11 Exercices - Nombres entiers. Arithmétique.nb 1/2 . Arithmétique. FACILE n n Hn+3L 1 = en: Hk+1L Hk+2L 4 Hn+1L Hn+2L k k=1 1) Démontrer que " n œ * , S a) Faisant une récurrence b) (Plus difficile) Ecrivant la somme comme une somme télescopique. 2) Soit Hun L la suite définie par: u0 = 2, u1 = 3 et " n œ , un+2 = 3 un+1 - 2 un . Calculer les premiers termes de cette suite puis l’expression de un en fonction de n. 3) Montrer que pour tout entier n, n Hn + 1L H2 n + 1L est divisible par 6 . 4) Prouver que " n œ , 32 n+1 + 2n+2 est divisible par 7. 5) Prouver que " n œ , 25n + 23 n+4 est divisible par 17. 6) prouver que 210 ª 1 @11D et que 35 ª 1 @11D et en déduire que A = 2123 + 3121 est divisible par 11. 7) a) Montrer qu'un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. b) En s’inspirant du a), trouver un critère de divisibilité par 11. MOYEN 8) Prouver par récurrence forte que tout entier n r 2 peut s’écrire comme un produit de nombre premiers n 9) Calculer le terme général de la suite Hun L définie par u0 = 1 et " n œ , un+1 = S uk . k=0 n 10) Soit un = S k2 k !. Trouver les entiers n pour lesquels un n'est pas divisible par 9. k=1 11) Prouver que " n œ * , 16n - 15 n - 1 est divisible par 225. (Conseil: 16 = 15 + 1) 12) Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9. 13) Soit n œ . Calculer pgcd In3 + n , 2 n + 1M 14) Prouver que 4 n3 + 6 n2 + 4 n + 1 n’est pas premier si n œ * . 15) On pose Mn = 2n - 1 (Nombre de Mersenne) a) Prouver que Mn premier fl n est premier. b) Prouver que la réciproque est fausse. 16)a) Montrer que " n r 2, n4 + 4 n'est pas un nombre premier. b) Montrer que " n r 2, n4 + 4n n’est pas un nombre premier. 11 Exercices - Nombres entiers. Arithmétique.nb 2/2 17) Montrer que pour tout entier n , 30 divise n5 - n . 18) Soient a, n œ avec a r 2 et n r 2. On pose A = an - 1. a) Prouver que si a r 3 alors A n’est pas un nombre premier. b) Prouver que si a = 2 et n n’est pas premier alors A n’est pas un nombre premier. c) Prouver que si a = 2 et n est premier alors tout est possible. 19) Trouver un intervalle de 100 nombres consécutifs non premiers. (Penser aux factorielles) DIFFICILE 20) Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a œ par b œ * alors 2r - 1 est le reste de la division euclidienne de 2a - 1 par 2b - 1 . 21) Soient a r 2 , n r 1 deux entiers tels que A = an + 1 soit un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2. 22) Soit A un entier non divisible par 2 ou par 5. Prouver qu’il existe un entier N composé uniquement de 9 qui soit un multiple de A . On pourra s'intéresser aux restes des divisions euclidiennes des nombres 10n par A . Caculer N avec A = 7 puis avec A = 54321. 23) Résoudre dans l'équation x3 - y3 = 999 . (Limiter le nombre de valeurs possibles) 24) Prouver que pour tout p r 5 premier, p2 - 1 est divisible par 24. 25) Résoudre dans l'équation y2 = x Hx + 1L Hx + 7L Hx + 8L. (Essayer d’encadrer x Hx + 1L Hx + 7L Hx + 8L entre deux carrés consécutifs) 26) Un paquet a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les arêtes ont pour mesure un nombre entier de centimètres. Son volume est égal à sa surface, aux unités près. C'est le plus gros paquet qui a ces propriétés. Quel est son volume ? 27) a) Par combien de zéros se termine le nombre 10! ? Le nombre 100! ? Le nombre 1000 ! ? b) Par combien de zéros se termine le nombre H10n L! ? c) Calculer ce nombre Z HnL pour n œ 82, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10< et commenter.