11 Exercices - Nombres entiers. Arithmétique.nb

 . Arithmétique.
FACILE
1) Démontrer que "nœ
*
,S
k
=
1
n
1
k
H
k+
1
L
H
k+
2
L
=
n
H
n+3
L
4
H
n+
1
L
H
n+
2
L
en:
a) Faisant une récurrence
b) (Plus difficile) Ecrivant la somme comme une somme télescopique.
2) Soit
H
u
n
L
la suite définie par: u
0
=2, u
1
=3 et "nœ,u
n+
2
=3u
n+
1
-2u
n
.
Calculer les premiers termes de cette suite puis l’expression de u
n
en fonction de n.
3) Montrer que pour tout entier
n
, n
H
n+1
L
H
2n+1
L
est divisible par 6 .
4) Prouver que "nœ, 3
2
n
+
1
+2
n
+
2
est divisible par 7.
5) Prouver que "nœ, 25
n
+2
3
n
+
4
est divisible par 17.
6) prouver que 2
10
ª1
@
11
D
et que 3
5
ª1
@
11
D
et en déduire que A=2
123
+3
121
est divisible par 11.
7) a) Montrer qu'un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
b) En s’inspirant du a), trouver un critère de divisibilité par 11.
MOYEN
8) Prouver par récurrence forte que tout entier nr2 peut s’écrire comme un produit de nombre premiers
9) Calculer le terme général de la suite
H
u
n
L
définie par u
0
=1 et "nœ,u
n+1
= S
k
=
0
n
u
k
.
10) Soit u
n
= S
k
=
1
n
k
2
k!. Trouver les entiers
n
pour lesquels u
n
n'est pas divisible par 9.
11) Prouver que "nœ
*
, 16
n
-15 n-1 est divisible par 225. (Conseil: 16 = 15 + 1)
12) Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.
13) Soit nœ. Calculer pgcd
I
n
3
+n, 2 n+1
M
14) Prouver que 4 n
3
+6n
2
+4n+1 n’est pas premier si nœ
*
.
15) On pose M
n
=2
n
-1 (Nombre de Mersenne)
a) Prouver que M
n
premier fl n est premier.
b) Prouver que la réciproque est fausse.
16)a) Montrer que "nr2, n
4
+4 n'est pas un nombre premier.
b) Montrer que "nr2, n
4
+4
n
n’est pas un nombre premier.
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17) Montrer que pour tout entier
n
, 30 divise n
5
-n .
18) Soient a,nœ avec ar2 et nr2. On pose
A
=a
n
-1.
a) Prouver que si ar3 alors
A
n’est pas un nombre premier.
b) Prouver que si a=2 et
n
n’est pas premier alors
A
n’est pas un nombre premier.
c) Prouver que si a=2 et
n
est premier alors tout est possible.
19) Trouver un intervalle de 100 nombres consécutifs non premiers. (Penser aux factorielles)
DIFFICILE
20) Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de aœ par bœ
*
alors 2
r
-1 est le reste de la division euclidienne
de 2
a
-1 par 2
b
-1 .
21) Soient ar2 , nr1 deux entiers tels que
A
=a
n
+1 soit un nombre premier. Montrer que
n
est une puissance de 2.
22) Soit A un entier non divisible par 2 ou par 5. Prouver qu’il existe un entier N composé uniquement de 9 qui soit un multiple de
A . On pourra s'intéresser aux restes des divisions euclidiennes des nombres 10
n
par A .
Caculer N avec A = 7 puis avec A = 54321.
23) Résoudre dans  l'équation
x
3
-y
3
=999 . (Limiter le nombre de valeurs possibles)
24) Prouver que pour tout
p
r5 premier,
p
2
-1 est divisible par 24.
25) Résoudre dans  l'équation
y
2
=x
H
x+1
L
H
x+7
L
H
x+8
L
. (Essayer d’encadrer x
H
x+1
L
H
x+7
L
H
x+8
L
entre deux carrés
consécutifs)
26) Un paquet a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les arêtes ont pour mesure un nombre entier de centimètres. Son
volume est égal à sa surface, aux unités près. C'est le plus gros paquet qui a ces propriétés. Quel est son volume ?
27) a) Par combien de zéros se termine le nombre 10! ? Le nombre 100! ? Le nombre 1000 ! ?
b) Par combien de zéros se termine le nombre
H
10
n
L
! ?
c) Calculer ce nombre Z
H
n
L
pour nœ
8
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
<
et commenter.
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