entiers naturels pairs, donc
2est l’un des diviseurs communs, par conséquent     4 114 ; 7 6502,
et donc     54 114 ; 7 650) ≠ 1.
Le     du numérateur et dénominateur de la fraction 
 n’est pas égal à
donc cette fraction n’est pas une fraction irréductible.
2. Déterminer le     de     et     en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Rendre irréductible la fraction 
 .
Calculons le     (4 114 ; 7 650) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
On obtient les divisions euclidiennes :
7 650 = 1 × 4 114 + 3 536
4 144 = 1 × 3 536 + 578
3 536 = 6 × 578 + 68
578 = 8 × 68 + 34
68 = 2 × 34 + 0
Le dernier reste non nul est 34, donc :     4 114 ; 7 650= 34.
Règle : en divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par
leur     on obtient la forme irréductible de cette fraction.
4114
7650 =4114 ∶ 34 7650 ∶ 34 =121 225
La forme irréductible de 
 est  .
Exercice 4
1. 3 × 5 × 7 × 17 = 1 785, et comme 3,5,7et 17 sont tous des nombres
premiers, on en déduit que 3 × 5 × 7 × 17 est la décomposition en produit
de facteurs premiers de 1 785.
2. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 170 ?
170 = 17 × 10 = 17 × 2 × 5 = 2 × 5 × 17
La décomposition en produit de facteurs premiers de 170 est : 2 × 5 × 17.
3. En déduire la fraction irréductible égale à 
 .
En utilisant les décompositions en produits de facteurs premiers de 1 785 et
de 170, on obtient :
1785
170 =3 × 5 × 7 × 17 2 × 5 × 17 =3 × 7 2=21 2
et comme 21 et 2sont premiers entre eux, on en déduit que  
est
irréductible.
La fraction irréductible égale à 
 est   .